Go：浮點(diǎn)數(shù)精度丟失問(wèn)題詳解

請(qǐng)看以下Go代碼，會(huì)返回 0.7 嗎？

    var num float32
    for i := 0; i < 7; i++{
        num = num + 0.1
    }

    fmt.Println(num)

答案可能出人意料，是：0.70000005

    0.70000005

也許有人會(huì)問(wèn)，是不是Go語(yǔ)言的問(wèn)題？換其他語(yǔ)言試試？OK，我們換JS試試。答案依然令人意外。除此之外，你還可以試試C、C++、Java、PHP等其他語(yǔ)言的float類(lèi)型相加，看得到的數(shù)據(jù)是否精確；

還有，除了語(yǔ)言之外，你還可以在MySQL等數(shù)據(jù)庫(kù)中試試float類(lèi)型數(shù)據(jù)的字段疊加，得到的數(shù)據(jù)是否精確。

我可以先告訴你答案：只要是float類(lèi)型的數(shù)據(jù)相加，無(wú)論在任何語(yǔ)言、任何數(shù)據(jù)庫(kù)、任何中間件中進(jìn)行加法(減法乘除法)運(yùn)算，得到的數(shù)據(jù)，都不會(huì)精確。

這是浮點(diǎn)類(lèi)型的精度丟失現(xiàn)象。(Loss of significance)

要了解產(chǎn)生這個(gè)現(xiàn)象的原因，就要先了解計(jì)算機(jī)是如何定義和表示float類(lèi)型的。不同于正整數(shù)類(lèi)型的表示方法，float類(lèi)型在計(jì)算機(jī)中的表示略顯復(fù)雜，遵循的是 IEEE754標(biāo)準(zhǔn)。

下面，我們就講一下 IEEE754標(biāo)準(zhǔn)。

我們首先回顧一下整數(shù)類(lèi)型在計(jì)算機(jī)中的表示。我們知道:計(jì)算機(jī)只認(rèn)識(shí)0和1；那么，對(duì)于像6一樣的這種正整數(shù)，我們要做十進(jìn)制到二進(jìn)制的轉(zhuǎn)換。即：

所以，十進(jìn)制 6最終轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制為 110。

這很好理解，但是，如何表示 6.1等這類(lèi)小數(shù)呢？有人說(shuō)了，可以找個(gè)特殊的符號(hào)，用來(lái)表示小數(shù)點(diǎn) .，把 6.1中 6和 1隔開(kāi)；聽(tīng)起來(lái)是個(gè)不錯(cuò)的辦法。其實(shí) IEEE754還真就是這么做的，只不過(guò)思路略有些復(fù)雜，總體思路就是：仿照用"科學(xué)計(jì)數(shù)法"！

我們?cè)倩仡櫼幌率裁词?科學(xué)計(jì)數(shù)法。把一個(gè)數(shù)表示成a與10的n次冪相乘的形式（1≤|a|<10，a不為分?jǐn)?shù)形式，n為整數(shù)），這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。也就是：1.360X10^4 這種計(jì)數(shù)方式。

我們可以仿照科學(xué)計(jì)數(shù)法，來(lái)表示浮點(diǎn)數(shù)，把二進(jìn)制數(shù)統(tǒng)一表示成 1.0110101X2^n這種形式。數(shù)據(jù)層面怎么表示出這種形式呢？根據(jù) IEEE754的標(biāo)準(zhǔn)，將數(shù)據(jù)分為三部分：

從左到右分別表示：符號(hào)位(正負(fù)數(shù))、指數(shù)位和小數(shù)位

以單精度浮點(diǎn)數(shù)為例，單精度浮點(diǎn)數(shù)一共32位(雙精度64位，即平時(shí)所說(shuō)的 double類(lèi)型)，具體內(nèi)部表示為：

• 1個(gè)bit表示符號(hào)位

• 8個(gè)bit表示指數(shù)位

• 23個(gè)bit表示小數(shù)位

這里有個(gè)地方要特別注意：因?yàn)閿?shù)據(jù)最終要表示成 1.0110101X2^n這種形式，整數(shù)位在二進(jìn)制下，永遠(yuǎn)都是 1，所以在表示float類(lèi)型的時(shí)候，直接把 1給去掉了，假如有就占據(jù)一個(gè)bit的空間，既然那個(gè)bit位上永遠(yuǎn)都是1，所以干脆去掉了。

那么，具體該如何展示呢？例如小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字怎么表示？6.1能否寫(xiě)成 110.1呢？如果能的話小數(shù)點(diǎn)后這個(gè)1代表什么呢？個(gè)數(shù)一？那添加幾個(gè)零的話，能否認(rèn)為是十、一百、一千？似乎是不可以，因?yàn)檫@樣只能滿足"視覺(jué)效果",邏輯層面直接說(shuō)不通。

要明白在小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字代表除以2后的數(shù)字，例如二進(jìn)制下小數(shù)點(diǎn)后的第一位1代表 1 / 2等于 0.5，第二位1代表 1/2/2等于 0.25，依次類(lèi)推第三位1則代表 0.125...具體請(qǐng)看下圖：

所以，給定一個(gè)小數(shù)，譬如 0.1，要想得到對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)，應(yīng)該是和小數(shù)點(diǎn)左邊的計(jì)算方式相反：乘以2，記錄整數(shù)位

    0.1 X 2 = 0.2  0
    0.2 X 2 = 0.4  0
    0.4 X 2 = 0.8  0
    0.8 X 2 = 1.6  1
    (1.6 - 1 = 0.6)
    0.6 X 2 = 1.2  1
    (1.2 - 1 = 0.2) 
    0.2 X 2 = 0.4  0
    0.4 X 2 = 0.8  0
    0.8 X 2 = 1.6  1
    (1.6 - 1 = 0.6)
    0.6 X 2 = 1.2  1
    (1.2 - 1 = 0.2) 
    0.2 X 2 = 0.4  0
    0.4 X 2 = 0.8  0
    0.8 X 2 = 1.6  1

    ... 
    // 無(wú)限循環(huán)下去

所以， 0.1 用二進(jìn)制表示為：0.000110011001100110011...因此 6.1 用二進(jìn)制應(yīng)該表示為：110.000110011001100110011...用”科學(xué)計(jì)數(shù)法“表示為：1.10000110011001100110011...X2^2OK，看來(lái)小數(shù)位的數(shù)可以確定了是 10000110011001100110011，即去掉整數(shù)位1后，向后截取的23位數(shù)(浮點(diǎn)數(shù)不精確的本質(zhì)原因)。

符號(hào)位0表示正數(shù)，1表示負(fù)數(shù)，所以可以確定是 6.1的符號(hào)位是0；現(xiàn)在符號(hào)位有了，小數(shù)位有了，只剩下指數(shù)2如的表示了，該如何表示呢？直接在8位的空間內(nèi)轉(zhuǎn)化為 000000010？

顯然不可以，首先，如果指數(shù)位用 原碼表示，那么，針對(duì)指數(shù)位為負(fù)的情況，就得加一個(gè)符號(hào)位去表示，而且還會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)零的情況：00000000和 1000000，操作起來(lái)過(guò)程復(fù)雜~

有人要問(wèn)那如果使用補(bǔ)碼呢？如果使用補(bǔ)碼，會(huì)出現(xiàn)以下情況，請(qǐng)看例子：

1.01 X 2^-1 和 1.11 X 2^3比較大小？

指數(shù)：
-1 和 3，分別轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù) “111”和“011”；

"111"是"7"，"011"是"3"， 7會(huì)小于3嗎？

可見(jiàn)使用補(bǔ)碼，也不是很方便，于是，引用了另外一種編碼方式——-移碼。先說(shuō)說(shuō)移碼的定義：將每一個(gè)數(shù)值加上一個(gè)偏置常數(shù)(Excess/bias)，通常，當(dāng)編碼位數(shù)為n的時(shí)候，bias取"2^n-1"或者"2^n-1 - 1"

承接以上1.01 X 2^-1 和 1.11 X 2^3比較大小的例子：

1.01 X 2^-1 和 1.11 X 2^3大小？
指數(shù)：
-1 + 4 = 3，二進(jìn)制表示為:"011"

3 + 4 = 7 二進(jìn)制表示為："111"

7 > 3，即 "111" > "011" 比較完畢  

就這樣，浮點(diǎn)數(shù)”科學(xué)計(jì)數(shù)法“的指數(shù)位比較變得簡(jiǎn)單了，而且，消除了”正零“ 和 ”負(fù)零“ 不相同的問(wèn)題。

因?yàn)?：

假設(shè)偏移量是：4

則移碼表示的0只有：0 + 4 = 4，即“100”

在 IEEE754中，指數(shù)位移碼的偏移量為指數(shù)位數(shù)的 2^n-1-1，為127。

所以，回到 6.1表示的問(wèn)題上，指數(shù)位為：2+127=129，二進(jìn)制表示為：10000001

因此， 6.1在 IEEE754單精度浮點(diǎn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)的下，表示為：

好了，現(xiàn)在了解了浮點(diǎn)數(shù) IEEE754標(biāo)準(zhǔn)的表示方法，知道為何浮點(diǎn)數(shù)相加總是不精確了吧？

因?yàn)楦↑c(diǎn)數(shù)很多小數(shù)在二進(jìn)制環(huán)境下很多都無(wú)法完整的表示，只能截取部分?jǐn)?shù)據(jù)來(lái)近似的表示，兩個(gè)數(shù)相加的話，就是兩個(gè)近似的數(shù)相加的和，如果相加次數(shù)足夠多，精確度自然也就會(huì)越來(lái)越低

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