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深度學(xué)習(xí)

轉(zhuǎn)自：機(jī)器之心

物理知識和深度學(xué)習(xí)已經(jīng)成為了解決現(xiàn)實(shí)問題的絕佳組合，但如何更有效地將物理模型引入深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域缺少一個全面的綜述。慕尼黑工業(yè)大學(xué)計算機(jī)科學(xué)副教授 Nils Thuerey 團(tuán)隊編寫的這本書籍對基于物理的深度學(xué)習(xí)展開了詳盡的介紹。

書籍地址：https://arxiv.org/pdf/2109.05237.pdf
項目地址：https://github.com/thunil/Physics-Based-Deep-Learning
網(wǎng)站地址：https://www.physicsbaseddeeplearning.org/diffphys-examples.html

文如書名，《基于物理的深度學(xué)習(xí)》（Physics-based Deep Learning）介紹了物理建模、數(shù)值模擬與基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的結(jié)合?；谖锢淼纳疃葘W(xué)習(xí)代表了一個非?；钴S、快速發(fā)展和令人興奮的研究領(lǐng)域。

就內(nèi)容而言，本書對物理模擬背景下與深度學(xué)習(xí)相關(guān)的所有內(nèi)容展開了非常全面的介紹。并且，所有主題都以 Jupyter 筆記本的形式提供 hands-on 代碼示例，從而可以快速上手學(xué)習(xí)。

除了基于數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)監(jiān)督學(xué)習(xí)之外，書籍作者還研究了物理損失約束、具有可微模擬的更緊密耦合的學(xué)習(xí)算法以及強(qiáng)化學(xué)習(xí)和不確定性建模。他們在書中表示，「我們生活在激動人心的時代，基于物理的 DL 方法具有從根本上改變計算機(jī)模擬可以實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)的巨大潛力。」

以「數(shù)值模擬的時間序列」的視覺示例為例，本書將解讀如何實(shí)現(xiàn)使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和數(shù)值求解器的算法。

更具體地，本書主要解決了以下幾個核心問題：

如何使用深度學(xué)習(xí)技術(shù)解決偏微分方程（PDE）；
如何更有效地結(jié)合深度學(xué)習(xí)技術(shù)與現(xiàn)有物理學(xué)知識；
數(shù)值方法知識的重要性。

書籍作者之一 Nils Thuerey 為慕尼黑工業(yè)大學(xué)副教授，他的主要研究興趣是「用于物理模擬的深度學(xué)習(xí)方法」。

背景知識

從天氣和氣候預(yù)測，到量子物理學(xué)，再到等離子體聚變的控制，使用數(shù)值分析獲得物理模型的解決方案已經(jīng)成為科研中必不可缺的一部分。

近年來，機(jī)器學(xué)習(xí)（ML）技術(shù)，尤其深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（DNN），在各個領(lǐng)域取得了令人矚目的成就：從圖像分類到自然語言處理以及最近的蛋白質(zhì)折疊。

深度學(xué)習(xí)（DL）方法的這些成功案例引起了廣泛關(guān)注，并認(rèn)為相關(guān)技術(shù)有可能取代傳統(tǒng)的、模擬驅(qū)動的科學(xué)方法。舉例而言，最近的工作表明，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（NN）的智能體模型實(shí)現(xiàn)了現(xiàn)實(shí)世界工業(yè)應(yīng)用（如翼型流）所需的準(zhǔn)確度，同時在運(yùn)行時間方面比傳統(tǒng)求解器高出幾個數(shù)量級。

不依賴根據(jù)第一性原理精心制作的模型，是否可以通過處理足夠大規(guī)模的數(shù)據(jù)集來提供正確答案呢？在這一過程中，將經(jīng)典數(shù)值算法與深度學(xué)習(xí)技術(shù)相結(jié)合至關(guān)重要。其中一個核心原因是深度學(xué)習(xí)方法非常強(qiáng)大，但同時又可以從物理模型領(lǐng)域知識中獲益匪淺。深度學(xué)習(xí)技術(shù)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有時難以應(yīng)用，而且將我們對物理過程的理解正確地整合到學(xué)習(xí)算法中通常也非易事。

過去幾十年，研究社區(qū)已經(jīng)開發(fā)出高度專業(yè)化和精確的離散化方案來求解基礎(chǔ)模型方程，如納維 - 斯托克斯方程（Navier-Stokes）、麥克斯韋方程組（Maxwell's equations）或薛定諤方程（Schroedinger ）。與其舍棄在數(shù)值數(shù)學(xué)領(lǐng)域已經(jīng)開發(fā)的強(qiáng)大方法，本書將展示在應(yīng)用深度學(xué)習(xí)技術(shù)時盡可能多地使用這些方法反而獲益頗多。

書籍概覽

本書共分 8 大部分、25 個章節(jié)。機(jī)器之心簡單摘取了部分章節(jié)的主要內(nèi)容，更多信息還請參閱原書籍。

可微物理

本章主要分五個小節(jié)：介紹可微物理、具有可微物理梯度的 Burgers 優(yōu)化、討論、可微流體模擬、可微分物理與 Physics-informed 訓(xùn)練。

為了將深度學(xué)習(xí)和物理模擬更緊密的結(jié)合在一起，可以在學(xué)習(xí)過程中加入可微模擬，簡而言之，可稱之為可微物理（differentiable physics，DP）。這些方法旨在使用現(xiàn)有的數(shù)值求解器，并使其具備根據(jù)輸入計算梯度的功能。

可微物理訓(xùn)練。

為了說明在 DP 設(shè)置中計算梯度的過程，該小節(jié)目標(biāo)是針對相同的逆問題，使用 Physics-Informed NN 進(jìn)行 Burgers 優(yōu)化的 PINN 例子。

此外，當(dāng)我們?yōu)?DP 方法選擇初始離散化時，未知初始狀態(tài)由相關(guān)物理場的采樣點(diǎn)組成，我們可以簡單地將這些未知表示為浮點(diǎn)變量。因此，即使對于初始狀態(tài)，也不需要設(shè)置 NN。因此，Burgers 重建問題在用 DP 求解時簡化為一個基于梯度的優(yōu)化問題，沒有任何神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

接下來，本章還介紹了一個更復(fù)雜的示例，將 Navier-Stokes 方程作為物理模型。與「Navier-Stokes Forward Simulation」一致，用來針對 2D 案例。

DP 復(fù)雜示例

本章主要分四個小節(jié)：復(fù)雜示例整體概覽；利用深度學(xué)習(xí)減少數(shù)值誤差、用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解逆問題以及概述和評論。

本章給出了更復(fù)雜案例的代碼示例，以向讀者展示通過可微物理訓(xùn)練能夠?qū)崿F(xiàn)哪種任務(wù)。首先，本章展示了一個使用深度學(xué)習(xí)來表示數(shù)值模擬誤差的場景，遵循 Um 等人的建議。這是一項基本任務(wù)，需要學(xué)習(xí)模型與數(shù)值求解器密切交互。因此，這是將數(shù)值求解器引入深度學(xué)習(xí)循環(huán)至關(guān)重要情況的一個主要例子。

接下來，本章展示了如何讓神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解決棘手的逆問題，即 Navier-Stokes 模擬的長期控制問題，遵循 Holl 等人研究。這項任務(wù)需要長期規(guī)劃，因此需要兩個網(wǎng)絡(luò)，一個用于預(yù)測演變過程，另一個用于實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)。

粗糙和參考流形的視覺概述

強(qiáng)化學(xué)習(xí)

本章主要分兩個小節(jié)：強(qiáng)化學(xué)習(xí)概述、用強(qiáng)化學(xué)習(xí)控制伯格斯方程（Burgers equation）。

深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)（DRL）是深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域中的一類方法，它可以讓人工智能體與周圍環(huán)境進(jìn)行交互。在執(zhí)行此操作過程中，智能體接收其行為獎勵信號，并嘗試辨別哪些行為有助于獲得更高的獎勵，從而相應(yīng)地調(diào)整自身行為。強(qiáng)化學(xué)習(xí)在圍棋等游戲方面非常成功，并且在機(jī)器人技術(shù)等工程應(yīng)用方面也非常重要。

RL 的設(shè)置通常由兩部分組成：環(huán)境和智能體。環(huán)境從智能體接收動作 a，同時以狀態(tài) s 的形式向 a 提供觀察，并獎勵 r。觀察結(jié)果代表了智能體能夠感知來自各個環(huán)境狀態(tài)的信息的一部分。獎勵是由預(yù)定義的函數(shù)提供的，通常是根據(jù)環(huán)境量身定制的，可能包括游戲分?jǐn)?shù)、錯誤行為的懲罰或成功完成任務(wù)的獎勵。

強(qiáng)化學(xué)習(xí)、環(huán)境與智能體相互影響

本小節(jié)將 Burgers 方程的逆問題作為強(qiáng)化學(xué)習(xí) (RL) 的實(shí)驗平臺。該設(shè)置類似于針對可微物理 (DP) 訓(xùn)練的逆問題。與之前類似，Burgers 方程簡單但非線性，具有有趣的動力學(xué)，因此是 RL 實(shí)驗的良好起點(diǎn)。本小節(jié)目標(biāo)是訓(xùn)練一個控制力估計器網(wǎng)絡(luò)，該網(wǎng)絡(luò)應(yīng)該預(yù)測在兩個給定狀態(tài)之間產(chǎn)生平滑過渡所需的力。

可微物理方法似乎比 RL 智能體產(chǎn)生更少的噪聲軌跡，而兩者都設(shè)法近似真值

PBDL 和不確定性

本章主要分兩個小節(jié)：后驗推理介紹、RANS Airfoil Flows 與貝葉斯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

所有的測量、模型和離散化，都有其不確定性。對于測量，通常以測量誤差的形式出現(xiàn)。另一方面，模型方程通常只包含我們感興趣的一部分（剩余部分是不確定性的），而對于數(shù)值模擬，則引入了離散化誤差。所以這里要問的一個非常重要的問題是，我們?nèi)绾尾拍艽_保我們得到的答案是正確的。從統(tǒng)計學(xué)家的角度來看，后驗概率分布捕獲了我們對模型或數(shù)據(jù)可能存在不確定性的一些信息。

書籍完整目錄如下：

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