英文：Univariate feature selection。

單變量特征選擇能夠?qū)γ恳粋€特征進(jìn)行測試，衡量該特征和響應(yīng)變量之間的關(guān)系，根據(jù)得分扔掉不好的特征。對于回歸和分類問題可以采用卡方檢驗等方式對特征進(jìn)行測試。

這種方法比較簡單，易于運(yùn)行，易于理解，通常對于理解數(shù)據(jù)有較好的效果（但對特征優(yōu)化、提高泛化能力來說不一定有效）；這種方法有許多改進(jìn)的版本、變種。

2.1 Pearson相關(guān)系數(shù)?

英文：Pearson Correlation

Pearson Correlation速度快、易于計算，經(jīng)常在拿到數(shù)據(jù)(經(jīng)過清洗和特征提取之后的)之后第一時間就執(zhí)行。Scipy的pearsonr方法能夠同時計算相關(guān)系數(shù)和p-value，

import numpy as npfrom scipy.stats import pearsonr
np.random.seed(0)size = 300x = np.random.normal(0, 1, size)print "Lower noise", pearsonr(x, x + np.random.normal(0, 1, size))print "Higher noise", pearsonr(x, x + np.random.normal(0, 10, size))

這個例子中，我們比較了變量在加入噪音之前和之后的差異。當(dāng)噪音比較小的時候，相關(guān)性很強(qiáng)，p-value很低。

Pearson相關(guān)系數(shù)的一個明顯缺陷是，作為特征排序機(jī)制，他只對線性關(guān)系敏感。如果關(guān)系是非線性的，即便兩個變量具有一一對應(yīng)的關(guān)系，Pearson相關(guān)性也可能會接近0。

x = np.random.uniform(-1, 1, 100000)print pearsonr(x, x**2)[0]

-0.00230804707612

更多類似的例子參考sample plots。另外，如果僅僅根據(jù)相關(guān)系數(shù)這個值來判斷的話，有時候會具有很強(qiáng)的誤導(dǎo)性，如Anscombe’s quartet，最好把數(shù)據(jù)可視化出來，以免得出錯誤的結(jié)論。

2.2 互信息和最大信息系數(shù)?

英文：Mutual information and maximal information coefficient (MIC)

以上就是經(jīng)典的互信息公式了。想把互信息直接用于特征選擇其實不是太方便：1、它不屬于度量方式，也沒有辦法歸一化，在不同數(shù)據(jù)及上的結(jié)果無法做比較；2、對于連續(xù)變量的計算不是很方便（X和Y都是集合，x，y都是離散的取值），通常變量需要先離散化，而互信息的結(jié)果對離散化的方式很敏感。

最大信息系數(shù)克服了這兩個問題。它首先尋找一種最優(yōu)的離散化方式，然后把互信息取值轉(zhuǎn)換成一種度量方式，取值區(qū)間在[0，1]。minepy提供了MIC功能。

反過頭來看y=x^2這個例子，MIC算出來的互信息值為1(最大的取值)。

from minepy import MINE
m = MINE()x = np.random.uniform(-1, 1, 10000)m.compute_score(x, x**2)print m.mic()

1.0

2.3 距離相關(guān)系數(shù)?

英文：Distance correlation

R的energy包里提供了距離相關(guān)系數(shù)的實現(xiàn)，另外這是Python gist的實現(xiàn)。

#R-code> x = runif (1000, -1, 1)> dcor(x, x**2)[1] 0.4943864

盡管有MIC和距離相關(guān)系數(shù)在了，但當(dāng)變量之間的關(guān)系接近線性相關(guān)的時候，Pearson相關(guān)系數(shù)仍然是不可替代的。第一、Pearson相關(guān)系數(shù)計算速度快，這在處理大規(guī)模數(shù)據(jù)的時候很重要。第二、Pearson相關(guān)系數(shù)的取值區(qū)間是[-1，1]，而MIC和距離相關(guān)系數(shù)都是[0，1]。這個特點使得Pearson相關(guān)系數(shù)能夠表征更豐富的關(guān)系，符號表示關(guān)系的正負(fù)，絕對值能夠表示強(qiáng)度。當(dāng)然，Pearson相關(guān)性有效的前提是兩個變量的變化關(guān)系是單調(diào)的。

2.4 基于學(xué)習(xí)模型的特征排序

英文：Model based ranking

在波士頓房價數(shù)據(jù)集上使用sklearn的隨機(jī)森林回歸給出一個單變量選擇的例子：

from sklearn.cross_validation import cross_val_score, ShuffleSplitfrom sklearn.datasets import load_bostonfrom sklearn.ensemble import RandomForestRegressor
#Load boston housing dataset as an exampleboston = load_boston()X = boston["data"]Y = boston["target"]names = boston["feature_names"]
rf = RandomForestRegressor(n_estimators=20, max_depth=4)scores = []for i in range(X.shape[1]):     score = cross_val_score(rf, X[:, i:i+1], Y, scoring="r2",                              cv=ShuffleSplit(len(X), 3, .3))     scores.append((round(np.mean(score), 3), names[i]))print sorted(scores, reverse=True)

單變量特征選擇方法獨立的衡量每個特征與響應(yīng)變量之間的關(guān)系，另一種主流的特征選擇方法是基于機(jī)器學(xué)習(xí)模型的方法。有些機(jī)器學(xué)習(xí)方法本身就具有對特征進(jìn)行打分的機(jī)制，或者很容易將其運(yùn)用到特征選擇任務(wù)中，例如回歸模型，SVM，決策樹，隨機(jī)森林等等。說句題外話，這種方法好像在一些地方叫做wrapper類型，大概意思是說，特征排序模型和機(jī)器學(xué)習(xí)模型是耦盒在一起的，對應(yīng)的非wrapper類型的特征選擇方法叫做filter類型。

下面將介紹如何用回歸模型的系數(shù)來選擇特征。越是重要的特征在模型中對應(yīng)的系數(shù)就會越大，而跟輸出變量越是無關(guān)的特征對應(yīng)的系數(shù)就會越接近于0。在噪音不多的數(shù)據(jù)上，或者是數(shù)據(jù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于特征數(shù)的數(shù)據(jù)上，如果特征之間相對來說是比較獨立的，那么即便是運(yùn)用最簡單的線性回歸模型也一樣能取得非常好的效果。

from sklearn.linear_model import LinearRegressionimport numpy as np
np.random.seed(0)size = 5000
#A dataset with 3 featuresX = np.random.normal(0, 1, (size, 3))#Y = X0 + 2*X1 + noiseY = X[:,0] + 2*X[:,1] + np.random.normal(0, 2, size)lr = LinearRegression()lr.fit(X, Y)
#A helper method for pretty-printing linear modelsdef pretty_print_linear(coefs, names = None, sort = False):    if names == None:        names = ["X%s" % x for x in range(len(coefs))]    lst = zip(coefs, names)    if sort:        lst = sorted(lst,  key = lambda x:-np.abs(x[0]))    return " + ".join("%s * %s" % (round(coef, 3), name)                                   for coef, name in lst)
print?"Linear?model:",?pretty_print_linear(lr.coef_

下邊這個例子當(dāng)中，在同一個數(shù)據(jù)上加入了一些噪音，用隨機(jī)森林算法進(jìn)行特征選擇。

from sklearn.linear_model import LinearRegression
size = 100np.random.seed(seed=5)
X_seed = np.random.normal(0, 1, size)X1 = X_seed + np.random.normal(0, .1, size)X2 = X_seed + np.random.normal(0, .1, size)X3 = X_seed + np.random.normal(0, .1, size)
Y = X1 + X2 + X3 + np.random.normal(0,1, size)X = np.array([X1, X2, X3]).T
lr = LinearRegression()lr.fit(X,Y)print?"Linear?model:",?pretty_print_linear(lr.coef_)

同樣的方法和套路可以用到類似的線性模型上，比如邏輯回歸。

3.1 正則化模型

正則化就是把額外的約束或者懲罰項加到已有模型（損失函數(shù)）上，以防止過擬合并提高泛化能力。損失函數(shù)由原來的E(X,Y)變?yōu)镋(X,Y)+alpha||w||，w是模型系數(shù)組成的向量（有些地方也叫參數(shù)parameter，coefficients），||·||一般是L1或者L2范數(shù)，alpha是一個可調(diào)的參數(shù)，控制著正則化的強(qiáng)度。當(dāng)用在線性模型上時，L1正則化和L2正則化也稱為Lasso和Ridge。

3.2 L1正則化/Lasso

下面的例子在波士頓房價數(shù)據(jù)上運(yùn)行了Lasso，其中參數(shù)alpha是通過grid search進(jìn)行優(yōu)化的。

from sklearn.linear_model import Lassofrom sklearn.preprocessing import StandardScalerfrom sklearn.datasets import load_boston
boston = load_boston()scaler = StandardScaler()X = scaler.fit_transform(boston["data"])Y = boston["target"]names = boston["feature_names"]
lasso = Lasso(alpha=.3)lasso.fit(X, Y)
print?"Lasso?model:?",?pretty_print_linear(lasso.coef_,?names,?sort?=?True)

然而，L1正則化像非正則化線性模型一樣也是不穩(wěn)定的，如果特征集合中具有相關(guān)聯(lián)的特征，當(dāng)數(shù)據(jù)發(fā)生細(xì)微變化時也有可能導(dǎo)致很大的模型差異。?

3.3 L2正則化/Ridge regression

回過頭來看看3個互相關(guān)聯(lián)的特征的例子，分別以10個不同的種子隨機(jī)初始化運(yùn)行10次，來觀察L1和L2正則化的穩(wěn)

from sklearn.linear_model import Ridgefrom sklearn.metrics import r2_scoresize = 100
#We run the method 10 times with different random seedsfor i in range(10):    print "Random seed %s" % i    np.random.seed(seed=i)    X_seed = np.random.normal(0, 1, size)    X1 = X_seed + np.random.normal(0, .1, size)    X2 = X_seed + np.random.normal(0, .1, size)    X3 = X_seed + np.random.normal(0, .1, size)    Y = X1 + X2 + X3 + np.random.normal(0, 1, size)    X = np.array([X1, X2, X3]).T

    lr = LinearRegression()    lr.fit(X,Y)    print "Linear model:", pretty_print_linear(lr.coef_)
    ridge = Ridge(alpha=10)    ridge.fit(X,Y)    print "Ridge model:", pretty_print_linear(ridge.coef_)    print

可以看出，不同的數(shù)據(jù)上線性回歸得到的模型（系數(shù)）相差甚遠(yuǎn)，但對于L2正則化模型來說，結(jié)果中的系數(shù)非常的穩(wěn)定，差別較小，都比較接近于1，能夠反映出數(shù)據(jù)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。

隨機(jī)森林具有準(zhǔn)確率高、魯棒性好、易于使用等優(yōu)點，這使得它成為了目前最流行的機(jī)器學(xué)習(xí)算法之一。隨機(jī)森林提供了兩種特征選擇的方法：mean decrease impurity和mean decrease accuracy。

4.1 平均不純度減少?

英文：mean decrease impurity

下邊的例子是sklearn中基于隨機(jī)森林的特征重要度度量方法：

from sklearn.datasets import load_bostonfrom sklearn.ensemble import RandomForestRegressorimport numpy as np
#Load boston housing dataset as an exampleboston = load_boston()X = boston["data"]Y = boston["target"]names = boston["feature_names"]rf = RandomForestRegressor()rf.fit(X, Y)print "Features sorted by their score:"print?sorted(zip(map(lambda?x:?round(x,?4),?rf.feature_importances_),?names),reverse=True)

size = 10000np.random.seed(seed=10)X_seed = np.random.normal(0, 1, size)X0 = X_seed + np.random.normal(0, .1, size)X1 = X_seed + np.random.normal(0, .1, size)X2 = X_seed + np.random.normal(0, .1, size)X = np.array([X0, X1, X2]).TY = X0 + X1 + X2
rf = RandomForestRegressor(n_estimators=20, max_features=2)rf.fit(X, Y);print "Scores for X0, X1, X2:", map(lambda x:round (x,3),rf.feature_importances_)

需要注意的一點是，關(guān)聯(lián)特征的打分存在不穩(wěn)定的現(xiàn)象，這不僅僅是隨機(jī)森林特有的，大多數(shù)基于模型的特征選擇方法都存在這個問題。

4.2 平均精確率減少?

英文：Mean decrease accuracy

這個方法sklearn中沒有直接提供，但是很容易實現(xiàn)，下面繼續(xù)在波士頓房價數(shù)據(jù)集上進(jìn)行實現(xiàn)。

from sklearn.cross_validation import ShuffleSplitfrom sklearn.metrics import r2_scorefrom collections import defaultdict
X = boston["data"]Y = boston["target"]
rf = RandomForestRegressor()scores = defaultdict(list)
#crossvalidate the scores on a number of different random splits of the datafor train_idx, test_idx in ShuffleSplit(len(X), 100, .3):    X_train, X_test = X[train_idx], X[test_idx]    Y_train, Y_test = Y[train_idx], Y[test_idx]    r = rf.fit(X_train, Y_train)    acc = r2_score(Y_test, rf.predict(X_test))    for i in range(X.shape[1]):        X_t = X_test.copy()        np.random.shuffle(X_t[:, i])        shuff_acc = r2_score(Y_test, rf.predict(X_t))        scores[names[i]].append((acc-shuff_acc)/acc)print "Features sorted by their score:"print sorted([(round(np.mean(score), 4), feat) for??????????????feat,?score?in?scores.items()],?reverse=True)

在這個例子當(dāng)中，LSTAT和RM這兩個特征對模型的性能有著很大的影響，打亂這兩個特征的特征值使得模型的性能下降了73%和57%。注意，盡管這些我們是在所有特征上進(jìn)行了訓(xùn)練得到了模型，然后才得到了每個特征的重要性測試，這并不意味著我們?nèi)拥裟硞€或者某些重要特征后模型的性能就一定會下降很多，因為即便某個特征刪掉之后，其關(guān)聯(lián)特征一樣可以發(fā)揮作用，讓模型性能基本上不變。

之所以叫做頂層，是因為他們都是建立在基于模型的特征選擇方法基礎(chǔ)之上的，例如回歸和SVM，在不同的子集上建立模型，然后匯總最終確定特征得分。

5.1 穩(wěn)定性選擇

from sklearn.linear_model import RandomizedLassofrom sklearn.datasets import load_bostonboston = load_boston()
#using the Boston housing data. #Data gets scaled automatically by sklearn's implementationX = boston["data"]Y = boston["target"]names = boston["feature_names"]
rlasso = RandomizedLasso(alpha=0.025)rlasso.fit(X, Y)
print "Features sorted by their score:"print sorted(zip(map(lambda x: round(x, 4), rlasso.scores_),                  names), reverse=True)

在上邊這個例子當(dāng)中，最高的3個特征得分是1.0，這表示他們總會被選作有用的特征（當(dāng)然，得分會收到正則化參數(shù)alpha的影響，但是sklearn的隨機(jī)lasso能夠自動選擇最優(yōu)的alpha）。接下來的幾個特征得分就開始下降，但是下降的不是特別急劇，這跟純lasso的方法和隨機(jī)森林的結(jié)果不一樣。能夠看出穩(wěn)定性選擇對于克服過擬合和對數(shù)據(jù)理解來說都是有幫助的：總的來說，好的特征不會因為有相似的特征、關(guān)聯(lián)特征而得分為0，這跟Lasso是不同的。對于特征選擇任務(wù)，在許多數(shù)據(jù)集和環(huán)境下，穩(wěn)定性選擇往往是性能最好的方法之一。

5.2 遞歸特征消除

Sklearn提供了RFE包，可以用于特征消除，還提供了RFECV，可以通過交叉驗證來對的特征進(jìn)行排序。

from sklearn.feature_selection import RFEfrom sklearn.linear_model import LinearRegression
boston = load_boston()X = boston["data"]Y = boston["target"]names = boston["feature_names"]
#use linear regression as the modellr = LinearRegression()#rank all features, i.e continue the elimination until the last onerfe = RFE(lr, n_features_to_select=1)rfe.fit(X,Y)
print "Features sorted by their rank:"print sorted(zip(map(lambda x: round(x, 4), rfe.ranking_), names))

X1到X5是由單變量分布生成的，e是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量N(0,1)。另外，原始的數(shù)據(jù)集中含有5個噪音變量 X5,…,X10，跟響應(yīng)變量是獨立的。我們增加了4個額外的變量X11,…X14，分別是X1,…,X4的關(guān)聯(lián)變量，通過f(x)=x+N(0,0.01)生成，這將產(chǎn)生大于0.999的關(guān)聯(lián)系數(shù)。這樣生成的數(shù)據(jù)能夠體現(xiàn)出不同的特征排序方法應(yīng)對關(guān)聯(lián)特征時的表現(xiàn)。

接下來將會在上述數(shù)據(jù)上運(yùn)行所有的特征選擇方法，并且將每種方法給出的得分進(jìn)行歸一化，讓取值都落在0-1之間。對于RFE來說，由于它給出的是順序而不是得分，我們將最好的5個的得分定為1，其他的特征的得分均勻的分布在0-1之間。

from sklearn.datasets import load_bostonfrom sklearn.linear_model import (LinearRegression, Ridge,                                   Lasso, RandomizedLasso)from sklearn.feature_selection import RFE, f_regressionfrom sklearn.preprocessing import MinMaxScalerfrom sklearn.ensemble import RandomForestRegressorimport numpy as npfrom minepy import MINE
np.random.seed(0)
size = 750X = np.random.uniform(0, 1, (size, 14))
#"Friedamn #1” regression problemY = (10 * np.sin(np.pi*X[:,0]*X[:,1]) + 20*(X[:,2] - .5)**2 +     10*X[:,3] + 5*X[:,4] + np.random.normal(0,1))#Add 3 additional correlated variables (correlated with X1-X3)X[:,10:] = X[:,:4] + np.random.normal(0, .025, (size,4))
names = ["x%s" % i for i in range(1,15)]
ranks = {}
def rank_to_dict(ranks, names, order=1):    minmax = MinMaxScaler()    ranks = minmax.fit_transform(order*np.array([ranks]).T).T[0]    ranks = map(lambda x: round(x, 2), ranks)    return dict(zip(names, ranks ))
lr = LinearRegression(normalize=True)lr.fit(X, Y)ranks["Linear reg"] = rank_to_dict(np.abs(lr.coef_), names)
ridge = Ridge(alpha=7)ridge.fit(X, Y)ranks["Ridge"] = rank_to_dict(np.abs(ridge.coef_), names)

lasso = Lasso(alpha=.05)lasso.fit(X, Y)ranks["Lasso"] = rank_to_dict(np.abs(lasso.coef_), names)

rlasso = RandomizedLasso(alpha=0.04)rlasso.fit(X, Y)ranks["Stability"] = rank_to_dict(np.abs(rlasso.scores_), names)
#stop the search when 5 features are left (they will get equal scores)rfe = RFE(lr, n_features_to_select=5)rfe.fit(X,Y)ranks["RFE"] = rank_to_dict(map(float, rfe.ranking_), names, order=-1)
rf = RandomForestRegressor()rf.fit(X,Y)ranks["RF"] = rank_to_dict(rf.feature_importances_, names)

f, pval  = f_regression(X, Y, center=True)ranks["Corr."] = rank_to_dict(f, names)
mine = MINE()mic_scores = []for i in range(X.shape[1]):    mine.compute_score(X[:,i], Y)    m = mine.mic()    mic_scores.append(m)
ranks["MIC"] = rank_to_dict(mic_scores, names)

r = {}for name in names:    r[name] = round(np.mean([ranks[method][name]                              for method in ranks.keys()]), 2)
methods = sorted(ranks.keys())ranks["Mean"] = rmethods.append("Mean")
print "%s" % "".join(methods)for name in names:    print "%s%s" % (name, "".join(map(str,                          [ranks[method][name] for method in methods])))

從以上結(jié)果中可以找到一些有趣的發(fā)現(xiàn)：

Lasso能夠挑出一些優(yōu)質(zhì)特征，同時讓其他特征的系數(shù)趨于0。當(dāng)如需要減少特征數(shù)的時候它很有用，但是對于數(shù)據(jù)理解來說不是很好用。（例如在結(jié)果表中，X11,X12,X13的得分都是0，好像他們跟輸出變量之間沒有很強(qiáng)的聯(lián)系，但實際上不是這樣的）

穩(wěn)定性選擇常常是一種既能夠有助于理解數(shù)據(jù)又能夠挑出優(yōu)質(zhì)特征的這種選擇，在結(jié)果表中就能很好的看出。像Lasso一樣，它能找到那些性能比較好的特征（X1，X2，X4，X5），同時，與這些特征關(guān)聯(lián)度很強(qiáng)的變量也得到了較高的得分。

特征選擇在很多機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)挖掘場景中都是非常有用的。在使用的時候要弄清楚自己的目標(biāo)是什么，然后找到哪種方法適用于自己的任務(wù)。當(dāng)選擇最優(yōu)特征以提升模型性能的時候，可以采用交叉驗證的方法來驗證某種方法是否比其他方法要好。當(dāng)用特征選擇的方法來理解數(shù)據(jù)的時候要留心，特征選擇模型的穩(wěn)定性非常重要，穩(wěn)定性差的模型很容易就會導(dǎo)致錯誤的結(jié)論。對數(shù)據(jù)進(jìn)行二次采樣然后在子集上運(yùn)行特征選擇算法能夠有所幫助，如果在各個子集上的結(jié)果是一致的，那就可以說在這個數(shù)據(jù)集上得出來的結(jié)論是可信的，可以用這種特征選擇模型的結(jié)果來理解數(shù)據(jù)。

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