廣義卡爾曼-布什濾波器詳細(xì)推導(dǎo)過程
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2024-04-30 10:05
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1. Kalman-Bucy濾波器及系統(tǒng)背景
Kalman-Bucy濾波器本質(zhì)上是一種針對線性系統(tǒng)的濾波器，可以在系統(tǒng)中存在高斯白噪聲時對系統(tǒng)的內(nèi)稟信號進(jìn)行濾波，從而得到相對純凈、相對接近內(nèi)稟信號的測量信號。
設(shè)濾波器的輸出信號（亦即測量信號）為Y(t)，濾波器的輸入信號（即系統(tǒng)的內(nèi)稟信號，或稱有用信號）為X(t)。濾波器的作用，就是將系統(tǒng)中的狀態(tài)量X(t)在噪聲影響下，借助測量值Y(t)，正確估計出來系統(tǒng)中的內(nèi)稟（有用）信號。
系統(tǒng)中的有用信號可以表示為
另外，假設(shè)有用信號初值的期望已知：
方差已知：
再設(shè)系統(tǒng)的輸出信號Y ( t ) \mathbf{Y}(t)Y(t)具有如下形式
設(shè)濾波器的濾波誤差為
濾波器的設(shè)計應(yīng)當(dāng)滿足如下條件，使得濾波器得到的狀態(tài)估計量為無偏的，且估計誤差的均方差
最小。
2. 系統(tǒng)中相關(guān)關(guān)系整理
濾波器的任務(wù)，就是根據(jù)測量值Y(t)得到狀態(tài)量X(t)的估計，且該估計為無偏的和最小誤差均方差的。
3. 公式推導(dǎo)
(1) 無偏估計條件
為滿足無偏估計的條件，需要有
對式(3)兩邊取期望有
代入式(5)并根據(jù)式(4)有
另一方面，對式(1)兩邊取數(shù)學(xué)期望有（考慮到噪聲的期望為0）
根據(jù)式(4)可以看出，式(6)和式(7)的等號右邊應(yīng)該相等，那么
或
反代回式(3)，得到濾波器的結(jié)構(gòu)
(2) 最小誤差均方差條件
最小誤差均方差條件表示為
對誤差求導(dǎo)有（用到式(2)(9)）
其中
(3) 誤差的方差條件
這里不加證明地給出如下結(jié)論：
(5) 矩陣跡的求導(dǎo)
為了求解式(15)，需要先介紹一些涉及到矩陣跡的求導(dǎo)公式
參照式(14)右邊的各項，先得出如下項的跡的導(dǎo)數(shù)：
把如上式子全部代入微分方程(15)，可以求解得
(6) 兩個噪聲之間的特殊情況
(7) 濾波器的結(jié)論
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