漫畫 | 趣解面試高頻算法難題（數(shù)組中的第K個最大元素）
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第二天，在另一家公司……
小灰是吧？請簡單介紹一下你自己。
好的，blah blah blah……
下面考你一道算法題：
給你一個無序數(shù)組，要求你找出數(shù)組中的第k大元素。
題目是什么意思呢？比如給定的無序數(shù)組如下：
如果 k=6，也就是要尋找數(shù)組中的第6大元素，這個元素是哪一個呢？
顯然，數(shù)組中第一大的元素是24，第二大的元素是20，第三大的元素是17 ......第6大的元素是9。
讓我想想啊……
對了，我可以先把無序數(shù)組排序，然后數(shù)出排序后的第k個元素！
方法1：排序法
這是最容易想到的方法，先把無序數(shù)組從大到小進行排序，排序后的第k個元素，自然就是數(shù)組中的第k大元素。
先進行排序的話，算法時間復(fù)雜度是O（nlogn），
性能有些差，有沒有更優(yōu)化的方法？
讓我想想啊……
對了，我可以維護一個長度為k的數(shù)組，有序存儲當(dāng)前k個較大的元素！
方法2：插入法
維護一個長度為k的有序數(shù)組A，用于存儲已知的k個較大的元素。
接下來遍歷原數(shù)組，每遍歷到一個元素，和數(shù)組A中最小的元素相比較，如果小于等于數(shù)組A的最小元素，繼續(xù)遍歷；如果大于數(shù)組A的最小元素，則插入到數(shù)組A中，并把曾經(jīng)的最小元素“擠出去”。
比如k=3，先把最左側(cè)的7,5,15三個數(shù)有序放入數(shù)組A當(dāng)中，代表當(dāng)前最大的3個數(shù)。
這時候，遍歷到元素3， 由于3<5，繼續(xù)遍歷。
接下來遍歷到17，由于17>5，插入到數(shù)組A的合適位置，類似于插入排序，并把原先最小的元素5“擠出去”。
繼續(xù)遍歷原數(shù)組，一直遍歷到數(shù)組的最后一個元素......
最終，數(shù)組A中存儲的元素是24,20,17，代表著整個數(shù)組中最大的3個元素。此時數(shù)組A中最小的元素17，就是我們要尋找的第k大元素。
這個方法的時間復(fù)雜度是O（nk），如果k的值比較大，其性能可能還不如方法一。
還有沒有更優(yōu)化的方案？
好像沒有更快的方法了吧……
呵呵，沒關(guān)系，回家等通知去吧！
小灰，你剛剛?cè)ッ嬖嚵?？結(jié)果怎么樣？
唉……
大黃，要想找到無序數(shù)組中的第k大元素，有什么性能較高的方法嗎？
這是一道很經(jīng)典的算法題，解法有很多種，
其中最容易想到的是利用二叉堆來解決。
關(guān)于二叉堆的概念，在上一本《漫畫算法》中我們介紹過。簡而言之，二叉堆是一種特殊的完全二叉樹，它包含最大堆和最小堆兩種形式。
其中最小堆的特點，是每一個父結(jié)點都小于等于自己的子結(jié)點，堆頂是整個堆中最小的結(jié)點。要解決這個算法題，我們可以利用最小堆的特性。
可是，最小堆和這個算法題究竟有什么關(guān)系呢？
別急，讓我來解釋一下這個方法的思路。
方法3：最小堆法
維護一個容量為k的最小堆，堆中的k個結(jié)點代表著數(shù)組當(dāng)前最大的k個元素，而堆頂顯然是這k個元素中的最小值。
遍歷原數(shù)組，每遍歷一個元素，就和堆頂比較，如果當(dāng)前元素小于等于堆頂，說明該元素一定不是最大的k個元素之一，繼續(xù)遍歷；如果元素大于堆頂，說明該元素有可能是最大的k個元素之一，把當(dāng)前元素放在堆頂位置，并調(diào)整二叉堆（下沉操作）。
遍歷結(jié)束后，堆頂就是數(shù)組的最大k個元素中的最小值，也就是第k大元素。
假設(shè)k=5，具體的執(zhí)行步驟如下：
1. 把數(shù)組的前k個元素構(gòu)建成堆。
2. 繼續(xù)遍歷數(shù)組，和堆頂比較，如果小于等于堆頂，則繼續(xù)遍歷；如果大于堆頂，則取代堆頂元素并調(diào)整堆。
遍歷到元素2，由于 2<3，所以繼續(xù)遍歷。
遍歷到元素20，由于 20>3，20取代堆頂位置，并調(diào)整堆。
遍歷到元素24，由于 24>5，24取代堆頂位置，并調(diào)整堆。
以此類推，我們一個一個遍歷元素，當(dāng)遍歷到最后一個元素8的時候，最小堆的情況如下：
3. 此時的堆頂，就是堆中的最小值，也就是數(shù)組中的第k大元素。
這個方法的時間復(fù)雜度是多少呢？
構(gòu)建堆的時間復(fù)雜度是 O（k）
遍歷剩余數(shù)組的時間復(fù)雜度是O（n-k）
每次調(diào)整堆的時間復(fù)雜度是 O（logk）
其中2和3是嵌套關(guān)系，1和2,3是并列關(guān)系，所以總的最壞時間復(fù)雜度是O（（n-k）logk + k）。當(dāng)k遠小于n的情況下，也可以近似地認為是O（nlogk）。
這個方法的空間復(fù)雜度是多少呢？
剛才我們在詳細步驟中把二叉堆單獨拿出來演示，是為了便于理解。但如果允許改變原數(shù)組的話，我們可以把數(shù)組的前k個元素“原地交換”來構(gòu)建成二叉堆，這樣就免去了開辟額外的存儲空間。
因此，這個方法的空間復(fù)雜度是O（1）。
明白了，最小堆法還真是個巧妙的解決方法！怎么用代碼來實現(xiàn)呢？
代碼很簡單，讓我們來看一看：
public class KthLargestNumber {/*** 尋找第k大的元素* @param array 待調(diào)整的堆* @param k 第幾大*/public static int findKthLargestNumber(int[] array, int k) {//1.用前k個元素構(gòu)建最小堆buildHeap(array, k);//2.繼續(xù)遍歷數(shù)組，和堆頂比較for (int i = k; i < array.length; i++) {if (array[i] > array[0]) {array[0] = array[i];downAdjust(array, 0, k);}}//3.返回堆頂元素return array[0];}/*** 構(gòu)建堆* @param array 待調(diào)整的堆* @param length 堆的有效大小*/private static void buildHeap(int[] array, int length) {// 從最后一個非葉子結(jié)點開始，依次下沉調(diào)整for (int i = (length - 2) / 2; i >= 0; i--) {downAdjust(array, i, length);}}/*** 下沉調(diào)整* @param array 待調(diào)整的堆* @param index 要下沉的結(jié)點* @param length 堆的有效大小*/private static void downAdjust(int[] array, int index, int length) {// temp保存父結(jié)點值，用于最后的賦值int temp = array[index];int childIndex = (2 * index) + 1;while (childIndex < length) {// 如果有右孩子，且右孩子小于左孩子的值，則定位到右孩子if (((childIndex + 1) < length) &&(array[childIndex + 1] < array[childIndex])) {childIndex++;}// 如果父結(jié)點小于任何一個孩子的值，直接跳出if (temp <= array[childIndex]) {break;}//無需真正交換，單向賦值即可array[index] = array[childIndex];index = childIndex;childIndex = (2 * childIndex) + 1;}array[index] = temp;}public static void main(String[] args) {int[] array = new int[] { 7, 5, 15, 3, 17, 2, 20, 24, 1, 9, 12, 8 };System.out.println(findKthLargestNumber(array, 5));}}
原來如此，這下徹底明白啦！
要尋找數(shù)組的第k大元素，其實還有一種方法，這種方法就是分治法
方法4：分治法
大家都了解快速排序，快速排序利用分治法，每一次把數(shù)組分成較大和較小的兩部分。
我們在尋找第k大元素的時候，也可以利用這個思路，以某個元素a為基準(zhǔn)，把大于a的元素都交換到數(shù)組左邊，小于a的元素都交換到數(shù)組右邊。
比如我們選擇以元素7作為基準(zhǔn)，把數(shù)組分成了左側(cè)較大，右側(cè)較小的兩個區(qū)域，交換結(jié)果如下：
包括元素7在內(nèi)的較大元素有8個，但我們的k=5，顯然較大元素的數(shù)目過多了。于是我們在較大元素的區(qū)域繼續(xù)分治，這次以元素12位基準(zhǔn)：
這樣一來，包括元素12在內(nèi)的較大元素有5個，正好和k相等。所以，基準(zhǔn)元素12就是我們所求的。
這就是分治法的大體思想，這種方法的時間復(fù)雜度甚至優(yōu)于最小堆法，可以達到O（n）。有興趣的小伙伴可以嘗試用代碼實現(xiàn)一下。
好了，關(guān)于尋找數(shù)組第k大元素的方法，我們就介紹到這里，
想要了解更多內(nèi)容，可以閱讀《漫畫算法2》哦！
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