魚眼相機(jī)模型
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魚眼鏡頭
之前的文章我們介紹了針孔相機(jī)模型，相機(jī)鏡頭是一個(gè)凸透鏡，而本文介紹的魚眼相機(jī)鏡頭是由十幾個(gè)不同的透鏡組合而成，在成像的過程中，入射光線經(jīng)過不同程度的折射，投影到尺寸有限的成像平面上，使得魚眼鏡頭擁有更大的視野范圍。下圖為魚眼相機(jī)的組成結(jié)構(gòu)：
與針孔相機(jī)原理不同，魚眼鏡頭采用非相似成像，在成像過程中引入畸變，通過對(duì)直徑空間的壓縮，突破成像視角的局限，從而達(dá)到廣角成像。
所以魚眼鏡頭是一種極端的廣角鏡頭，通常焦距小于等于16mm并且視角接近或等于180°（在工程上視角超過140°的鏡頭即統(tǒng)稱為魚眼鏡頭）。
相機(jī)畸變
魚眼鏡頭無論如何它的邊緣線條都是要彎曲的，即使90度的魚眼也是這樣，這種畸變我們?cè)诤芏鄰V角鏡頭上都可以看到，而這就是明顯的桶形畸變。同樣的120度的魚眼看起來彎曲的更加厲害一些了，而且被容納進(jìn)范圍的景物更多；150度同樣如此，而180度的魚眼則可以把鏡頭周圍180度范圍內(nèi)的所有物體都拍攝進(jìn)去。眾所周知，焦距越短，視角越大，因光學(xué)原理產(chǎn)生的變形也就越強(qiáng)烈。為了達(dá)到180度的超大視角，魚眼鏡頭不得不允許這種變形(桶形畸變)的合理存在。
針對(duì)原始圖像進(jìn)行畸變校正后，帶有冗余邊界，需要做進(jìn)一步截取。如下圖：
投影模型
通常的光學(xué)系統(tǒng)均基于高斯光學(xué)，遵循相似成像準(zhǔn)則，而魚眼鏡頭為了將盡可能大的場(chǎng)景投影到有限的圖像平面內(nèi)采用非相似成像，故需要選擇其他的成像公式來替換高斯光學(xué)成像公式，每一個(gè)成像公式對(duì)應(yīng)一種鏡頭設(shè)計(jì)模型。常用的魚眼鏡頭模型一共有四個(gè)，分別是等距投影、正交投影、等立體角投影、體視投影。
f為魚眼相機(jī)的焦距，即成像平面的半徑，θ是入射光線與魚眼相機(jī)光軸的夾角，即入射角，rd為魚眼圖像的點(diǎn)到畸變中心的距離。rd隨著設(shè)計(jì)模型的變化而發(fā)生變化，四種模型投射距離的大小關(guān)系如下（反映空間中的一點(diǎn)P投影到球面再到圖像平面的成像過程）：
等距投影的成像點(diǎn)的位置rd與入射角θ成正比。這種模型可以解決在小孔成像下入射角為 90°時(shí)圖像無限拉伸的問題，在二維圖像中，成像為隨著入射角不斷變化的同心圓，最大視場(chǎng)角可達(dá)到 360°，這種魚眼模型是最簡(jiǎn)單的一種模型。
正交投影的成像結(jié)果，不會(huì)產(chǎn)生出透射映射的近大遠(yuǎn)小結(jié)果。在二維圖像中，從 0 到 90 度，等差的視場(chǎng)角成像越來越密。180度視場(chǎng)角以內(nèi)的場(chǎng)景都可以進(jìn)行投影。
等立體角投影是魚眼鏡頭中比較常用的一種模型。
體視投影是一種將圓球投影至平面的映射，在幾何學(xué)里也稱共型映射，是一種保角映射。此時(shí)相機(jī)的光心移至南極的位置，光軸朝北極。體視投影可以將 360度的場(chǎng)景都投影到圖像上。
成像模型
相比針孔相機(jī)模型可以將三維點(diǎn)直接投影到歸一化平面，魚眼相機(jī)則多了一個(gè)中間過程：先將三維點(diǎn)投影到單位球面，再將單位球面上的點(diǎn)投影到歸一化平面上。
對(duì)于三維世界中的一點(diǎn)??，其坐標(biāo)向量為??，??在相機(jī)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)Xc = RX + T。其中R、T分別為世界坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)與平移矩陣，對(duì)于針孔投影到相平面上的坐標(biāo)(??, ??)，滿足如下等式：
其中：
加入魚眼相機(jī)畸變：
畸變后坐標(biāo)(??′, ??′)，滿足：
最后調(diào)整到像素坐標(biāo)系(??, ??)：
其中????= f/d??, ????= f/d??分別為兩個(gè)方向上的歸一化焦距，d??, d??代表了一個(gè)像素點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圖像平面中的長(zhǎng)度。
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