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導(dǎo)讀：為什么當(dāng)我們使用電腦瀏覽器計(jì)算0.2+0.1的時(shí)候，結(jié)果卻是0.30000000000000004，而0.1+0.6的結(jié)果卻是0.7呢？

作者 / 來源：漫話編程（ID：mhcoding）

為什么當(dāng)我們使用電腦瀏覽器計(jì)算0.2+0.1的時(shí)候，結(jié)果卻是0.30000000000000004，而0.1+0.6的結(jié)果卻是0.7呢？

這個(gè)問題其實(shí)一直是一個(gè)經(jīng)典的問題，甚至有一個(gè)網(wǎng)站的域名就是

https://0.30000000000000004.com/?

主要就是解釋這個(gè)問題的。

在這個(gè)網(wǎng)站中，列舉了各種編程語言中計(jì)算0.2+0.1的結(jié)果，摘選幾個(gè)如下：

可以看到，在各種語言中，計(jì)算0.2+0.1的結(jié)果都出奇的一致，那就是這個(gè)神奇的0.30000000000000004。

其實(shí)，當(dāng)我們使用瀏覽器的控制臺(tái)（F12）進(jìn)行計(jì)算的時(shí)候，用到的就是JavaScript語言進(jìn)行計(jì)算的，所以，前面的現(xiàn)象，歸根結(jié)底其實(shí)和具體的編程語言無關(guān)。

主要問題還是計(jì)算機(jī)中到底是如何表示小數(shù)以及如何進(jìn)行小數(shù)運(yùn)算的。

我們知道，計(jì)算機(jī)只認(rèn)識(shí)0和1，現(xiàn)實(shí)世界中的內(nèi)容想要通過計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)、計(jì)算或者展示，都需要轉(zhuǎn)換2進(jìn)制。在現(xiàn)實(shí)世界中，數(shù)字主要有整數(shù)和小數(shù)兩種。

在之前的為什么計(jì)算機(jī)用補(bǔ)碼存儲(chǔ)數(shù)據(jù)這篇文章中，我們介紹過，計(jì)算機(jī)中表示整數(shù)的方式有很多，如原碼、反碼以及補(bǔ)碼等。

整數(shù)包括正整數(shù)、負(fù)整數(shù)以及零。在計(jì)算機(jī)中存儲(chǔ)的整數(shù)則分為有符號(hào)數(shù)和無符號(hào)數(shù)。

對(duì)于無符號(hào)數(shù)，采用哪種編碼方式都無所謂，對(duì)于有符號(hào)數(shù)的編碼方式，常用的是補(bǔ)碼。

那么，一個(gè)十進(jìn)制數(shù)字想要獲得其二進(jìn)制的補(bǔ)碼，需要先通過一定的算法得到他對(duì)應(yīng)的原碼。

01 十進(jìn)制轉(zhuǎn)二進(jìn)制

首先我們看一下，如何把十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制整數(shù)？

十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制整數(shù)采用"除2取余，逆序排列"法。

具體做法是：

用2整除十進(jìn)制整數(shù)，可以得到一個(gè)商和余數(shù)；
再用2去除商，又會(huì)得到一個(gè)商和余數(shù)，如此進(jìn)行，直到商為小于1時(shí)為止
然后把先得到的余數(shù)作為二進(jìn)制數(shù)的低位有效位，后得到的余數(shù)作為二進(jìn)制數(shù)的高位有效位，依次排列起來。

如，我們想要把127轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制，做法如下：

那么，十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制小數(shù)，又該如何計(jì)算呢？

十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制小數(shù)采用"乘2取整，順序排列"法。

具體做法是：* 用2乘十進(jìn)制小數(shù)，可以得到積 * 將積的整數(shù)部分取出，再用2乘余下的小數(shù)部分，又得到一個(gè)積 * 再將積的整數(shù)部分取出，如此進(jìn)行，直到積中的小數(shù)部分為零，此時(shí)0或1為二進(jìn)制的最后一位?；蛘哌_(dá)到所要求的精度為止。

所以，十進(jìn)制的0.625對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制就是0.101。

02 不是所有數(shù)都能用二進(jìn)制表示

我們知道了如何將一個(gè)十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制，那么是不是計(jì)算就可以直接用二進(jìn)制表示小數(shù)了呢？

前面我們的例子中0.625是一個(gè)特列，那么還是用同樣的算法，請(qǐng)計(jì)算下0.1對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制是多少？

我們發(fā)現(xiàn)，0.1的二進(jìn)制表示中出現(xiàn)了無限循環(huán)的情況，也就是(0.1)₁₀ = (0.000110011001100…)₂

這種情況，計(jì)算機(jī)就沒辦法用二進(jìn)制精確的表示0.1了。

也就是說，對(duì)于像0.1這種數(shù)字，我們是沒辦法將他轉(zhuǎn)換成一個(gè)確定的二進(jìn)制數(shù)的。

03 IEEE 754

為了解決部分小數(shù)無法使用二進(jìn)制精確表示的問題，于是就有了IEEE 754規(guī)范。

IEEE二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)算術(shù)標(biāo)準(zhǔn)（IEEE 754）是20世紀(jì)80年代以來最廣泛使用的浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算標(biāo)準(zhǔn)，為許多CPU與浮點(diǎn)運(yùn)算器所采用。

浮點(diǎn)數(shù)和小數(shù)并不是完全一樣的，計(jì)算機(jī)中小數(shù)的表示法，其實(shí)有定點(diǎn)和浮點(diǎn)兩種。因?yàn)樵谖粩?shù)相同的情況下，定點(diǎn)數(shù)的表示范圍要比浮點(diǎn)數(shù)小。所以在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，使用浮點(diǎn)數(shù)來表示實(shí)數(shù)的近似值。

IEEE 754規(guī)定了四種表示浮點(diǎn)數(shù)值的方式：?jiǎn)尉_度（32位）、雙精確度（64位）、延伸單精確度（43比特以上，很少使用）與延伸雙精確度（79比特以上，通常以80位實(shí)現(xiàn)）。

其中最常用的就是32位單精度浮點(diǎn)數(shù)和64位雙精度浮點(diǎn)數(shù)。

IEEE并沒有解決小數(shù)無法精確表示的問題，只是提出了一種使用近似值表示小數(shù)的方式，并且引入了精度的概念。

浮點(diǎn)數(shù)是一串0和1構(gòu)成的位序列(bit sequence)，從邏輯上用三元組{S,E,M}表示一個(gè)數(shù)N,如下圖所示：

S(sign)表示N的符號(hào)位。對(duì)應(yīng)值s滿足：n>0時(shí)，s=0; n≤0時(shí)，s=1。
E(exponent)表示N的指數(shù)位，位于S和M之間的若干位。對(duì)應(yīng)值e值也可正可負(fù)。
M(mantissa)表示N的尾數(shù)位，恰好，它位于N末尾。M也叫有效數(shù)字位（significand）、系數(shù)位（coefficient）, 甚至被稱作"小數(shù)"。

則浮點(diǎn)數(shù)N的實(shí)際值n由下方的式子表示：

上面這個(gè)公式看起來很復(fù)雜，其中符號(hào)位和尾數(shù)位還比較容易理解，但是這個(gè)指數(shù)位就不是那么容易理解了。

其實(shí)，大家也不用太過于糾結(jié)這個(gè)公式，大家只需要知道對(duì)于單精度浮點(diǎn)數(shù)，最多只能用32位字符表示一個(gè)數(shù)字，雙精度浮點(diǎn)數(shù)最多只能用64位來表示一個(gè)數(shù)字。

而對(duì)于那些無限循環(huán)的二進(jìn)制數(shù)來說，計(jì)算機(jī)采用浮點(diǎn)數(shù)的方式保留了一定的有效數(shù)字，那么這個(gè)值只能是近似值，不可能是真實(shí)值。

至于一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的IEEE 754浮點(diǎn)數(shù)應(yīng)該如何計(jì)算，不是本文的重點(diǎn)，這里就不再贅述了，過程還是比較復(fù)雜的，需要進(jìn)行對(duì)階、尾數(shù)求和、規(guī)格化、舍入以及溢出判斷等。

但是這些其實(shí)不需要了解的太詳細(xì)，我們只需要知道，小數(shù)在計(jì)算機(jī)中的表示是近似數(shù)，并不是真實(shí)值。根據(jù)精度不同，近似程度也有所不同。

如0.1這個(gè)小數(shù)，他對(duì)應(yīng)的在雙精度浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制為：

0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011001

0.2這個(gè)小數(shù)：

0.00110011001100110011001100110011001100110011001100110011 。

所以兩者相加：