到達(dá)什么水平才能算是學(xué)會了數(shù)學(xué)？

數(shù)學(xué)算法俱樂部

日期：201年11月7日

正文共：6828字0圖

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來源：數(shù)學(xué)職業(yè)家

我最近開始自學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)了有一年了。我覺得如果想把數(shù)學(xué)學(xué)懂的話，一定要從最基礎(chǔ)開始，一步一步的學(xué)，并且選好教材。而且往往需要用數(shù)學(xué)系的教材才行。

先說一下背景。我本科畢業(yè)于上海一所普通大學(xué)，食品專業(yè)，畢業(yè)后工作兩年完全跟專業(yè)不相關(guān)，覺得沒前途，想轉(zhuǎn)行學(xué)計(jì)算機(jī)。現(xiàn)在在讀計(jì)算機(jī)研究生研二。

去年開始學(xué)習(xí)之前，只有本科上過的高數(shù)（同濟(jì)）和線性代數(shù)（學(xué)校自編）的基礎(chǔ)，但是全都忘光了。現(xiàn)在讀研經(jīng)常看到有線性代數(shù)的知識，而回想一下本科學(xué)的線性代數(shù)最多就會算一下特征值，應(yīng)用一下克萊姆法則解方程，而且連特征值是什么都說不清楚，所以萌生了補(bǔ)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的想法。因?yàn)橹氨究频臅r(shí)候也好高騖遠(yuǎn)，借過一些非常高大上的數(shù)學(xué)書來讀，發(fā)現(xiàn)什么都看不懂，比如印象深刻的是有一本書上來就介紹巴拿赫空間，但當(dāng)時(shí)我連線性空間都沒啥印象，怎么可能看懂。所以這次學(xué)習(xí)，我決心要從最基礎(chǔ)的開始看起，不能急功近利。

我先從線性代數(shù)開始學(xué)的，最初的動機(jī)就是我們Information Retrieval課程經(jīng)常會用到矩陣乘法，還有特征值，我想最起碼也要理解什么是特征值才行。選了一陣子教材，后來不知道從哪兒看到說Linear Algebra Done Right這本書講的很好，講法很新穎，并且全書最后才講行列式。我個(gè)人比較喜歡嘗新，而且當(dāng)時(shí)并不具備任何數(shù)學(xué)方面的成熟度（估計(jì)現(xiàn)在也不成熟，不過比當(dāng)時(shí)好多了），覺得這種講法可能會教給我一些對數(shù)學(xué)的直觀洞察，就選用了這本書。

這本書一開始三章給我的感覺就是完全抽象。各種定義，各種性質(zhì)。而最開始的我很明顯缺少相應(yīng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還是沿用高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法（對，我認(rèn)為本科學(xué)的高數(shù)和線性代數(shù)根本沒有教會我怎么去學(xué)習(xí)真正的數(shù)學(xué)），嘗試用已知的經(jīng)驗(yàn)去套用這些定義，就想當(dāng)然的以為自己懂了。我也會去想每一個(gè)定義的動機(jī)，并且每一頁都要讀1小時(shí)以上（就像這本書前言說的），但是后來發(fā)現(xiàn)我對每一個(gè)定義和性質(zhì)的理解還是太具體。我舉個(gè)例子：

這本書開始介紹了向量和向量空間的概念，直到第六章才引入了內(nèi)積，長度（范數(shù)），正交等概念。但是在這里我就犯了先入為主的錯(cuò)誤。我在讀前五章時(shí)，就想當(dāng)然的以為向量就對應(yīng)著一段有長度有方向的線段，從而我腦海里的向量的概念其實(shí)只是真正的向量概念的特例。當(dāng)然這種直觀的方法很多時(shí)候都沒有問題，畢竟特例也是向量，所以向量空間的所有性質(zhì)看起來都很相容。但是如果一直在腦海中留著這兩個(gè)概念并帶到這些定理（性質(zhì)）的理解中去，就會導(dǎo)致不能夠理解這些定理的本質(zhì)，也就是學(xué)不明白，而且會覺得這些知識很繁瑣。比如對我來說曾經(jīng)最大的一個(gè)困擾是，我很難去理解為什么書里面表示一個(gè)映射用的是T(x, y) = (x+3y, 2x+5y, 7x+9y)，然后他又能能夠很自然的找到表示這個(gè)映射的矩陣？對于當(dāng)時(shí)的我來說，(x, y)是一個(gè)向量，(x+3y, 2x+5y, 7x+9y)是另一個(gè)向量，怎么找矩陣嘛！再一個(gè)例子就是，我會花一些時(shí)間去理解（甚至根本不能理解）為什么多項(xiàng)式，還有三角函數(shù)也能夠看成向量，因?yàn)楦揪蜔o法具象化啊！比如，如果我想在腦海中把一個(gè)多項(xiàng)式當(dāng)作歐式空間中的向量來看的話，sinx的長度是多少？夾角是多少？

再加上沒有人討論，點(diǎn)撥，所以我后來花了很長時(shí)間去摒棄我先入為主的很多觀念。當(dāng)我真正發(fā)現(xiàn)原來我自身帶有的這種先入為主的對向量的刻板印象是錯(cuò)誤的時(shí)候，那感覺就像頓悟一樣，突然前面的這些定理都通了。那個(gè)時(shí)刻我非常的興奮，感覺三觀被重塑一樣。然而實(shí)際上，我摒棄了那些沒用的刻板觀念之后，我發(fā)現(xiàn)線性空間其實(shí)是非常簡單的空間，而前面那幾章其實(shí)都是在講一些簡單的道理（這個(gè)感覺我在學(xué)卓里奇的數(shù)學(xué)分析前幾章的時(shí)候也發(fā)生了）。我需要學(xué)習(xí)的東西一下又變少了，那確實(shí)是一種通了的感覺。當(dāng)時(shí)真的有一種三觀被重塑的感覺，而且，看待事物的方式也被潛移默化的影響了，開始喜歡數(shù)學(xué)這種下定義，嚴(yán)謹(jǐn)證明的方式了。

那我是怎么摒棄那些先入為主的概念呢？其實(shí)明白過來以后也很簡單，但關(guān)鍵就看能不能轉(zhuǎn)過這個(gè)彎了。有人說集合是數(shù)學(xué)的基本語言，我轉(zhuǎn)過這個(gè)彎靠的就是集合加上去理解定義，尤其是向量空間的定義。一開始的時(shí)候我看向量空間的定義時(shí)很快就自以為理解跳過了，后來學(xué)不明白回來看的時(shí)候，才注意到向量空間其實(shí)是一個(gè)集合！一個(gè)包含元素的集合！并且這個(gè)集合上的元素滿足交換律，結(jié)合律等等的性質(zhì)。關(guān)鍵點(diǎn)就在于這是個(gè)集合！集合里的元素并沒有長度，并沒有大小。并且只要能夠滿足后面給的這6條運(yùn)算性質(zhì)，集合里的什么元素我都可以叫他向量。所以多項(xiàng)式也可以是向量，sinx也可以是向量，甚至生活中的一些東西都可以叫一個(gè)向量了。

這本書的前言里說如果讀書的時(shí)候任何一頁閱讀以及理解的時(shí)間少于1小時(shí)，說明讀快了。事實(shí)上，這本書我每天讀，讀了20多天，也才看完前三章。確實(shí)每一頁都讀了1小時(shí)左右（或許更多）。因?yàn)檫@本書一上來簡直太抽象了，而且我本科學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候根本就是沿用了高中那一套，盡管我每一個(gè)定義都盡力去理解并且盡力去記憶，還是很難轉(zhuǎn)過那道從高中數(shù)學(xué)到大學(xué)數(shù)學(xué)的彎。后來學(xué)完第三章以后，感覺三觀都被重塑了。

后來開學(xué)了，沒時(shí)間繼續(xù)看了。放暑假后，我又繼續(xù)看這本線性代數(shù)，從第六章看到結(jié)束，大概又花了一個(gè)多月。盡管很花時(shí)間，但理解各個(gè)定理，以及證明都沒有太大問題。但是呢，當(dāng)時(shí)的我還是太naive，以為就是學(xué)好了線性代數(shù)呢。直到后來開學(xué)，選了data mining的課。老師本身很水，講的也不難，但是我還是想好好學(xué)嘛。本科由于沒學(xué)過概率論（該死我我們學(xué)校老師都不知道怎么安排的課程，食品專業(yè)也應(yīng)該教概率論呀！），所以我又自學(xué)了概率論（陳希儒寫的），并且把所有分布以及各種大數(shù)定理，中信極限定理，都證明了一遍（這是另一個(gè)故事，后面再講）。但是我發(fā)現(xiàn)盡管我有了一些線性代數(shù)的理解，也知道了幾種“transformation”/“operator”的分解，卻還是不能很好的理解課上講的各種矩陣運(yùn)算，還有嘗試?yán)斫釹VD也花了很長時(shí)間，而且感覺并沒有理解透徹。我現(xiàn)在找到了原因，因?yàn)長inear Algebra Done Right太強(qiáng)調(diào)抽象了，作為理論固然很好，但是在應(yīng)用的時(shí)候，就發(fā)現(xiàn)跟矩陣脫節(jié)了。比如這本書里定義的Normal Operator，我根本對應(yīng)不上是一個(gè)什么樣子的矩陣。我也不知道原來能夠上三角化（前提是標(biāo)準(zhǔn)正交基）指的就是能夠找到可逆的酉矩陣，一左乘，一逆右乘把他化為上三角矩陣。我發(fā)現(xiàn)我在理解一個(gè)抽象概念，并把抽象概念轉(zhuǎn)化成可以實(shí)際應(yīng)用的矩陣表示之間存在這一個(gè)鴻溝。所以我在上個(gè)月考完試之后又開始學(xué)習(xí)線性代數(shù)了，這一次想要彌補(bǔ)這個(gè)坎。

這次又學(xué)線性代數(shù)我仍然是結(jié)合著這本linear algebra done right教材，并在網(wǎng)上找了一個(gè)視頻（是我在嘗試?yán)斫饽硞€(gè)概念時(shí)搜到的）結(jié)合著學(xué)習(xí)。視頻是臺灣交通大學(xué)的莊重老師講的線性代數(shù)。說實(shí)話，我是一聽到他講的課就愛上了。講的實(shí)在是清晰，并且我覺得，如果我最開始就跟著他學(xué)習(xí)線性代數(shù)的話，應(yīng)該就不會走這么多彎路了。我其實(shí)也是從他的下學(xué)期的內(nèi)積空間的幾堂課開始聽的，主要就是針對一些我之前沒有弄懂的抽象與具體對應(yīng)的一些問題挑著看。他的可很好的一點(diǎn)就是，比如講舒爾定理時(shí)，他先寫了一個(gè)抽象的定義，緊接著他又給出了對應(yīng)定義的矩陣表示形式，從而幫助理解。而且他也有一些介紹某個(gè)定理該怎么用的課。我看完了他的課之后，又覺得線性代數(shù)有了很大的提高。目前我線性代數(shù)就學(xué)到這里，盡管可能還是不入流，但是自覺的比之前的我強(qiáng)了太多太多。

我還想分享我自學(xué)數(shù)學(xué)分析的經(jīng)歷。我在去年暑假看完線性代數(shù)的時(shí)候，就開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析了。數(shù)學(xué)分析挑教材的時(shí)候，又是上網(wǎng)搜，包括知乎（知乎真是太好了）。當(dāng)然又挺非主流，我被卓里奇的數(shù)學(xué)分析吸引了。因?yàn)榻榻B說是清華什么很牛的班用的數(shù)學(xué)分析教材，并且觀點(diǎn)非常之高。所以我就淘寶淘了上下兩冊（暑假在國內(nèi)學(xué)的）。數(shù)學(xué)分析上來以后不像線性代數(shù)，他更詳細(xì)的介紹了集合論。我覺得這也是重塑三觀的一個(gè)過程。印象最深刻的有幾個(gè)。一個(gè)是用公理化集合論代替樸素的集合論去繞過羅素悖論。一個(gè)是連續(xù)性的那幾個(gè)公理，比如實(shí)數(shù)連續(xù)性公理，區(qū)間套公理，有限覆蓋公理。我花了好多天去理解，當(dāng)時(shí)的狀態(tài)就是，把這幾個(gè)中的某一條讀的滾瓜爛熟，就是不知道為什么要這么拐彎子的定義公理去定義實(shí)數(shù)，所以每天該干嘛干嘛，但是一有閑下來的時(shí)間就漫無目的的游走或者靜坐思考這幾個(gè)公理，或者睡前繼續(xù)想直到腦海中都模糊了。想了幾天才拐過這個(gè)彎，理解到原來還是集合的問題。這幾個(gè)公理其實(shí)要表達(dá)的也很簡單，就是告訴我們實(shí)數(shù)是連續(xù)的，能夠存在像根號2這樣的無理數(shù)。這幾個(gè)公理看起來可能挺復(fù)雜，但我理解可能已經(jīng)是用集合的語言，來表達(dá)連續(xù)性（也就是無理數(shù)存在）的最簡單的定義方式了。

理解了以上這些集合論，以及連續(xù)的概念之后，我們才可以在這基礎(chǔ)上定義極限。因?yàn)橛蛇B續(xù)可以證明極限的存在性。極限也是一步一步導(dǎo)出的。由之前的工具其實(shí)只能證明一個(gè)序列的極限。有了序列的極限之后，又討論了級數(shù)的極限，因?yàn)榧墧?shù)的每一項(xiàng)和都可以看作某個(gè)序列中的一項(xiàng)。再之后才定義了函數(shù)在某點(diǎn)的極限。每一個(gè)后面的定義都需要用到前面的定義以及結(jié)論。定義了函數(shù)在某點(diǎn)的極限之后，才能定義函數(shù)在區(qū)間的連續(xù)性（區(qū)間內(nèi)處處連續(xù)）。

剛剛讀完前面4章的時(shí)候，我的心情也是非常激動的，我感覺智力上得到了挑戰(zhàn)，并且我成功的理解了他們，非常有成就感。我也感嘆于數(shù)學(xué)理論的精巧以及嚴(yán)密。對數(shù)字本身也有了更有趣的洞察；并且對這種定義，公理，定理的體系也更適應(yīng)了。實(shí)數(shù)連續(xù)性那幾個(gè)公理確實(shí)也很塑造三觀。我覺得如果沒有轉(zhuǎn)換過一個(gè)觀念，仍然輕易去接受看起來符合直覺的數(shù)學(xué)定理，而不追問自己這個(gè)定理是怎么來的，確實(shí)容易有“這么顯而易見的事情也要證明”的困惑。而且，如果沒有脈絡(luò)，不知道數(shù)學(xué)其實(shí)是一個(gè)一步一步逐漸搭起來的過程，去被迫接受很多書上的定理并拿來使用的話，很容易被眾多的定理搞的頭昏腦漲。

從第五章開始到第八章，講的是微分，積分，然后再把微分和積分拓展到高維上去。我學(xué)的時(shí)候感覺可能是偏應(yīng)用吧，并且同濟(jì)的高數(shù)教材這些內(nèi)容講的比較多，并沒有遇到太多的困難。感覺很有趣的是復(fù)數(shù)部分。以前在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候?qū)W到復(fù)數(shù)，完全不知道這個(gè)數(shù)的動機(jī)是什么。盡管我絞盡腦汁，而且嘗試各種尋找復(fù)數(shù)的直觀理解，并且還真找到了各種直觀的理解，卻總不能在情感上接受。而且，更難以接受的是，為什么偏偏定義這種二元數(shù)，不繼續(xù)定義三元數(shù)四元數(shù)呢（或者定義了卻沒有廣泛應(yīng)用）？但是學(xué)了數(shù)學(xué)分析里關(guān)于復(fù)數(shù)的部分，再加上自己的一些思考，盡管我仍然不能解釋后面三元數(shù)四元數(shù)的問題，卻大體有了一些思路，了解了一些動機(jī)，并且在以后自己遇到相似的問題的時(shí)候，如果有需要，我也敢自己創(chuàng)造屬于我自己的什么元數(shù)出來。這其中的關(guān)鍵就在于“如果有需要”這幾個(gè)字。我理解定義復(fù)數(shù)實(shí)際上是對已有的實(shí)數(shù)的一種延拓（可能我在濫用術(shù)語了）。類比我們之前的幾次延拓應(yīng)該能夠找到一些感覺，也就是什么時(shí)候我們應(yīng)該去延拓一些東西的感覺。之前我們在學(xué)習(xí)的過程中已經(jīng)做過幾次延拓了。我們在定義數(shù)的時(shí)候，其實(shí)我們是先從自然數(shù)開始定義的。自然數(shù)我們先從1開始定義，并且定義加法。然后1可以不斷加1，我們給每一個(gè)數(shù)起個(gè)名字，就構(gòu)造出了自然數(shù)。有了自然數(shù)和加法，自然就想到了有沒有加法的逆運(yùn)算，也就是減法？如果減法存在的話，那么1-2等于多少呢？這里是我認(rèn)為對數(shù)的第一次延拓，這次延拓的結(jié)果就是增加了0和負(fù)數(shù)。然后有了加法，我們自然也想到了乘法，也就是x個(gè)y的運(yùn)算。然后聰明的我們又開始想乘法的逆運(yùn)算，也就是除法。整數(shù)又不夠用了，于是構(gòu)造出了有理數(shù)，這是對整數(shù)的延拓。有了乘法，我們又構(gòu)造出了乘方，然后乘方有逆運(yùn)算嗎？我們定義了它的逆運(yùn)算開方，結(jié)果有理數(shù)又不夠用了，我們延拓出了無理數(shù)，也就是實(shí)數(shù)了。但是其實(shí)實(shí)數(shù)還是不夠用的，因?yàn)樨?fù)數(shù)現(xiàn)在沒有開方。我們?yōu)榱俗屵\(yùn)算封閉，并且都有意義，干脆構(gòu)造出了虛數(shù)（又一次延拓），以及復(fù)數(shù)。并且，我們定義完復(fù)數(shù)之后，給它制定了運(yùn)算規(guī)則，發(fā)現(xiàn)他很守規(guī)矩，可以很好的幫助我們計(jì)算，而且我們甚至能夠找到對它的直觀解釋，即復(fù)平面。因此我們也接受了復(fù)數(shù)。因此我感覺延拓就好像你在做數(shù)學(xué)的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有的數(shù)學(xué)工具不能滿足自己的需求，而定義的一種新的工具。這種新的工具可能能夠幫助簡化計(jì)算，或者能夠?qū)⒛硞€(gè)具體問題泛化成更抽象的更通用的的概念，從而幫助研究這個(gè)具體的問題。甚至有的延拓本身就足夠有趣從而值得去研究。

還有一些困難是當(dāng)這本書進(jìn)行到高維的時(shí)候，實(shí)在是非常抽象，所以理解起來很費(fèi)事，也不容易具象化。但是我感覺我前面對于實(shí)數(shù)的連續(xù)性的理解，對于我理解高維（并且是復(fù)空間）背景下的連續(xù)，極限的概念幫助很大，因?yàn)榭梢院芎玫念惐鹊綄?shí)數(shù)的連續(xù)性上，所以學(xué)起來也沒有那么的燒腦。

卓里奇的數(shù)學(xué)分析我看了3個(gè)多月，在去年暑假結(jié)束的時(shí)候看完第一冊。目前打算用閑暇時(shí)間去讀這本書的第二冊，而且也聽說了這本書其實(shí)他的精華在于第二冊，觀點(diǎn)很高。可惜現(xiàn)在還沒看，看完了再過來更新感想。

另外我還想分享我學(xué)習(xí)概率論的經(jīng)歷。概率論我本科居然沒有學(xué)過，我也不知道我們專業(yè)為什么這么安排，導(dǎo)致我基本上只有高中概率論的基礎(chǔ)，再加上之前我之前學(xué)食品某課程淺顯的接觸到了一點(diǎn)兒顯著性檢驗(yàn)的知識（其實(shí)只會查表，但至少不陌生）。學(xué)概率論其實(shí)是有一個(gè)契機(jī)，因?yàn)榘从?jì)劃我是打算看完數(shù)學(xué)分析第二冊再繼續(xù)學(xué)概率論的，因?yàn)楸容^簡單嘛。但是由于上學(xué)期選課選了data mining，所以課上需要用到很多概率的知識。我不希望這門課就這么混過去，所以每次作業(yè)都拖到最后一天去寫，而這之前則是惡補(bǔ)概率論的基礎(chǔ)知識。好在最后我終于補(bǔ)上了。概率論我大概花了1個(gè)月左右補(bǔ)習(xí)的。

首先還是選擇書。我經(jīng)過咨詢后選擇了陳希儒版的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。為什么沒有用英文版教材是因?yàn)閷W(xué)業(yè)壓力，沒有時(shí)間去慢慢讀英文版的。當(dāng)我讀了陳希儒老師的概率論后，我發(fā)現(xiàn)沒有選錯(cuò)書。這本書簡直太好了！統(tǒng)計(jì)的部分我沒有讀完，但是第一到四章以及第六章部分我都看了。作者都不是突兀的只介紹知識點(diǎn)，而是從實(shí)際問題入手，引出問題，我們?yōu)槭裁匆芯窟@些問題，并且作者給出了很多背后的動機(jī)以及他的思考，非常幫助讀者自己印證自己的想法。而對于概率論中的每一個(gè)公理定理，老先生也是極其認(rèn)真，難得的都給出了證明！這些證明也各有其動機(jī)，以及如何去直觀的理解，應(yīng)用這些定理。讀這本書的時(shí)候感覺簡直是酣暢淋漓。雖然是偏應(yīng)用的教材，但是這本書卻同時(shí)很數(shù)學(xué)，所有的定理仍然是一步一步的導(dǎo)出的，沒有什么突兀出現(xiàn)的概念，定理導(dǎo)致難以理解的。另外由于作者是中國人，讀起母語來如沐春風(fēng)，非常帶感。

這本書前兩章挺好理解，但是我覺得僅僅去記憶那幾個(gè)概率分布又有些舍本逐末了。書中對很多概率分布都給了證明，我對所有的分布都試著推導(dǎo)了一下，獲益匪淺。比如正態(tài)分布，二維正態(tài)分布，還有伽馬分布（伽馬分布很有趣，我感覺應(yīng)該可以看作階乘的延拓，不知道是否正確）等等。

為什么要推導(dǎo)，自己證明這些分布呢？因?yàn)槲夷X海中有些疑問，就是為什么我們需要這些奇怪的分布，這些分布都是怎么來的？其實(shí)還有一個(gè)實(shí)際的原因，就是我在上data mining的課程的時(shí)候，講解回歸分析時(shí)經(jīng)常會用各種顯著性檢驗(yàn)，有的時(shí)候滿足t分布，有的時(shí)候卻又滿足正態(tài)分布，有的時(shí)候又得用卡方檢驗(yàn)。我之前完全不能夠理解。

后來我理解了這些分布的意義了，其中的關(guān)鍵就是，要知道這些分布都是在什么條件下出現(xiàn)的分布。這個(gè)條件很重要，有了這些條件之后，這些分布就是由這些條件再加上一些概率論中的公設(shè)推導(dǎo)出來的了。舉個(gè)例子，卡方分布，其條件是隨機(jī)變量X1,X2,X3...Xn相互獨(dú)立，并且滿足標(biāo)準(zhǔn)正太分布時(shí)，他們的平方和滿足自由度為n的卡方分布。注意這里是他們的平方和滿足卡方分布，這是他能應(yīng)用于獨(dú)立性檢驗(yàn)（皮爾森卡方鑒定）的關(guān)鍵。再比如F分布，要滿足的條件是X1,X2獨(dú)立，各自滿足自由度為m和n的卡方分布，則(X2/m)/(X1/n)滿足Fmn分布，所以可以用F檢驗(yàn)。這其中的關(guān)鍵在于當(dāng)條件滿足后這些變量就滿足某個(gè)分布，想要理解這個(gè)檢驗(yàn)就一定需要能夠從條件推出這個(gè)分布出來。

還有一個(gè)自由度的概念。自由度很不直觀，也很難理解。書中102頁的證明能夠幫助理解自由度，但是應(yīng)該有嚴(yán)格的證明，目前我還沒接觸到。我個(gè)人目前的理解是，盡管你一共有m個(gè)變量，但是這些變量之間是相關(guān)，由其中的n個(gè)變量就能推出其他m-n個(gè)變量。從向量空間的角度來看，就是盡管有m個(gè)向量，但是由于線性相關(guān)，只能張成n維的空間，即任意個(gè)一個(gè)向量都只有n個(gè)方向的自由度。

概率論這本書第三章我覺得最關(guān)鍵就是中信極限定理。之前只是證明了正態(tài)分布是一個(gè)分布函數(shù)，但是并沒有給出為什么獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的均值服從正態(tài)分布。中心極限定理就描述了這樣一個(gè)性質(zhì)。我覺得理解這個(gè)定理的證明非常重要，要不然概率論感覺起來也像是空中樓閣一樣。但是遺憾的是這本書里沒有給出中心極限定理的證明。我現(xiàn)在也在嘗試找到這個(gè)證明并去理解，不過還沒有找到我能夠理解的證明。。。

以上是我這一年多學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的經(jīng)歷，大部分是我學(xué)習(xí)過程中的心理狀態(tài)以及感想，可能過于主觀，可能寫的并不正確，還請大家見諒。

—?THE END —

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