關于泰勒公式展開

Taylor's Formula！

最近看書，看到泰勒公式展開，對它沒有太大的印象，于是寫一篇文章，整理一下個人對泰勒公式的理解吧！

先思考??一下，泰勒公式展開做的是什么？

對于某個函數(shù)(如)，是否可以用該函數(shù)的一個點，以及該函數(shù)的導數(shù)去表示。

先做一個假設，有這么一個點a 使得   (1)

首先，把a點代入 (1)式子中得到，

接著對 (1)式子兩邊??求一次導數(shù)，并代入a這個數(shù)值得到，

接著對 (1)式子兩邊??求兩次導數(shù)，并代入a這個數(shù)值得到，

接著對 (1)式子兩邊??求三次導數(shù)，并代入a這個數(shù)值得到，

接著對 (1)式子兩邊??求四次導數(shù)，并代入a這個數(shù)值得到，

......

接著對 (1)式子兩邊??求n次導數(shù)，并代入a這個數(shù)值得到，

通過以上多次求導，把的解帶入(1)式子中，得到

把上面的想法??綜合一下就是 泰勒近似定理

泰勒近似定理： 若在 光滑，則在所有次數(shù)為或更低的多項式中，當 在 附近時，最近似于 的是

經(jīng)過一系列計算，我們得到了一個近似值，

那我們再給其補一個值，把近似值換成等于號！

假設，現(xiàn)在我們?nèi)デ?span style="cursor:pointer;"> 。

我們先構造一個關于的函數(shù)，(2-1)式

• 把 代入 可以得到

• 把 代入 可以得到

根據(jù)中值定理，如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，那么肯定可以在該區(qū)間找到一個值，其導數(shù)為 。

也就是說 存在一個使得 。

我們再構造一個函數(shù)

對于函數(shù)：

根據(jù)中值定理，存在一個使得 。

我們再構造一個函數(shù)

對于函數(shù)：

根據(jù)中值定理，存在一個使得 。

....

再構造n次函數(shù) 對于函數(shù)：

根據(jù)中值定理，存在一個使得 。

也就是 (3)式

注意到 ，(的最高次數(shù)為N,所有求(N+1)次導數(shù)，必然為0)，所以(3)式可求得

把上面的推導綜合起來就是泰勒定理。

泰勒定理： 關于的N階余項 ，其中c是介于x與a的一個數(shù)。于是可以寫成

以上為白玉無冰關于 "泰勒公式展開" 的理解分享，如有錯誤歡迎指出，有任何想法，歡迎討論！

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