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算法的重要性，我就不多說了吧，想去大廠，就必須要經(jīng)過基礎(chǔ)知識和業(yè)務(wù)邏輯面試+算法面試。所以，為了提高大家的算法能力，這個公眾號后續(xù)每天帶大家做一道算法題，題目就從LeetCode上面選！

今天和大家聊的問題叫做?柱狀圖中最大的矩形，我們先來看題面：

https://leetcode-cn.com/problems/largest-rectangle-in-histogram/

Given n non-negative integers representing the histogram's bar height where the width of each bar is 1, find the area of largest rectangle in the histogram.

題意

給定 n 個非負(fù)整數(shù)，用來表示柱狀圖中各個柱子的高度。每個柱子彼此相鄰，且寬度為 1 。

求在該柱狀圖中，能夠勾勒出來的矩形的最大面積。

樣例

輸入: [2,1,5,6,2,3]
輸出: 10

解題

https://www.cnblogs.com/techflow/p/13304195.html

區(qū)間求最值

拿到手應(yīng)該能感受到這題的難度，我們一上來的確沒有什么太好的思路，題目也比較明確，沒有太多可以分析的入手點。所以我們可以先來思考一下最簡單的解法。

最簡單的解法就是找出能夠圍成的所有矩形，然后比較它們之間的面積，得出其中的最大面積。我們很容易可以想到可以遍歷矩形的起始位置，這樣就得到了矩形的寬。至于矩形的長也很簡單，就是選定的這個區(qū)間段里的最低高度。

我們可以做一個小小的思路轉(zhuǎn)換，假設(shè)這些矩形都是木條，我們是要選出木條來制作木桶。那么根據(jù)木桶效應(yīng)，木桶圍成的水的高度取決于最短的那根木條，同樣圍成矩形的面積的高取決于這些矩形當(dāng)中最矮的那個。也就是說，當(dāng)我們確定了區(qū)間之后，我們只需要找到區(qū)間里最小的數(shù)就可以了。所以這題就轉(zhuǎn)化成了區(qū)間求最值的問題，比如上圖當(dāng)中，如果我們選擇最后三個矩形，那么它的高度就是2。

我們假設(shè)一共有n個長條矩形可供選擇，那么我們可以選出的首尾組合就是

，大概是n的平方量級個區(qū)間。對于每個區(qū)間，我們需要遍歷它們中的元素獲取最小值，這需要

的遍歷時間，所以整體的復(fù)雜度應(yīng)該在

量級。顯然這是一個非常大的數(shù)量級，當(dāng)n超過1000就很難計算出解了。

這個思路顯然不夠好，我們想要對它進(jìn)行優(yōu)化也不容易。比如說如果你學(xué)過線段樹這類的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，可能還會想到使用線段樹，我們可以將每次求最小值的查詢優(yōu)化到

，但即便如此最終的復(fù)雜度也很高。這是因為我們遍歷區(qū)間首尾位置就耗費了

，而這是很難優(yōu)化的。所以這個思路的極限已經(jīng)確定了，我們無法做出大的優(yōu)化。

從這點出發(fā)，如果存在更好的解法，那么一定不是通過這種方式進(jìn)行的。

逆向思維

上面的一種思路雖然不太可行，但是它提供了一種正向思路。我們搜索所有的區(qū)間，然后通過區(qū)間里的木條確定區(qū)圍成矩形的高度，就得到了矩形的面積。

既然這條路走不通，我們能不能反向思考呢？我們假設(shè)我們找到了答案，它是區(qū)間[a, b]段的木條圍成的矩形，它的高度是h。那么根據(jù)木桶效應(yīng)，a到b區(qū)間段的木條當(dāng)中一定有一根的長度是h。比如下圖當(dāng)中[5, 6, 2, 3]如果要圍成矩形，那么高度只能是2。

既然如此，我們可以尋找以某根木條為短板所能構(gòu)成的最大矩形。比如上圖當(dāng)中，如果我們以第一根木條去尋找，就只能找到它本身，所以這個矩形的面積就是1 x 2 = 2。如果以第二根木條為短板去尋找，可以找到整個區(qū)間，它對應(yīng)的面積就是1 x 6 = 6。

因為我們只有n個木條，以每個木條為短板尋找最大矩形，那么我們一定可以找出最多n個矩形。最終的答案一定在這n個矩形當(dāng)中，在正向思維當(dāng)中我們尋找木條區(qū)間需要

的復(fù)雜度，然而我們尋找短板，只需要

，也就是說這種思路的搜索空間更小，只要我們保證搜索的效率，就可以更快地找到答案。

為了找到每個木條對應(yīng)的最大矩形，我們需要找到每個短板向左以及向右能夠延伸到的最遠(yuǎn)位置。比如上圖例子當(dāng)中，根據(jù)每個木條向右延伸的最遠(yuǎn)位置，我們可以得到[0, 5, 3, 3, 5, 5]，同樣，我們可以得到每根木條向左延伸的數(shù)組：[0, 0, 2, 3, 2, 5]。有了這兩個數(shù)組之后，我們就可以計算出以每一根木條為短板的最大矩形的面積，在這其中面積最大的那個就是答案。

這個位置我們可以使用單調(diào)棧來求，我們用一個有序的棧來維護(hù)延伸的位置。舉個例子，我們用從棧底往棧頂遞增的單調(diào)棧來維護(hù)每根木條向右延伸的位置。當(dāng)我們遇到一根新的木條時，會彈出棧中所有比它長的值。對于這些值來說，這根新的木條就是它的右邊界。比如[5, 6, 2]，一開始讀到5，入棧。接著讀到6，由于6大于棧頂?shù)?，所以6入棧。最后讀到2，由于2比6小，所以6出棧，對于6來說，2的位置就是它的右側(cè)邊界。正是由于2比它小，所以它才需要出棧，也說明了2的左側(cè)的元素都比6來的大，否則6在之前就應(yīng)該出棧了。同理，2也是5的右側(cè)邊界。

我們把以上的邏輯翻轉(zhuǎn)，就得到了左側(cè)邊界求解的邏輯。左右邊界有了之后，我們只需要乘上它們之間的區(qū)間長度就得到了矩形的面積。

接著，我們來寫出代碼：

class Solution:
????def largestRectangleArea(self, heights:?List[int]) -> int:
????????n = len(heights)
??# 左側(cè)邊界初始化為0
????????left_side = [0?for?i in range(n)]
????????# 右側(cè)邊界初始化為n-1
????????right_side = [n-1?for?_ in range(n)]
????????
????????stack_left = []
????????stack_right = []
????????
????????for?i in range(n):
????????????h = heights[i]
????????????# 彈出棧中所有比當(dāng)前元素小的值
????????????# 注意，棧內(nèi)存儲的是下標(biāo)
????????????while?len(stack_right) > 0?and?h < heights[stack_right[-1]]:
????????????????tail = stack_right[-1]
????????????????stack_right.pop()
????????????????right_side[tail] = i - 1
????????????
????????????# 當(dāng)前元素入棧
????????????stack_right.append(i)
????????????
????????????# 把坐標(biāo)翻轉(zhuǎn)，等價于逆向遍歷
????????????i_ = n - 1?- i
????????????h = heights[i_]
????????????
????????????# 維護(hù)單調(diào)棧的邏輯同上
????????????while?len(stack_left) > 0?and?h < heights[stack_left[-1]]:
????????????????tail = stack_left[-1]
????????????????stack_left.pop()
????????????????left_side[tail] = i_ + 1
????????????????
????????????# 當(dāng)前元素入棧
????????????stack_left.append(i_)
????????????????

????????ret?= 0
????????for?i in range(n):
????????????# 矩形面積等于右側(cè)邊界-左側(cè)邊界+1?x?高度
????????????cur = (right_side[i] - left_side[i] + 1) * heights[i]
????????????ret?= max(ret, cur)
????????return?ret