人工智能數(shù)學基礎(chǔ)：泰勒（Taylor）公式
一、引言
對于一些較復(fù)雜的函數(shù)，為了便于研究，往往希望用一些簡單的函數(shù)來近似表達，例如：
當x->0時，sinx≈arcsinx≈tanx≈arctanx≈ln(1+x)≈ex-1≈x
由于用多項式表示的函數(shù)，只要對自變量進行有限次加、減、乘三種算術(shù)運算，便能求出它的函數(shù)值來，因此我們經(jīng)常用多項式來近似表達函數(shù)。
泰勒公式就是將函數(shù)用多項式表達的一種通用方法，又稱為泰勒展開、泰勒級數(shù)，是將一個在x=x0處具有n階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f（x）利用關(guān)于（x-x0）的n次多項式來逼近函數(shù)的方法。
二、泰勒中值定理1
定理：如果函數(shù)(x)在x0處具有n階導(dǎo)數(shù)，那么存在x0的一個鄰域，于該鄰域內(nèi)的任一x，有：
其中：Rn(x) = o((x-x0)n) (3-4)
具體證明的介紹請參考《理解泰勒中值定理1的證明過程的兩個影響理解的簡單隱含推導(dǎo)》的介紹。
說明：
多項式(3-3)公式右邊去除“+Rn(x)”部分用pn（x）來表示：
稱pn（x）為函數(shù)f(x)在x0處(或按(x-x0)的冪展開)的n 次泰勒多項式。
公式(3-3)本身稱為f(x)在x0處(或按(x-x0)的冪展開)的帶有佩亞諾(Peano)余項的n 階泰勒公式，而Rn(x)的表達式(3-4)稱為佩亞諾余項，它就是用 n 次泰勒多項式來近似表達f(x)所產(chǎn)生的誤差，這一誤差是當x一>x0時(x-x0)n的高階無窮小，但不能由它具體估算出誤差的大小。
二、泰勒中值定理2
定理：如果函數(shù)f(x)在x0的某鄰域U(x0)內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù)，那么對于任意x∈U(x0)，有：
其中：
這里ε是x0與x之間的某個值。
證明思路：
Rn(x)具有n+1階導(dǎo)數(shù)；
Rn(x0)和Rn(x)在x0位置的n階導(dǎo)數(shù)值都為0；
Rn(x)和（x-x0）n+1在區(qū)間[x0,x]上滿足柯西中值定理的要求，則
再對Rn’(x)與(n+1)(x-x0)n應(yīng)用柯西中值定理，得：
照此方法繼續(xù)下去，經(jīng)過（n+1）次后，得：
同時顯然 Rn(n+1)(x) = f(n+1)(x)，從而可以證明定理成立。
說明：
公式(3-5)稱為f(x)在x0處(或按(x-x0)的冪展開)的帶有拉格朗日余項的n階泰勒公式，而Rn(x)的表達式(3-6)稱為拉格朗日余項。當n=0時，泰勒公式(3-5)變成拉格朗日中值公式：
f(x) = f(x0)+f’(ε)(x-x0) ，其中 ε∈（x0,x）
因此，泰勒中值定理2是拉格朗日中值定理的推廣。
由泰勒中值定理2可知，以多項式pn(x)近似表達函數(shù)f(x)時，其誤差為|Rn(x)|。如果對于某個固定的n，當x∈U(x0)時，|f(n+1)(x)|≤M，那么有估計式：
在泰勒公式(3-3)中，如果取x0=0，那么有帶有佩亞諾余項的麥克勞林（Maclaurin）公式：
在泰勒公式(3-5)中，如果取x0=0，那么ε在0與x之間。因此可以令ε=θx(0<θ<1)，從而泰勒公式(3-5)變成較簡單的形式，即所謂帶有拉格朗日余項的麥克勞林公式：
由(3-8)或(3-9)可得近似公式：
誤差估計式(3-7)相應(yīng)地變成：
三、部分函數(shù)的泰勒公式表示
1、e的x次方泰勒公式
帶拉格朗日余項的麥克勞林公式：
n次泰勒多項式為：
2、sinx的泰勒公式
帶拉格朗日余項的麥克勞林公式：
3、cosx的泰勒公式
帶拉格朗日余項的麥克勞林公式：
4、ln(1+x)的泰勒公式
帶拉格朗日余項的麥克勞林公式：
5、(1+x)的α次方的泰勒公式
帶拉格朗日余項的麥克勞林公式：
四、應(yīng)用
五、小結(jié)
本文介紹了2個泰勒中值定理，泰勒中值定理1是將在某點具有n+1階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)表示為一個多項式加個余量的形式，泰勒中值定理2則將泰勒中值定理1的余量進行了細化。通過拉格朗日余項的n階泰勒公式和帶有拉格朗日余項的麥克勞林公式，可以將一個函數(shù)表示成n項的n階多項式，從而為函數(shù)后續(xù)的運算提供便利。
說明：
本文內(nèi)容是老猿學習同濟版高數(shù)的總結(jié)，有需要原教材電子版以及OpenCV、Python基礎(chǔ)知識、、圖像處理原理介紹相關(guān)電子資料，或?qū)ξ恼聝?nèi)有有疑問咨詢的，請掃博客首頁左邊二維碼加微信公號，根據(jù)加微信公號后的自動回復(fù)操作。