黎曼猜想和哥德巴赫猜想有什么聯(lián)系?

數(shù)學(xué)算法俱樂部

日期?：?2020年12月28日?? ? ??

正文共?：5347字

嚴(yán)格上講黎曼猜想與哥德巴赫猜想并沒有特別明顯的聯(lián)系（至少現(xiàn)在應(yīng)該沒有什么神奇的定理表明二者是等價(jià)的），不過在對(duì)哥德巴赫猜想的研究過程中黎曼猜想確實(shí)扮演了類似敲門磚的作用。先講黎曼猜想（the Riemann Hypothesis）：

一、黎曼函數(shù)

這大半個(gè)復(fù)平面上的解析延拓（analytic continuation）.因?yàn)樵?/span>這里上述級(jí)數(shù)是不收斂的，1859年德國數(shù)學(xué)家伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）于1859年在其文《論小于給定數(shù)值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)》中首先找到了如下的解析延拓?? ? ? 可以證明，在上述解析延拓中除了在處有一個(gè)簡單的極點(diǎn)（simple pole）外，在整個(gè)復(fù)平面上是處處解析的，即所謂亞純函數(shù)（meromorphic function）.通過上述表達(dá)式可以證明，黎曼函數(shù)滿足下列函數(shù)方程首先可以從上述表達(dá)式中看出黎曼函數(shù)在（是正整數(shù)）出取值為0，是為平凡零點(diǎn)（但要注意一點(diǎn)解析延拓后的表達(dá)式與原來的級(jí)數(shù)表達(dá)式已然不同，所以你不能簡單地令然后說 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?這畢竟是很多民科“引以為豪”的結(jié)果）.黎曼發(fā)現(xiàn)函數(shù)除了有上述平凡零點(diǎn)外也有無窮多非平凡零點(diǎn)（non-trivial zero），這些零點(diǎn)的性質(zhì)遠(yuǎn)比平凡零點(diǎn)來得復(fù)雜，黎曼經(jīng)過研究后提出日后成為數(shù)學(xué)界最為艱深的猜想——黎曼猜想：黎曼函數(shù)所有非平凡零點(diǎn)均位于復(fù)平面的直線上學(xué)界稱這條直線為臨界線（critical line）我們可以很容易地從上面函數(shù)方程中看出來黎曼函數(shù)確實(shí)關(guān)于臨界線有某種對(duì)稱性，因此黎曼憑借他強(qiáng)大的直覺猜測很有可能函數(shù)所有非平凡零點(diǎn)都是在臨界線上的（不過后來事實(shí)證明黎曼自己確實(shí)是算過一些零點(diǎn)的數(shù)值的）。為了對(duì)函數(shù)進(jìn)一步研究，黎曼引入了輔助函數(shù)容易發(fā)現(xiàn)函數(shù)的零點(diǎn)恰好便是函數(shù)的非平凡零點(diǎn)（因?yàn)?/span>是極點(diǎn)，所以也就不是函數(shù)的零點(diǎn)了），也就是說函數(shù)像一個(gè)細(xì)密的篩子將函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)從其零點(diǎn)中篩了出來。利用復(fù)變函數(shù)的知識(shí)黎曼證明了這下子對(duì)稱性就變得尤為明顯了。我們記為函數(shù)的零點(diǎn)便有這里與總是配對(duì)出現(xiàn)的。需要注意的一點(diǎn)，上述連乘積展開對(duì)于有限多項(xiàng)式雖是顯然，但對(duì)這種無窮乘積卻不總是成立的，這背后蘊(yùn)含著極其深刻的原因。直到1893年阿達(dá)馬（Hadamard)對(duì)以為代表的整函數(shù)（entire function）進(jìn)行系統(tǒng)研究之后，才完完全全證明了黎曼這個(gè)表達(dá)式。? ? ? 利用函數(shù)黎曼研究了零點(diǎn)分布并且提出以下三個(gè)猜測：
猜想一：在的區(qū)域內(nèi)，的零點(diǎn)數(shù)目約為猜想二：在的區(qū)域內(nèi)，在臨界線上的零點(diǎn)數(shù)目也約為猜想三：的所有零點(diǎn)均在臨界線上. ? ? ? 可以看出，黎曼的三個(gè)猜測是呈階梯一般不斷增強(qiáng)的，而最后一個(gè)便是大名鼎鼎的黎曼猜想。需要指出的是，除了猜想三黎曼確確實(shí)實(shí)承認(rèn)自己證不出來外，猜想一、二都被黎曼認(rèn)為是簡單的（但他并沒有給出完整證明，鑒于黎曼的人品，黎曼極有可能確實(shí)證明了這兩個(gè)猜測）。不過隨便舉個(gè)例子你們感受一下這三個(gè)猜想的分量，最簡單的猜想一直到黎曼的論文發(fā)表46年后才被證明；次簡單的猜想二直到現(xiàn)在也沒被證明，它強(qiáng)于所有已經(jīng)取得的結(jié)果；至于猜想三嘛，呵呵……

二、黎曼函數(shù)與素?cái)?shù)分布

熟悉初等數(shù)論的人都知道歐拉（L.Euler）在1737年發(fā)表的一個(gè)著名公式其中遍歷所有素?cái)?shù).借由這個(gè)公式，我們便將黎曼函數(shù)與素?cái)?shù)緊密地結(jié)合在一起，換句話說：黎曼函數(shù)解密了素?cái)?shù)的結(jié)構(gòu)。（By the way，利用這個(gè)乘積可以很簡單地證明素?cái)?shù)有無限個(gè)）利用歐拉的這個(gè)公式做引子，黎曼證明了如下結(jié)果這里，其中為不大于的素?cái)?shù)個(gè)數(shù).利用分部積分，黎曼得到這下子聯(lián)系就比較露骨了，左邊是萬能的函數(shù)，右邊是與素?cái)?shù)分布直接相關(guān)的，那么接下來要做的便是解出：而利用簡單的莫比烏斯反演（Mobius inversion）可以得到這樣我們就把素?cái)?shù)分布函數(shù)完完全全蘊(yùn)含在黎曼函數(shù)之中.

三、素?cái)?shù)定理

對(duì)素?cái)?shù)規(guī)律的探求一直是數(shù)論領(lǐng)域的核心問題。對(duì)于，高斯（Gauss）有如下猜想：獨(dú)立于高斯，勒讓德（Legendre）也有如下猜測：容易看出，這兩者是等價(jià)的（不過我一直好奇1.08366是怎么找出來的……），共同被稱為素?cái)?shù)定理.?1896年，阿達(dá)馬與普桑（de la Valee Poussin，這名一看就是上流社會(huì)）分別獨(dú)立證明了黎曼函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，進(jìn)而證明了素?cái)?shù)定理。這當(dāng)然是一個(gè)輝煌的成就，素?cái)?shù)定理被證明之后，人們普遍希望能得到一個(gè)有精密誤差項(xiàng)的估計(jì)。可以證明高斯的公式比勒讓德的公式要精密得多（廢話，氣質(zhì)就不一樣，一個(gè)高富帥，一個(gè)土老帽……）。在黎曼猜想成立的假設(shè)下，人們證明了 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?反之，從這個(gè)公式也可以推出黎曼假設(shè)是對(duì)的，也就是說兩者是等價(jià)的。（黎曼假設(shè)還有一個(gè)很有意思的等價(jià)命題：對(duì)所有的，其中，等價(jià)性由Jeff Lagarias證明）

四、廣義黎曼假設(shè)（GRH）

即使研究黎曼猜想受阻，但依然攔不住數(shù)學(xué)家們想要高飛的心。所謂的廣義黎曼猜想，就是黎曼猜想的2.0版本，不過其研究對(duì)象由黎曼函數(shù)變成了更具廣泛性的狄利克雷（Dirchlet）函數(shù)。所謂狄利克雷函數(shù)指級(jí)數(shù)在上的解析延拓，其中是狄利克雷特征，稱此函數(shù)為模的狄利克雷函數(shù).今人有如下之猜想：?? 所有的非平凡零點(diǎn)都位于臨界線上顯然，這個(gè)比黎曼猜想牛b多了，當(dāng)然也難證多了。現(xiàn)代數(shù)論研究中，多以GRH為假設(shè)進(jìn)行討論，與黎曼假設(shè)類似，GRH可以推出：當(dāng)，令算術(shù)序列中不超過的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)為，則有同樣的，這個(gè)公式反過來也能推出GRH.

五、研究進(jìn)展

基本離證明還差得遠(yuǎn)呢……（好吧好吧，我承認(rèn)是來湊字?jǐn)?shù)的） ? ? ? 不過有好多有希望的想法，有復(fù)變函數(shù)論的（黎曼猜想多半是個(gè)復(fù)變函數(shù)問題），有解析數(shù)論的，有非對(duì)易幾何的（代表人物法國大數(shù)學(xué)家孔涅，不過希望渺茫）還有量子力學(xué)的?。。。]錯(cuò)，確實(shí)有量子力學(xué)的，參見“希爾伯特—波利亞猜想”）但怎么有種有生之年看不到的感覺……
簡單介紹一下孔涅的研究：（嚴(yán)格上說孔涅的證明思路是屬于量子力學(xué)的，但他在研究過程中確實(shí)也用了非對(duì)易幾何，具體效果如何恐怕不容樂觀。）孔涅寫出了一組方程，用其構(gòu)造了一個(gè)量子力學(xué)體系，這個(gè)體系的本征值恰好對(duì)應(yīng)著黎曼ζ函數(shù)在臨界線上的非平凡零點(diǎn)，如果孔涅能證明出了對(duì)應(yīng)本征值的零點(diǎn)外沒有其他非平凡零點(diǎn)了，那也就相當(dāng)于證明了黎曼猜想了，但就目前來看要做到這一點(diǎn)難比登天。

六、哥德巴赫猜想（Goldbach Problem)

在1742年給歐拉的一封信中，哥德巴赫提出了兩個(gè)猜想，歐拉用稍微簡練的語言改下后表述如下：（哥德巴赫猜想）每一偶數(shù)都能表成兩奇素?cái)?shù)之和，即. （弱哥德巴赫猜想）每一奇數(shù)都能表成三個(gè)奇素?cái)?shù)之和，即. ? ?很明顯，哥德巴赫猜想可以推出弱哥德巴赫猜想。在1900年的第二屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，大衛(wèi)·希爾伯特（D.Hilbert）向全世界的數(shù)學(xué)家們建議了23個(gè)問題，其中哥德巴赫猜想便是第八問題的一部分。12年后的第五屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，蘭道又將其作為素?cái)?shù)論中未解決的4個(gè)難題加以推薦，時(shí)至今日，對(duì)哥德巴赫猜想的研究極大帶動(dòng)了解析數(shù)論的發(fā)展，從這個(gè)意義上來講，哥德巴赫猜想可謂是素?cái)?shù)論中的核心問題。

七、弱哥德巴赫猜想與GRH

數(shù)學(xué)家們首先向弱哥德巴赫猜想發(fā)起沖鋒。第一次重大突破發(fā)生在20年代，哈代(Hardy）和李特爾伍德（Littlewood）在其“算術(shù)分拆”的系列文章中創(chuàng)立并發(fā)展了“圓法”即把方程的解數(shù)表為積分，并將積分區(qū)間表為一段“優(yōu)弧”和一段“劣弧”。然而此積分的上下界估計(jì)均需要廣義黎曼假設(shè)（GRH）來得到，因此在假定GRH成立的前提下，哈代和李特爾伍德證明了：?? 每個(gè)充分大的奇數(shù)都是三個(gè)奇素?cái)?shù)之和和??幾乎所有的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)之和，即令為不超過的不能表為兩素?cái)?shù)之和的偶數(shù)的個(gè)數(shù)，則有.這一方面表明在GRH的假定下，哥德巴赫猜想基本成立；另一方面有暗示廣義黎曼假設(shè)與公理體系中的很多定理是相容的，這就增強(qiáng)了GRH的可信度。? ? ?直接來說，在哈代和李特爾伍德的證明中用到了GRH導(dǎo)出的有關(guān)的估計(jì)式：對(duì)任意的這明顯是GRH的算術(shù)形式，用素?cái)?shù)定理的方法來處理優(yōu)弧上的積分當(dāng)然也可以但是不足以推出弱哥德巴赫猜想。? ? ??到1936年事情出現(xiàn)了轉(zhuǎn)機(jī)，帕奇（A.Page）與西格爾（C.L.Siegel）分別先后獨(dú)立證明有關(guān)的估計(jì)式，他們的結(jié)果雖然比GRH要弱很多但是已經(jīng)比當(dāng)時(shí)已取得的結(jié)果要強(qiáng)不少，也足以導(dǎo)出優(yōu)弧上的積分估計(jì)。數(shù)學(xué)家們意識(shí)到哈代和李特爾伍德證明中的GRH是有可能被取消的，稍后維諾格拉多夫（Vinogradov）和埃斯特曼證明了：每一個(gè)充分大的奇數(shù)皆可以表為兩個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)兩個(gè)素?cái)?shù)乘積之和，即和每一個(gè)充分大的整數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)平方的和，即.大多數(shù)人認(rèn)為在不依賴于GRH的傳統(tǒng)圓法證明中這已經(jīng)是很好的結(jié)果了，很難被超越了。1937年，維諾格拉多夫改造了傳統(tǒng)圓法，將劣弧上的積分化為估計(jì)三角和其中，他給出了的一個(gè)非同尋常的估計(jì)，并使他無條件地證明了??每個(gè)充分大的奇數(shù)都是三個(gè)奇素?cái)?shù)之和??但是這個(gè)”充分大“到底有多大才夠，首先是其學(xué)生波羅斯特金（Borozdin）計(jì)算出來已經(jīng)足夠大了，很顯然，這個(gè)下界太大難以用計(jì)算機(jī)驗(yàn)證，緊接著波羅斯特金又將下界改進(jìn)成了，但是依然太大難以用計(jì)算機(jī)來驗(yàn)證……話說那時(shí)候有民用計(jì)算機(jī)嗎？？后來大家就這么拖著拖著拖到了2002年，香港大學(xué)的廖明哲和王天澤將下限降到了，但這TMD還不夠?。?012年，加州大學(xué)洛杉磯分校的陶哲軒（T.Tao）大神首次不借助GRH完全證明了：奇數(shù)都可以表為最多五個(gè)素?cái)?shù)之和2012、2013年，巴黎高師的哈洛德·賀歐夫各特連發(fā)兩篇論文將下界降到了史無前例的，其同事大衛(wèi)·帕拉特（D.Platt）利用計(jì)算機(jī)驗(yàn)證了小于該下界的所有奇數(shù)均符合要求，從而完成了弱哥德巴赫猜想的全部證明。

八、哥德巴赫猜想與GRH

對(duì)哥德巴赫猜想的研究主要是圍繞圓法進(jìn)行的，以華羅庚為代表的中國解析數(shù)論學(xué)派在其中發(fā)揮著舉足輕重的作用。篩法源于公元前250年的Eralosthenes篩法，Eralosthenes用該方法制作出了世上第一張素?cái)?shù)表。1919年，布倫對(duì)傳統(tǒng)篩法進(jìn)行了大幅度改進(jìn)，并首先將其應(yīng)用于哥德巴赫猜想的研究，他證明了?? ? ? ? ? ? ? ? ? 每一個(gè)充分大的偶數(shù)都是兩個(gè)素因子個(gè)數(shù)不超過9的整數(shù)之和，簡記為“9+9” 我們可以類似定義，布倫這個(gè)結(jié)果的意義不但是大大提高了篩法的戰(zhàn)斗力而且開辟了一種證明哥德巴赫猜想的新思路，即不斷降低的大小，等到降到也就證明了哥德巴赫猜想。有了布倫的方法，有關(guān)哥德巴赫猜想的結(jié)果成井噴式增長：1924年，拉代馬海（H.Rademacher）證明7+7 1932年，埃斯特曼證明6+6 1937年，里奇（Ricci）證明了5+7,4+9,3+15,2+366（大神……） 1938年，布赫施塔布（Buchstab）改進(jìn)布倫篩法證明了5+5 1940年，布赫施塔布證明4+4 ? ? ? 其后，塞爾伯格（A.Selberg）發(fā)表了他著名的方法，該方法可以得到比布倫篩法更好的結(jié)果。起初方法是被塞爾伯格用于研究孿生素?cái)?shù)問題，華羅庚首開先河將其應(yīng)用于哥德巴赫猜想的研究，想法便是利用方法改進(jìn)布倫篩法的上界估計(jì)，同時(shí)利用布赫施塔布篩法得到更好的下界估計(jì)，在華羅庚的幫助下王元于1955年證明了3+4，這標(biāo)志著中國解析數(shù)論學(xué)派開始在該問題的研究領(lǐng)域占據(jù)領(lǐng)導(dǎo)地位。不巧的是，幾乎同時(shí)維諾格拉多夫得到了更好的結(jié)果，換而言之，他證明了3+3；王元發(fā)現(xiàn)維諾格拉多夫的結(jié)果可以直接由方法得到，他指出了維諾格拉多夫證明中的不足并加入了一些新的想法，維諾格拉多夫?qū)λ?+3證明做了更正。同年，孔恩（P.Kuhn）發(fā)表了他關(guān)于序列中素?cái)?shù)問題的幾篇文章，里面包含了不少的新想法。結(jié)合孔恩的方法，王元證明了3+3和。時(shí)間相隔不遠(yuǎn)，在王元之前其同事潘承洞證明了1+5和1+4。1957年春，王元在假定GRH成立的情況下證明了1+3，在此之前的最好結(jié)果是埃斯特曼的在GRH下的1+6和王元、維諾格拉多夫在GRH下的1+4。剩下的事就都知道了……陳景潤發(fā)表了驚天地泣鬼神的《大偶數(shù)表示一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過2個(gè)素?cái)?shù)之和》論文，達(dá)到了篩法的巔峰遠(yuǎn)超此前取得的所有結(jié)果，不用GRH證明了1+2。陳景潤證明1+2后人們普遍認(rèn)為由于篩法自身的局限性，很有可能1+2便是最好的結(jié)果（此前人們認(rèn)為篩法最多到1+3），因此如果想在陳氏定理上更進(jìn)一步甚至證明哥德巴赫猜想，就需要引進(jìn)更加新穎而且強(qiáng)有力的技術(shù)。

九.黎曼猜想可能構(gòu)成哥德巴赫猜想的證明嗎？

我的感覺是不太可能，且容我緩緩道來…… 就目前在整個(gè)數(shù)學(xué)上的地位來講（我從對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展角度出發(fā)說一點(diǎn)不成熟的見解），哥德巴赫猜想肯定是無法與黎曼猜想匹敵。因?yàn)楦绲掳秃詹孪霗M豎就是個(gè)數(shù)論問題，再牛B也就是個(gè)數(shù)論問題，而且從目前來看它也并未對(duì)除堆壘數(shù)論以外的數(shù)論分支產(chǎn)生重大影響，在這一點(diǎn)上它連費(fèi)馬大定理（FLT）也比不過。而黎曼猜想則不同，其證明不但對(duì)數(shù)論領(lǐng)域有深刻影響，而且可以對(duì)復(fù)變函數(shù)論的發(fā)展起相當(dāng)積極的推動(dòng)作用（前面說過了，黎曼猜想多半是個(gè)復(fù)分析問題），也就是說黎曼猜想是數(shù)學(xué)界最重要的問題，而哥德巴赫猜想則更像是某個(gè)智力競賽題。那么，到底黎曼猜想可能構(gòu)成哥德巴赫猜想的某種證明嗎？要回答這一問題，首先就要回顧一下哥德巴赫猜想的歷史（翻前文）：迄今為止，對(duì)哥德巴赫猜想的并未用到黎曼猜想，而是清一色用的是更厲害的廣義黎曼猜想。原因很簡單，黎曼猜想在這個(gè)問題上不夠強(qiáng)?。×硗?，很有可能單從證明上講黎曼猜想就要比哥德巴赫猜想難得多，更別提廣義黎曼猜想。有可能若干年后，出了一位不世出的天才以不世出的方法證明了哥德巴赫猜想，但黎曼猜想仍然懸而未決。

最后說一句，哥德巴赫猜想跟孿生素?cái)?shù)猜想有著極為深刻的聯(lián)系，哥德巴赫猜想的相關(guān)結(jié)果一般而言是可以轉(zhuǎn)換成孿生素?cái)?shù)猜想的相關(guān)結(jié)果的，比如陳景潤也曾證明過這樣一個(gè)定理：存在無窮對(duì)素?cái)?shù)和殆素?cái)?shù)使得其為相鄰的奇數(shù).
這跟他的1+2很像，也跟孿生素?cái)?shù)猜想很接近。

—?THE END —

?曲面論
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