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本文轉(zhuǎn)自|磐創(chuàng)AI

與我的朋友交談時，我經(jīng)常聽到：“哦，卡爾曼(Kalman)濾波器……我經(jīng)常學(xué)它，然后我什么都忘了”。好吧，考慮到卡爾曼濾波器(KF)是世界上應(yīng)用最廣泛的算法之一(如果環(huán)顧四周，你80％的技術(shù)可能已經(jīng)在內(nèi)部運行某種KF)，讓我們嘗試將其弄清楚。

在這篇文章的結(jié)尾，你將對KF的工作原理，其背后的想法，為什么需要多個變體以及最常見的變體有一個直觀而詳細的了解。

狀態(tài)估計

KF是所謂的狀態(tài)估計算法的一部分。什么是狀態(tài)估計？假設(shè)你有一個系統(tǒng)(讓我們將其視為黑箱)。黑箱可以是任何東西：你的風(fēng)扇，化學(xué)系統(tǒng)，移動機器人。對于這些系統(tǒng)中的每一個，我們都可以定義一個狀態(tài)。狀態(tài)是我們關(guān)心的變量向量，可以描述系統(tǒng)處于特定時間點的“狀態(tài)”(這就是為什么將其稱為狀態(tài))。“可以描述”是什么意思？這意味著，如果你了解當(dāng)時的狀態(tài)向量k和提供給系統(tǒng)的輸入，則可以了解當(dāng)時的k+1的系統(tǒng)狀態(tài)(與此同時使用系統(tǒng)工作原理的一些知識)。

例如，假設(shè)我們有一個移動的機器人，并且我們關(guān)心其在空間中的位置(并且不在乎其方向)。如果我們將狀態(tài)定義為機器人的位置(x, y)及其速度，( , )并且我們有一個機器人如何運動的模型，那么就足以確定機器人的位置以及下一個時刻的位置。

因此，狀態(tài)估計算法估計系統(tǒng)的狀態(tài)。為什么要估算呢？因為在現(xiàn)實生活中，外部觀察者永遠無法訪問系統(tǒng)的真實狀態(tài)。通常有兩種情況：你可以測量狀態(tài)，但是測量結(jié)果會受到噪聲的影響(每個傳感器只能產(chǎn)生一定精度的讀數(shù)，可能對你來說還不夠)，或者你無法直接測量狀態(tài)。一個例子可能是使用GPS計算上述移動機器人的位置(我們將位置確定為狀態(tài)的一部分)，這可能會給你帶來多達10米的測量誤差，對于你可能想到的任何應(yīng)用程序來說，這可能都不夠精確。

通常，當(dāng)你進行狀態(tài)估計時，你可以放心地假設(shè)你知道系統(tǒng)的輸入(因為是你給出的)和輸出。由于測量了輸出，因此它也會受到一定的測量噪聲的影響。據(jù)此，我們將狀態(tài)估計器定義為一個系統(tǒng)，該系統(tǒng)接收你要估計其狀態(tài)的系統(tǒng)的輸入和輸出并輸出系統(tǒng)狀態(tài)的估計。

傳統(tǒng)上，狀態(tài)用表示x，輸出用y或z，u是輸入，是估計狀態(tài)。

卡爾曼濾波器

你可能已經(jīng)注意到，我們已經(jīng)討論了一些有關(guān)誤差的內(nèi)容：

你可以測量系統(tǒng)的輸出，但是傳感器會給出測量誤差
你可以估計狀態(tài)，但是作為狀態(tài)估計它具有一定的置信度。

除此之外，我說過，你需要某種系統(tǒng)知識，你需要了解系統(tǒng)“行為”的模型(稍后會詳細介紹)，你的模型當(dāng)然并不完美，因此你將擁有另一個誤差。

在KF中，你可以使用高斯分布來處理所有這些不確定性。高斯分布是表示你不確定的事物的一種好方法。你當(dāng)前確定的東西可以用分布的均值表示，而標(biāo)準(zhǔn)差可以說明你對該確定的信心。

在KF中：

你的估計狀態(tài)將是具有一定均值和協(xié)方差的高斯隨機變量(它將告訴我們該算法“確定”其當(dāng)前估計的程度)
你對原始系統(tǒng)的輸出度量的不確定性將用均值為0和一定協(xié)方差的隨機變量表示(這將告訴我們我們對度量本身的信任程度)
系統(tǒng)模型的不確定性將由均值為0和一定協(xié)方差的隨機變量表示(這將告訴我們我們對使用的模型有多信任)。

讓我們舉一些例子來了解其背后的想法。

不良模型，好的傳感器，讓我們再次假設(shè)你要跟蹤機器人的位置，并且你在傳感器上花費了很多錢，它們?yōu)槟闾峁├迕准壍木取Ａ硪环矫?，你根本不喜歡機器人技術(shù)，搜索了一下，發(fā)現(xiàn)了一個非?；镜倪\動模型：隨機游走(基本上是一個僅由噪聲給出運動的粒子)。很明顯，你的模型不是很好，不能真正被信任，而你的測量結(jié)果卻很好。在這種情況下，你可能將使用非常窄的高斯分布(小方差)來建模測量噪聲，而使用非常寬的高斯分布(大方差)來建模不確定性。
傳感器質(zhì)量差，模型好，如果傳感器質(zhì)量不好(例如GPS)，但是你花費大量時間對系統(tǒng)進行建模，則情況恰好相反。在這種情況下，你可能將使用非常窄的高斯分布(小方差)來建模模型不確定性，而使用非常寬的高斯分布(大方差)來建模噪聲。

估計的狀態(tài)不確定性如何？

KF將根據(jù)估計過程中發(fā)生的事情進行更新，你唯一要做的就是將其初始化為足夠好的值?！白銐蚝谩比Q于你的應(yīng)用程序，你的傳感器，你的模型等。通常，KF需要一點時間才能收斂到正確的估計值。

KF如何工作？

正如我們所說，要讓KF正常工作，你需要對系統(tǒng)有“一定的了解”。特別是對于KF，你需要兩個模型：

狀態(tài)轉(zhuǎn)換模型：某些函數(shù)，給定時間步k的狀態(tài)和輸入，給出時間步k+1的狀態(tài)。
測量模型：某個函數(shù)，給定時間步k的狀態(tài)，即可為你提供同一時間的測量結(jié)果

稍后，我們將了解為什么需要這些功能，讓我們首先查看一些示例以了解它們的含義。

狀態(tài)轉(zhuǎn)換模型

該模型告訴你系統(tǒng)如何隨時間變化(如果你還記得的話，我們之前曾談到狀態(tài)必須具有足夠的描述性以及時推斷系統(tǒng)行為)。這在很大程度上取決于系統(tǒng)本身以及你對系統(tǒng)的關(guān)心。如果你不知道如何對系統(tǒng)建模，則可以使用一些Google搜索來提供幫助。對于運動的物體(如果以適當(dāng)?shù)牟蓸勇蕼y量)，可以使用恒速模型(假定物體以恒定的速度運動)，對于車輛，可以使用單輪腳踏車模型，等等……

讓我們假設(shè)一種或另一種方式，我們建立了一個模型。我們在這里做出一個重要的假設(shè)，這對于KF的工作是必要的：你的當(dāng)前狀態(tài)僅取決于先例。換句話說，系統(tǒng)狀態(tài)的“歷史”會壓縮為先前的狀態(tài)，也就是說，給定先例狀態(tài)，每個狀態(tài)都獨立于過去。這也稱為馬爾可夫假設(shè)。如果這不成立，你將無法僅根據(jù)先例來表達當(dāng)前狀態(tài)。

測量模型(Measurement model)

測量模型告訴你如何將輸出和狀態(tài)聯(lián)系在一起。直觀上，你需要這樣做，因為你知道測量的輸出，并且想要在估計期間從中推斷出狀態(tài)。同樣，此模型因情況而異。例如，在移動機器人示例中，如果你的狀態(tài)是位置并且你擁有GPS，則你的模型就是單位函數(shù)(identity function)，因為你已經(jīng)在知道了狀態(tài)的有噪聲版本。

每個步驟的數(shù)學(xué)公式和解釋如下：

那么，KF實際如何運作？該算法分兩個步驟工作，稱為預(yù)測和更新。假設(shè)我們在時間步k，并且那時我們具有估計狀態(tài)。首先，我們使用狀態(tài)轉(zhuǎn)換模型，并使估計狀態(tài)預(yù)測到下一個時刻。這相當(dāng)于說：鑒于我目前對狀態(tài)的信念，我所擁有的輸入以及對系統(tǒng)的了解，我希望我的下一個狀態(tài)是這樣。這是預(yù)測步驟。

現(xiàn)在，由于我們還具有輸出和測量模型，因此我們實際上可以使用實際測量“校正”預(yù)測。在更新步驟中，我們采用預(yù)期狀態(tài)，我們計算輸出(使用測量模型)(2)，并將其與實際測量的輸出進行比較。然后，我們以“智能方式”使用兩者之間的差異來校正狀態(tài)估計(3)。

通常，我們在校正之前用apex -表示狀態(tài)的估計，它來自于預(yù)測步驟。K是卡爾曼增益。這就是巧妙之處:K取決于我們對度量的信任程度，取決于我們對當(dāng)前估計的信任程度(這取決于我們對模型的信任程度)，根據(jù)這些信息，K“決定”預(yù)測的估計在多大程度上被測量糾正。如果我們的測量噪聲與我們對來自預(yù)測步驟的估計的信任程度相比是“小”的，我們將使用測量對估計進行大的校正，如果相反，我們將對其進行最小程度的校正。

注意：為簡單起見，我寫方程式時就好像在處理普通變量一樣，但是你必須考慮到在每一步中我們都在處理隨機的高斯變量，因此我們還需要通過函數(shù)傳播變量的協(xié)方差，而不僅僅是均值。

讓我們舉例說明。假設(shè)我們正在(再次)跟蹤一個機器人的位置。實際位置顯示為灰色，k時刻我們認(rèn)為機器人處于綠色位置，估計協(xié)方差表示為一個橢圓。粗略地說，你可以從橢圓的形狀看出，我們的過濾器在這一步對橫向定位比在向前運動方向的定位更“自信”。在使用狀態(tài)轉(zhuǎn)換模型讓系統(tǒng)演進的預(yù)測步驟之后，我們認(rèn)為新的位置是紅色的。由于橢圓在橫向上變大了，我們現(xiàn)在對新的估計位置不太確定(例如，因為我們不太相信模型)。然后我們讀取GPS，得到黑色的位置。在更新步驟中，實際的位置估計將是深綠色的虛線部分。如果我們更信任模型(與測量噪聲協(xié)方差相比，協(xié)方差更小)，估計值將更接近紅色;如果我們更信任測量(與模型不確定性相比，噪聲測量協(xié)方差更小)，估計值將更接近紅色。

KF家族

根據(jù)所使用的模型類型(狀態(tài)轉(zhuǎn)換和測量)，可以將KF分為兩個大類：如果模型是線性的，則具有線性卡爾曼濾波器，而如果它們是非線性的，則具有非線性卡爾曼濾波器。

為什么要區(qū)分？好吧，KF假設(shè)你的變量是高斯變量，當(dāng)通過線性函數(shù)傳遞時，高斯變量仍然是高斯變量，如果通過非線性函數(shù)傳遞，則不正確。這打破了卡爾曼假設(shè)，因此我們需要找到解決方法。

歷史上，人們發(fā)現(xiàn)了兩種主要的方法:利用模型作弊和利用數(shù)據(jù)作弊。如果你在模型上做了弊你基本上是將當(dāng)前估計周圍的非線性函數(shù)線性化，這樣你就回到了線性的情況下。這種方法稱為擴展卡爾曼濾波(EKF)。這種方法的主要缺點是必須能夠計算f()和h()的雅可比矩陣?；蛘撸绻阍跀?shù)據(jù)上作弊，你使用非線性函數(shù)，然后你嘗試“高斯化”(如果這個詞存在的話)你做出的非高斯分布。這是通過一種叫做無損變換的智能采樣技術(shù)實現(xiàn)的。這個變換允許你用平均值和協(xié)方差來描述(近似地)一個分布(只有高斯分布才能被前兩個矩完全描述)。這種方法稱為無損卡爾曼濾波(UKF)。理論上，UKF優(yōu)于EKF，因為無損變換比線性化模型得到的近似更接近結(jié)果分布。在實踐中，你必須有相當(dāng)大的非線性才能真正看到大的區(qū)別。

實際中的KF

由于我談到了很多有關(guān)帶GPS的移動機器人的內(nèi)容，因此我就此情況作了簡短的演示(如果要使用它，可以在這里找到代碼)。機器人的運動是使用單輪模型生成的。用于KF的狀態(tài)轉(zhuǎn)換模型是等速模型，其狀態(tài)包含x和y位置，轉(zhuǎn)向角及其導(dǎo)數(shù)。

機器人會及時移動(實際位置顯示為黑色)，在每個步驟中，你都會得到非常嘈雜的GPS測量值，該測量值給出x和y(紅色)并估算位置(藍色)。你可以使用不同的參數(shù)，看看它們?nèi)绾斡绊憼顟B(tài)估計。如你所見，我們可以進行非常嘈雜的測量，并對實際位置進行很好的估算。

獎勵：卡爾曼增益的直觀含義

讓我們看一下線性KF情況下卡爾曼增益的公式，并試圖更深入地了解增益的工作原理。

其中，當(dāng)前估算狀態(tài)的協(xié)方差(我們對估算的信心程度)C是測量模型的線性變換，其中y(k) = Cx(k)和R是測量噪聲的協(xié)方差矩陣。請注意，分?jǐn)?shù)符號并不是真正正確的，但是可以使發(fā)生的事情更容易可視化。

根據(jù)等式，如果R變?yōu)?，則我們有：

代入我們定義(3)的算法步驟，可以看到我們將完全忽略預(yù)測步驟的結(jié)果，并且使用測量模型的逆變換來獲得僅來自測量的狀態(tài)估計。

相反，如果我們非常信任模型/估計，則將趨于0，得出：

因此，我們得到的最終估計與預(yù)測步長輸出相同。

需要注意的是，我正在交替使用“信任模型”和“信任當(dāng)前估計”。他們是不一樣的但是他們是相關(guān)的,因為我們有多么信任預(yù)測的評估是我們有多信任模型(如預(yù)測步驟完成只使用模型)與我們有多么信任前一步的濾波的組合。

獎勵2：庫

有很多不錯的庫可以在線計算KF，這是我的一些最愛。

作為一個GO愛好者，我將從這個非常不錯的GO庫開始，其中包含幾個預(yù)實現(xiàn)的模型：https://github.com/rosshemsley/kalman

對于Python，你可以查看：https://pykalman.github.io/

結(jié)論：我們深入研究了狀態(tài)估計是什么，卡爾曼濾波器的工作原理，其背后的直覺是什么，如何使用它們以及何時使用。我們介紹了一個玩具(但現(xiàn)實生活中)的問題，并介紹了如何使用卡爾曼濾波器解決該問題。然后，我們更深入地研究了Kalman濾波器在幕后的實際作用。

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面向軟件工程師的卡爾曼濾波器