微積分的發(fā)展史

數學算法俱樂部

日期：2020年08月23日

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來源：美味數學 小楊

微積分真正成為一門數學學科，是在十七世紀，然而在此這前微積分已經一步一步地跟隨人類歷史的腳步緩慢發(fā)展著。著眼于微積分的整個發(fā)展歷史，在此分為四個時期：1.早期萌芽時期。2.建立成型時期。3.成熟完善時期。4.現代發(fā)展時期。

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早期萌芽時期：

1、?古西方萌芽時期：

公元前七世紀，泰勒斯對圖形的面積、體積與的長度的研究就含有早期微積分的思想，盡管不是很明顯。公元前三世紀，偉大的全能科學家阿基米德利用窮竭法推算出了拋物線弓形、螺線、圓的面積以及橢球體、拋物面體等各種復雜幾何體的表面積和體積的公式，其窮竭法就類似于現在的微積分中的求極限。此外，他還計算出Π的近似值，阿基米德對于微積分的發(fā)展起到了一定的引導作用。

2. ? 古中國萌芽時期：

三國后期的劉徽發(fā)明了著名的“割圓術”，即把圓周用內接或外切正多邊形窮竭的一種求圓周長及面積的方法?！案钪畯浖?，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”不斷地增加正多邊形的邊數，進而使多邊形更加接近圓的面積，在我國數學史上算是偉大創(chuàng)舉。

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另外在南朝時期杰出的祖氏父子更將圓周率計算到小數點后七位數，他們的精神值得我們學習。此外祖暅之提出了祖暅原理：“冪勢即同，則積不容異”，即界于兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等，比歐洲的卡瓦列利原理早十個世紀。祖暅之利用牟合方蓋（牟合方蓋與其內切球的體積比為4：Π）計算出了球的體積，糾正了劉徽的《九章算術注》中的錯誤的球體積公式。

建立成型時期：

1.十七世紀上半葉：

這一時期，幾乎所有的科學大師都致力于解決速率、極值、切線、面積問題，特別是描述運動與變化的無限小算法，并且在相當短的時間內取得了極大的發(fā)展。

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天文學家開普勒發(fā)現行星運動三大定律，并利用無窮小求和的思想，求得曲邊形的面積及旋轉體的體積。意大利數學家卡瓦列利與同時期發(fā)現卡瓦列利原理（祖暅原理），利用不可分量方法冪函數定積分公式，此外，卡瓦列利還證明了吉爾丁定理（一個平面圖形繞某一軸旋轉所得立體圖形體積等于該平面圖形的重心所形成的圓的周長與平面圖形面積的乘積。），對于微積分的雛形的形成影響深遠。

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此外解析幾何創(chuàng)始人——法國數學家笛卡爾的代數方法對于微積分的發(fā)展起了極大的推動。法國大數學家費馬在求曲線的切線及函數的極值方面貢獻巨大。其中就有關于數學分析的費馬定理：設函數f(x)是在某一區(qū)間Χ內定義的，并且在這區(qū)間的內點c取最大（最?。┲怠Ｈ粼谶@一點處存在著有限導數f'(c),則必須有f'(c)=0。

2. 十七世紀下半葉：

英國科學家牛頓開始關于微積分的研究，他受了沃利斯的《無窮算術》的啟發(fā)，第一次把代數學擴展到分析學。1665年牛頓發(fā)明正流數術（微分），次年又發(fā)明反流數術。之后將流數術總結一起，并寫出了《流數簡述》，這標志著微積分的誕生。接著，牛頓研究變量流動生成法，認為變量是由點、線或面的連續(xù)運動產生的，因此，他把變量叫作流量，把變量的變化率叫做流數。在牛頓創(chuàng)立微積分后期，否定了以前自己認為的變量是無窮小元素的靜止集合，不再強調數學量是由不可分割的最小單元構成，而認為它是由幾何元素經過連續(xù)運動生成的，不再認為流數是兩個實無限小量的比，而是初生量的最初比或消失量的最后比，這就從原先的實無限小量觀點進到量的無限分割過程即潛無限觀點上去。

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同一時期，德國數學家萊布尼茨也獨立創(chuàng)立了微積分學，他于1684年發(fā)表第一篇微分論文，定義了微分概念，采用了微分符號dx，dy。1686年他又發(fā)表了積分論文，討論了微分與積分，使用了積分符號∫，符號的發(fā)明使得微積分的表達更加簡便。此外他還發(fā)現了求高級導數的萊布尼茨公式，還有牛頓萊布尼茨公式，將微分與積分運算聯系在一起，他在微積分方面的貢獻與牛頓旗鼓相當。

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牛頓與萊布尼茨對于微積分學的創(chuàng)立起了舉足輕重的作用，我們無須去爭辯誰是真正的微積分創(chuàng)始人，在數學領域來說，這真的是一件極其無聊的事情，因為每一次的數學發(fā)現都是全人類共同的財富，真正的數學家也絕不會有心思去談論這種問題單的！

成熟完善時期：

1.第二次數學危機的開始：

微積分學在牛頓與萊布尼茨的時代逐漸建立成型，但是任何新的數學理論的建立，在起初都是會引起一部分人的極力質疑，微積分學同樣也是。由于早期微積分學的建立的不嚴謹性，許多不安分子就找漏洞攻擊微積分學，其中最著名的是英國主教貝克萊針對求導過程中的無窮?。é既是0，又不是0）展開對微積分學的進攻，由此第二次數學危機便拉開了序幕。

?2.第二次數學危機的解決：

危機出現之后，許多數學家意識到了微積分學的理論嚴謹性，陸續(xù)的出現大批杰出的科學家。在危機前期，捷克數學家布爾查諾對于函數性質作了細致研究，首次給出了連續(xù)性和導數的恰當的定義，對序列和級數的收斂性提出了正確的概念，并且提出了著名的布爾查諾——柯西收斂原理（整序變量Χn有有限極限的充要條件是：對于每一個ε＞0總存在著序號N，使當n＞N及n＇＞N時，便能成立不等式∣Χn－Χn＇∣﹤ε）。

之后的大數學家柯西建立了接近現代形式的極限，把無窮小定義為趨近于0的變量，從而結束了百年的爭論，并定義了函數的連續(xù)性、導數、連續(xù)函數的積分和級數的收斂性（與布爾查諾同期進行），柯西在微積分學（數學分析）的貢獻是巨大的：柯西中值定理、柯西不等式、柯西收斂準則、柯西公式、柯西積分判別法等等，其一生發(fā)表的論文總數僅次于歐拉。另外阿貝爾（其最大貢獻是首先想到倒過來思想，開拓了橢圓積分的廣闊天地）指出要嚴格限制濫用級數展開及求和，狄利克雷給出了函數的現代定義。

在危機后期，數學家魏爾斯特拉斯提出了病態(tài)函數（處處連續(xù)但處處不可微的函數），后續(xù)又有人發(fā)現了處處不連續(xù)但處處可積的函數，使人們重新認識了連續(xù)與可微可積的關系，他在連續(xù)閉區(qū)間內提出了第一、第二定理，并引進了極限的ε～δ定義，基本上實現了分析的算術化，使分析從幾何直觀的極限中得到了“解放”，從而驅散了17——18世紀籠罩在微積分外面的神秘云霧。繼而在此基礎上，黎曼與1854年和達布于1875年對有界函數建立了嚴密的積分理論，19世紀后半葉，戴金德等人嚴格的實數理論。

至此，數學分析（包含整個微積分學）的理論和方法完全建立在牢固的基礎上，基本上形成了一個完整的體系，也為20世紀的現代分析鋪平了道路。

未完待續(xù)。

—?THE END —

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