淺談經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系
數(shù)學(xué)算法俱樂(lè)部
日期：2020年07月09日
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來(lái)源：經(jīng)管之家(人大經(jīng)濟(jì)論壇)
很多經(jīng)濟(jì)學(xué)子對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)仍舊模糊，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)仍舊有畏懼的感覺(jué)，決定發(fā)一篇，以供參考和討論。本人不敢說(shuō)對(duì)數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)十分了解，期待有牛人對(duì)此文批評(píng)指正。?之所以說(shuō)“學(xué)好經(jīng)濟(jì)學(xué)，數(shù)學(xué)很重要”是因?yàn)榻?jīng)濟(jì)學(xué)已經(jīng)越來(lái)越成為一門(mén)精確的學(xué)科，而一個(gè)學(xué)科成為科學(xué)的標(biāo)志就是它是否成功的使用了數(shù)學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)也是如此。經(jīng)濟(jì)學(xué)如果非要和現(xiàn)有學(xué)科進(jìn)行比較的話，那我說(shuō)與之最接近的就是物理，而把經(jīng)濟(jì)學(xué)歸為文科一類的歸類方法是相當(dāng)過(guò)時(shí)的。為什么說(shuō)經(jīng)濟(jì)學(xué)類比于物理呢？因?yàn)槎咄瑯邮窃谝幌盗屑俣ǖ幕A(chǔ)之上，用嚴(yán)格的推理得到結(jié)論的學(xué)科，唯一不同就是物理大量使用重復(fù)試驗(yàn)的方法來(lái)驗(yàn)證結(jié)論，而經(jīng)濟(jì)學(xué)中的重復(fù)試驗(yàn)則比較困難。因此經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中數(shù)學(xué)使用的好壞直接導(dǎo)致了經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的成敗，也因此現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域很少有像科斯那樣的奇才能逾越數(shù)學(xué)而仍舊非常成功的經(jīng)濟(jì)學(xué)家。?如此重要的數(shù)學(xué)本身的體系也是很復(fù)雜的，因此本文就重點(diǎn)談?wù)剶?shù)學(xué)的各個(gè)分支學(xué)科和經(jīng)濟(jì)的聯(lián)系。?數(shù)學(xué)有三高，數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何（最近也有新提法：數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)，概率統(tǒng)計(jì)，私下認(rèn)為這樣有點(diǎn)弱化幾何的地位），這是老的提法，也有人叫三基，因此可以稱之為老三高或者老三基，是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。還有近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)——新三基，領(lǐng)域上還是分析、代數(shù)和幾何，只不過(guò)內(nèi)容有了本質(zhì)上的進(jìn)化，分別是實(shí)函與泛函分析、近似代數(shù)和拓?fù)鋵W(xué)。先看老三高，數(shù)學(xué)分析就相當(dāng)于經(jīng)濟(jì)學(xué)類學(xué)生大一學(xué)的高等數(shù)學(xué)，不過(guò)高等數(shù)學(xué)其實(shí)是為工科的學(xué)生準(zhǔn)備的，以計(jì)算為主，最終的目的是能使用數(shù)學(xué)進(jìn)行工程計(jì)算，而數(shù)學(xué)分析是以證明為主，主要是訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維的能力，因此表面上看內(nèi)容差別不是太大，但是實(shí)際學(xué)起來(lái)是不一樣的。因此對(duì)于經(jīng)濟(jì)學(xué)這樣的以推理為主的學(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析是十分必要的。這一點(diǎn)田國(guó)強(qiáng)教授等人也多次撰文提過(guò)。數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)系的本科生至少要學(xué)三到四個(gè)學(xué)期，而高等數(shù)學(xué)一般最多只有兩個(gè)學(xué)期，而且其中還含有常微分方程和解析幾何的東西，可見(jiàn)其內(nèi)容被壓縮沖淡了許多。高等代數(shù)相當(dāng)于經(jīng)濟(jì)類學(xué)生學(xué)的線性代數(shù)，除了范圍上前者更廣一些外主要的差別也是偏重理論與偏重計(jì)算的問(wèn)題。高等代數(shù)更注重理論的證明過(guò)程，而線性代數(shù)更注重計(jì)算，學(xué)生會(huì)算了就行，至于怎么來(lái)的，為什么這樣，這些對(duì)將來(lái)科研很重要的東西都很少訓(xùn)練。解析幾何這種學(xué)科在經(jīng)濟(jì)上的直接應(yīng)用較少，經(jīng)濟(jì)上的圖像一般也沒(méi)有復(fù)雜到不學(xué)解析幾何就看不懂的地步，但是我個(gè)人感覺(jué)幾何學(xué)的好的人對(duì)代數(shù)的理解一般會(huì)更加深刻，代數(shù)很多方面就是幾何的多維擴(kuò)展。?再看看新三高。實(shí)函與泛函在學(xué)科中一般被分為兩科來(lái)學(xué)，本身也是兩個(gè)不同的領(lǐng)域，只是由于叫法的問(wèn)題經(jīng)常被捏在一起。實(shí)函的主要內(nèi)容是數(shù)學(xué)分析的延續(xù)，對(duì)于狄里克萊函數(shù)這樣異常的函數(shù)在數(shù)學(xué)分析的領(lǐng)域中不可微積分，而通過(guò)對(duì)一系列定義的擴(kuò)展，在實(shí)變函數(shù)的領(lǐng)域內(nèi)又可以進(jìn)行微積分了。其中里面最基礎(chǔ)的理論莫過(guò)于測(cè)度理論，它也是概率論的基礎(chǔ)，因此在數(shù)學(xué)系本科的教學(xué)中經(jīng)常是先學(xué)實(shí)變?cè)賹W(xué)概率論。而對(duì)隨機(jī)問(wèn)題研究頗多的金融學(xué)科的博士需要研究測(cè)度論也就不足為奇了。?泛函可以說(shuō)是數(shù)學(xué)中集大成之作。數(shù)學(xué)的發(fā)展在歷史上有兩個(gè)方向，一個(gè)是越來(lái)越精細(xì)，對(duì)某一問(wèn)題的深入探討進(jìn)而發(fā)展成一門(mén)學(xué)科，另一個(gè)方向就是從很高的高度對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行概括，描述學(xué)科與學(xué)科之間的共性的問(wèn)題進(jìn)而找出漂亮的結(jié)論，泛函分析就是這樣一門(mén)學(xué)科。它把函數(shù)看成集合中的元素，把全體函數(shù)看成一個(gè)集合，在這樣的視角下給出了像不動(dòng)點(diǎn)定理這樣的東西，對(duì)求函數(shù)的極值這樣理論證明上經(jīng)常遇到的問(wèn)題給出了一般的解法，因此如果泛函不懂，在學(xué)習(xí)高等宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中，遇見(jiàn)涉及動(dòng)態(tài)規(guī)劃的問(wèn)題時(shí)肯定是有很大障礙的。所以高等宏觀才會(huì)有羅默的那本為數(shù)學(xué)不好的人提供的書(shū)的暢銷(xiāo)，而很多老師卻在推薦薩金特的高級(jí)宏觀。對(duì)于近似代數(shù)和拓?fù)鋵W(xué)，很不幸，本人讀書(shū)的那個(gè)年代正直高校學(xué)科改革，在學(xué)科“應(yīng)用化”的浪潮下，這樣理論的學(xué)科都被砍掉了，后來(lái)轉(zhuǎn)經(jīng)濟(jì)后也沒(méi)有對(duì)此學(xué)科有過(guò)多的涉獵，因此在這里不敢多說(shuō)，但據(jù)說(shuō)拓?fù)涞膽?yīng)用也十分廣泛。?新老三高學(xué)完了就進(jìn)入數(shù)學(xué)比較分支的一些學(xué)科了，先說(shuō)說(shuō)常微分方程。大部分的經(jīng)濟(jì)學(xué)理論都是由一系列函數(shù)和方程描述的，因此在求解結(jié)論的時(shí)候一定會(huì)用到方程理論。而方程的基礎(chǔ)就是常微分方程，因此常微不可不學(xué)。金融學(xué)科對(duì)這方面的要求很高，比如對(duì)股價(jià)的刻畫(huà)，使用的是時(shí)間序列，一般用差分方程，而差分方程的很多理論和常微分方程是一樣的，解法也一樣。?概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。大部分的經(jīng)濟(jì)學(xué)科學(xué)生是學(xué)概率的但是不學(xué)統(tǒng)計(jì)或者統(tǒng)計(jì)是考查，學(xué)生也不重視。但事實(shí)上現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究逐漸由靜態(tài)轉(zhuǎn)向動(dòng)態(tài)、由對(duì)確定性問(wèn)題的分析轉(zhuǎn)向?qū)Σ淮_定問(wèn)題的分析，對(duì)隨機(jī)事件的認(rèn)識(shí)應(yīng)該越來(lái)越重要。概率是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)其實(shí)是一種方法，學(xué)了數(shù)理統(tǒng)計(jì)才能去研究計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)，很難想象沒(méi)學(xué)過(guò)統(tǒng)計(jì)的學(xué)生直接學(xué)計(jì)量是何等的困難，T統(tǒng)計(jì)量F統(tǒng)計(jì)量是什么都不懂怎么可能用軟件去建模。有經(jīng)濟(jì)的研究生畢業(yè)時(shí)答辯居然都說(shuō)不清AIC和SIC準(zhǔn)則是干什么的，只知道去背使用方法，不知道其中的道理，其實(shí)學(xué)好數(shù)理統(tǒng)計(jì)理解這樣的問(wèn)題是不難的。?計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)憑其實(shí)可以認(rèn)為是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)分支。我個(gè)人人為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)其實(shí)就是一系列數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法及其評(píng)價(jià)的集合體，因此概率和統(tǒng)計(jì)的認(rèn)識(shí)尤其大數(shù)定律和中心極限定理這樣的核心理論的認(rèn)識(shí)，直接制約著對(duì)計(jì)量的理解能力。?隨機(jī)過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程從名字上就可以看出來(lái)是以概率論為基礎(chǔ)的。概率研究的對(duì)象是事件，對(duì)事件發(fā)生的分布從各個(gè)角度研究。隨機(jī)過(guò)程研究的對(duì)象是過(guò)程，也就是對(duì)事件在各個(gè)時(shí)刻的積累結(jié)果進(jìn)行研究，是對(duì)事件增加了一個(gè)時(shí)間維度。金融學(xué)對(duì)隨機(jī)過(guò)程的要求越來(lái)越重要，因?yàn)橄窆善眱r(jià)格這樣的變量的變動(dòng)就是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。它和方程結(jié)合起來(lái)就是隨機(jī)微分方程，有學(xué)者稱金融最前沿的問(wèn)題就是隨機(jī)微分方程，因此由學(xué)校的數(shù)學(xué)系就招收金融工程的博士生。?時(shí)間序列分析。學(xué)完了計(jì)量，一般的金融研究生都要學(xué)時(shí)間序列分析。從隨機(jī)過(guò)程的角度時(shí)間序列也就是一類特殊的隨機(jī)過(guò)程，金融和宏觀經(jīng)濟(jì)一般都是用時(shí)間序列模型刻畫(huà)的。?多元統(tǒng)計(jì)。數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)完了其實(shí)能做的實(shí)際事情很少，因?yàn)閿?shù)理統(tǒng)計(jì)的對(duì)象最多是二維的，而實(shí)際問(wèn)題一般變量的維度較高，多元統(tǒng)計(jì)就是講多元變量的統(tǒng)計(jì)，這樣密集計(jì)算的學(xué)科是少不了計(jì)算機(jī)的，各種軟件也層出不窮。但是無(wú)論軟件多么好用，不懂理論是不可能光憑操作軟件解決問(wèn)題的，因?yàn)榭炊浖Y(jié)果、分析解釋軟件結(jié)果才是統(tǒng)計(jì)中最核心的內(nèi)容。學(xué)完了多元統(tǒng)計(jì)就可以很容易的全面的使用像SPSS這樣的傻瓜軟件的（建議去學(xué)習(xí)SAS吧）。?數(shù)值分析。數(shù)值分析和編程基礎(chǔ)對(duì)于想搞計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的人是不可或缺的，因?yàn)樾碌挠?jì)量經(jīng)濟(jì)理論的提出需要軟件實(shí)踐，新的理論是不可能有現(xiàn)成的軟件供使用的，必須要自己編。算法是編程的基礎(chǔ)，而數(shù)值分析就是講算法的。?最優(yōu)化理論。我國(guó)的經(jīng)濟(jì)學(xué)教育體系中沒(méi)有對(duì)這方面進(jìn)行強(qiáng)化，與之相近的是管理科學(xué)和有些工科領(lǐng)域中有運(yùn)籌學(xué)、數(shù)學(xué)中有線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃能夠涉獵，不過(guò)側(cè)重是不一樣的。有經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為經(jīng)濟(jì)學(xué)就是規(guī)劃就是求最值，事實(shí)上最優(yōu)化方法在經(jīng)濟(jì)學(xué)科中的應(yīng)用也確實(shí)很廣。最優(yōu)化是需要一定的泛函理論的，有了一定的泛函的基礎(chǔ)后對(duì)其中的變分法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃的問(wèn)題就不那么難理解了，而這也是學(xué)習(xí)高級(jí)經(jīng)濟(jì)學(xué)不可缺少的數(shù)學(xué)知識(shí)。?就介紹這么多吧！有的同學(xué)提出數(shù)學(xué)很不好學(xué)，其實(shí)認(rèn)為不好學(xué)的同學(xué)往往是因?yàn)樗雽W(xué)某個(gè)東西，而他能學(xué)明白這個(gè)東西所的必要的基礎(chǔ)沒(méi)有。就好比，他想學(xué)高中數(shù)學(xué)，可他只有小學(xué)2年級(jí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，只會(huì)算20以內(nèi)的加減法一樣，所以學(xué)好數(shù)學(xué)是一步一個(gè)腳印踩出來(lái)的。解一道題，條件齊備不一定能解出來(lái)，但是條件不全就肯定解不出來(lái)。本文只是粗略的告訴大家，你想解的那個(gè)題需要至少是什么已知條件，不過(guò)具體怎么解就要靠自己的努力了。還有一點(diǎn)我的感受，就是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的訓(xùn)練是一方面，更重要的是思維的訓(xùn)練，光知道內(nèi)容僅僅認(rèn)識(shí)工具，是第一步，要很好的利用工具還需要知道怎么去使用它，這才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。
—?THE END —
?數(shù)學(xué)建模如何誘騙了華爾街?如何畫(huà)出優(yōu)秀的架構(gòu)圖？?數(shù)學(xué)和編程?機(jī)器學(xué)習(xí)中需要了解的 5 種采樣方法?北大讀博手記：怎樣完成自己的博士生涯？非常具有指導(dǎo)性！?施一公：為什么要獨(dú)立思考、為什么要尊重科學(xué)？
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