NumPy實(shí)現(xiàn)線(xiàn)性代數(shù)常見(jiàn)操作

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機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)模型需要大量的數(shù)據(jù)。它們的性能在很大程度上取決于數(shù)據(jù)量。因此，我們傾向于收集盡可能多的數(shù)據(jù)，以建立一個(gè)穩(wěn)健和準(zhǔn)確的模型。數(shù)據(jù)以多種不同的格式收集，從數(shù)字到圖像，從文本到聲波。然而，我們需要將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為數(shù)字以便對(duì)其進(jìn)行分析和建模。

僅僅將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為標(biāo)量（單個(gè)數(shù)字）是不夠的。隨著數(shù)據(jù)量的增加，使用標(biāo)量的操作開(kāi)始變得低效。我們需要向量化或矩陣運(yùn)算來(lái)有效地進(jìn)行計(jì)算。這就是線(xiàn)性代數(shù)發(fā)揮作用的地方。

線(xiàn)性代數(shù)是數(shù)據(jù)科學(xué)領(lǐng)域的重要課題之一。在這篇文章中，我們將通過(guò)使用NumPy的例子來(lái)介紹線(xiàn)性代數(shù)的基本概念。

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NumPy是Python的一個(gè)科學(xué)計(jì)算庫(kù)，是許多庫(kù)（比如Pandas）的基礎(chǔ)。

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線(xiàn)性代數(shù)中的對(duì)象類(lèi)型

線(xiàn)性代數(shù)中的對(duì)象（或數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)）類(lèi)型：

• 標(biāo)量：?jiǎn)蝹€(gè)數(shù)字

• 向量：數(shù)字?jǐn)?shù)組

• 矩陣：二維數(shù)字?jǐn)?shù)組

• 張量：N>2的N維數(shù)列

標(biāo)量就是一個(gè)數(shù)字。我們將在下面的示例中看到，它可以用于向量化操作。

向量是一組數(shù)字。例如，5個(gè)元素的向量：

我們可以在向量化運(yùn)算中使用標(biāo)量。對(duì)向量的每個(gè)元素執(zhí)行指定的操作。例如

矩陣是二維向量

它看起來(lái)像是一個(gè)包含行和列的pandas數(shù)據(jù)框。實(shí)際上，pandas數(shù)據(jù)幀被轉(zhuǎn)換成矩陣，然后輸入到機(jī)器學(xué)習(xí)模型中。

張量是一個(gè)N維數(shù)數(shù)組，其中N大于2。張量主要用于輸入數(shù)據(jù)為三維的深度學(xué)習(xí)模型。

很難用數(shù)字來(lái)表示，但是可以把T看成3個(gè)3x2形狀的矩陣。

shape方法可用于檢查numpy數(shù)組的形狀。

數(shù)組的大小是通過(guò)乘以每個(gè)維度的大小來(lái)計(jì)算的。

常用矩陣術(shù)語(yǔ)

如果行數(shù)等于列數(shù)，矩陣稱(chēng)為方陣。因此，上面的矩陣A是一個(gè)方陣。

單位矩陣，表示為I，是一個(gè)方陣，對(duì)角線(xiàn)上有是，其他位置全是0。NumPy的identity函數(shù)可以用來(lái)創(chuàng)建任意大小的單位矩陣。

一個(gè)單位矩陣的特殊之處在于矩陣乘上它不會(huì)改變。從這個(gè)意義上講，它與實(shí)數(shù)中的數(shù)字1相似。我們將在這篇文章的矩陣乘法部分用單位矩陣做例子。

矩陣的逆矩陣是與原始矩陣相乘得到單位矩陣的矩陣。

不是每個(gè)矩陣都有一個(gè)逆矩陣。如果矩陣A有一個(gè)逆矩陣，那么它被稱(chēng)為可逆或非奇異

點(diǎn)乘與矩陣乘法

點(diǎn)乘和矩陣乘法是復(fù)雜機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)模型的組成部分，因此對(duì)它們進(jìn)行全面的了解是非常有價(jià)值的。

兩個(gè)向量的點(diǎn)積是元素相對(duì)于其位置的乘積之和。第一個(gè)向量的第一個(gè)元素乘以第二個(gè)向量的第一個(gè)元素，依此類(lèi)推。這些積的和就是點(diǎn)積。在NumPy中計(jì)算點(diǎn)積的函數(shù)是「dot()」。

讓我們首先以numpy數(shù)組的形式創(chuàng)建兩個(gè)簡(jiǎn)單的向量并計(jì)算點(diǎn)積。

點(diǎn)積計(jì)算為(1*2)+(2*4)+(3*6)，即28。

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因?yàn)槲覀冊(cè)谙嗤奈恢孟喑?，所以這兩個(gè)向量的長(zhǎng)度必須相同才能得到點(diǎn)積。

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在數(shù)據(jù)科學(xué)領(lǐng)域，我們主要處理矩陣。矩陣是一組以結(jié)構(gòu)化方式組合的行和列向量。因此，兩個(gè)矩陣的相乘涉及向量的許多點(diǎn)積運(yùn)算。我們?cè)倏匆恍├泳蜁?huì)更清楚了。我們先用NumPy創(chuàng)建兩個(gè)2x2矩陣。

2x2矩陣有2行2列。行和列的索引以0開(kāi)頭。例如，A（索引為0的行）的第一行是[4,2]的數(shù)組。A的第一列是[4,0]的數(shù)組。第一行和第一列的元素是4。

我們可以訪(fǎng)問(wèn)單個(gè)行、列或元素，如下所示：

這些是理解矩陣乘法的重要概念。

兩個(gè)矩陣的相乘涉及到第一個(gè)矩陣的行和第二個(gè)矩陣的列之間的點(diǎn)乘。第一步是A的第一行和B的第一列之間的點(diǎn)積。這個(gè)點(diǎn)積的結(jié)果是在位置[0,0]（即第一行，第一列）處得到的矩陣的元素。

因此，得到的矩陣C在第一行和第一列將有一個(gè) (4*0) + (2*4) 。C[0,0]=18。

下一步是A的第一行和B的第二列的點(diǎn)積。

C在第一行和第二列有一個(gè)（4*0）+（2*4）。C[0,1]=8。

第一行A已完成，因此我們從A的第二行開(kāi)始，并遵循相同的步驟。

C在第二行和第一列有一個(gè)（0*4）+（3*1）。C[1,0]=3。

最后一步是A的第二行和B的第二列之間的點(diǎn)積。

C在第二行和第二列有一個(gè)（0*0）+（3*4）。C[1,1]=12。

我們已經(jīng)看到它是如何一步一步完成的。所有這些操作都是用「np.dot」操作：

你可能還記得，我們已經(jīng)提到過(guò)，單位矩陣乘以任何矩陣時(shí)不會(huì)改變矩陣。讓我們舉個(gè)例子。

我們還提到，當(dāng)一個(gè)矩陣乘以它的逆矩陣時(shí)，結(jié)果就是單位矩陣。讓我們先創(chuàng)建一個(gè)矩陣，然后求它的逆矩陣。我們可以利用NumPy函數(shù)**linalg.inv()**求矩陣的逆。

用B的逆矩陣C乘以B：

我們得到了單位矩陣。

正如我們?cè)谙蛄奎c(diǎn)積中回憶的那樣，兩個(gè)向量的長(zhǎng)度必須相同才能有一個(gè)點(diǎn)積。矩陣乘法中的每個(gè)點(diǎn)積運(yùn)算都必須遵循這個(gè)規(guī)則。點(diǎn)積是在第一個(gè)矩陣的行和第二個(gè)矩陣的列之間進(jìn)行的。因此，第一個(gè)矩陣的行和第二個(gè)矩陣的列的長(zhǎng)度必須相同。

矩陣乘法的要求是第一個(gè)矩陣的列數(shù)必須等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)。

例如，我們可以用一個(gè)3x2矩陣乘以一個(gè)2x3矩陣。

結(jié)果矩陣的形狀將是3x3，因?yàn)槲覀儗?duì)A的每一行進(jìn)行3點(diǎn)積運(yùn)算，A有3行。確定結(jié)果矩陣形狀的一種簡(jiǎn)單方法是從第一個(gè)矩陣中提取行數(shù)，從第二個(gè)矩陣中提取列數(shù)：

• 3x2和2x3相乘返回3x3
• 3x2和2x2相乘返回3x2
• 2x4和4x3相乘返回2x3

我們已經(jīng)討論了線(xiàn)性代數(shù)的基本運(yùn)算。這些基本操作是復(fù)雜機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)模型的構(gòu)建基礎(chǔ)。在模型優(yōu)化過(guò)程中，需要進(jìn)行大量的矩陣乘法運(yùn)算。因此，了解基礎(chǔ)知識(shí)也是非常重要的。

謝謝你的閱讀。如果你有任何反饋，請(qǐng)告訴我。

原文鏈接：https://towardsdatascience.com/linear-algebra-for-data-scientists-explained-with-numpy-6fec26519aea

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