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大家好，歡迎來到 Crossin的編程教室！

今天咱們來聊個算法小問題~

第二天，在另一家公司……

小灰是吧？請簡單介紹一下你自己。

?好的，blah blah blah……

下面考你一道算法題：

給你一個無序數(shù)組，要求你找出數(shù)組中的第k大元素。

題目是什么意思呢？比如給定的無序數(shù)組如下：

如果 k=6，也就是要尋找數(shù)組中的第6大元素，這個元素是哪一個呢？

顯然，數(shù)組中第一大的元素是24，第二大的元素是20，第三大的元素是17 ......第6大的元素是9。

讓我想想啊……

對了，我可以先把無序數(shù)組排序，然后數(shù)出排序后的第k個元素！

方法1：排序法

這是最容易想到的方法，先把無序數(shù)組從大到小進行排序，排序后的第k個元素，自然就是數(shù)組中的第k大元素。

先進行排序的話，算法時間復雜度是O（nlogn），

性能有些差，有沒有更優(yōu)化的方法？

讓我想想啊……

對了，我可以維護一個長度為k的數(shù)組，有序存儲當前k個較大的元素！

方法2：插入法

維護一個長度為k的有序數(shù)組A，用于存儲已知的k個較大的元素。

接下來遍歷原數(shù)組，每遍歷到一個元素，和數(shù)組A中最小的元素相比較，如果小于等于數(shù)組A的最小元素，繼續(xù)遍歷；如果大于數(shù)組A的最小元素，則插入到數(shù)組A中，并把曾經(jīng)的最小元素“擠出去”。

比如k=3，先把最左側的7,5,15三個數(shù)有序放入數(shù)組A當中，代表當前最大的3個數(shù)。

這時候，遍歷到元素3，由于3<5，繼續(xù)遍歷。

接下來遍歷到17，由于17>5，插入到數(shù)組A的合適位置，類似于插入排序，并把原先最小的元素5“擠出去”。

繼續(xù)遍歷原數(shù)組，一直遍歷到數(shù)組的最后一個元素......

最終，數(shù)組A中存儲的元素是24,20,17，代表著整個數(shù)組中最大的3個元素。此時數(shù)組A中最小的元素17，就是我們要尋找的第k大元素。

這個方法的時間復雜度是O（nk），如果k的值比較大，其性能可能還不如方法一。

還有沒有更優(yōu)化的方案？

好像沒有更快的方法了吧……

呵呵，沒關系，回家等通知去吧！

解題思路

小灰，你剛剛去面試了？結果怎么樣？

唉……

大黃，要想找到無序數(shù)組中的第k大元素，有什么性能較高的方法嗎？

這是一道很經(jīng)典的算法題，解法有很多種，

其中最容易想到的是利用二叉堆來解決。

關于二叉堆的概念，在上一本《漫畫算法》中我們介紹過。簡而言之，二叉堆是一種特殊的完全二叉樹，它包含最大堆和最小堆兩種形式。

其中最小堆的特點，是每一個父結點都小于等于自己的子結點，堆頂是整個堆中最小的結點。要解決這個算法題，我們可以利用最小堆的特性。

可是，最小堆和這個算法題究竟有什么關系呢？

別急，讓我來解釋一下這個方法的思路。

方法3：最小堆法

維護一個容量為k的最小堆，堆中的k個結點代表著數(shù)組當前最大的k個元素，而堆頂顯然是這k個元素中的最小值。

遍歷原數(shù)組，每遍歷一個元素，就和堆頂比較，如果當前元素小于等于堆頂，說明該元素一定不是最大的k個元素之一，繼續(xù)遍歷；如果元素大于堆頂，說明該元素有可能是最大的k個元素之一，把當前元素放在堆頂位置，并調整二叉堆（下沉操作）。

遍歷結束后，堆頂就是數(shù)組的最大k個元素中的最小值，也就是第k大元素。

假設k=5，具體的執(zhí)行步驟如下：

1. 把數(shù)組的前k個元素構建成堆。

2. 繼續(xù)遍歷數(shù)組，和堆頂比較，如果小于等于堆頂，則繼續(xù)遍歷；如果大于堆頂，則取代堆頂元素并調整堆。

遍歷到元素2，由于 2<3，所以繼續(xù)遍歷。

遍歷到元素20，由于 20>3，20取代堆頂位置，并調整堆。

遍歷到元素24，由于 24>5，24取代堆頂位置，并調整堆。

以此類推，我們一個一個遍歷元素，當遍歷到最后一個元素8的時候，最小堆的情況如下：

3. 此時的堆頂，就是堆中的最小值，也就是數(shù)組中的第k大元素。

這個方法的時間復雜度是多少呢？

構建堆的時間復雜度是 O（k）
遍歷剩余數(shù)組的時間復雜度是O（n-k）
每次調整堆的時間復雜度是 O（logk）

其中2和3是嵌套關系，1和2,3是并列關系，所以總的最壞時間復雜度是O（（n-k）logk + k）。當k遠小于n的情況下，也可以近似地認為是O（nlogk）。

這個方法的空間復雜度是多少呢？

剛才我們在詳細步驟中把二叉堆單獨拿出來演示，是為了便于理解。但如果允許改變原數(shù)組的話，我們可以把數(shù)組的前k個元素“原地交換”來構建成二叉堆，這樣就免去了開辟額外的存儲空間。

因此，這個方法的空間復雜度是O（1）。

明白了，最小堆法還真是個巧妙的解決方法！怎么用代碼來實現(xiàn)呢？

代碼很簡單，讓我們來看一看：

public class KthLargestNumber {    /**     * 尋找第k大的元素     * @param array  待調整的堆     * @param k  第幾大     */    public static int findKthLargestNumber(int[] array, int k) {        //1.用前k個元素構建最小堆        buildHeap(array, k);        //2.繼續(xù)遍歷數(shù)組，和堆頂比較        for (int i = k; i < array.length; i++) {            if (array[i] > array[0]) {                array[0] = array[i];
                downAdjust(array, 0, k);            }        }        //3.返回堆頂元素        return array[0];    }
    /**     * 構建堆     * @param array  待調整的堆     * @param length  堆的有效大小     */    private static void buildHeap(int[] array, int length) {        // 從最后一個非葉子結點開始，依次下沉調整        for (int i = (length - 2) / 2; i >= 0; i--) {            downAdjust(array, i, length);        }    }
    /**     * 下沉調整     * @param array     待調整的堆     * @param index    要下沉的結點     * @param length    堆的有效大小     */    private static void downAdjust(int[] array, int index, int length) {        // temp保存父結點值，用于最后的賦值        int temp = array[index];        int childIndex = (2 * index) + 1;
        while (childIndex < length) {            // 如果有右孩子，且右孩子小于左孩子的值，則定位到右孩子            if (((childIndex + 1) < length) &&                    (array[childIndex + 1] < array[childIndex])) {                childIndex++;            }            // 如果父結點小于任何一個孩子的值，直接跳出            if (temp <= array[childIndex]) {
                break;            }            //無需真正交換，單向賦值即可            array[index] = array[childIndex];            index = childIndex;            childIndex = (2 * childIndex) + 1;        }
        array[index] = temp;    }
    public static void main(String[] args) {        int[] array = new int[] { 7, 5, 15, 3, 17, 2, 20, 24, 1, 9, 12, 8 };        System.out.println(findKthLargestNumber(array, 5));    }}