數(shù)學(xué)思想的幾個(gè)進(jìn)化階段

數(shù)學(xué)是一切自然科學(xué)的重要基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)的發(fā)展本身又表現(xiàn)出與其他自然學(xué)科極大的個(gè)性，傳統(tǒng)自然學(xué)科帶有顯著的固然性和機(jī)械性，而數(shù)學(xué)本身則不僅帶有極強(qiáng)的自明性和客觀性，而且隨其發(fā)展還逐漸衍生出自為性。數(shù)學(xué)方法于自然科學(xué)及數(shù)學(xué)本身之重要性已無須過多贅言，理解數(shù)學(xué)思想發(fā)展的幾個(gè)進(jìn)化階段，是獲取數(shù)學(xué)方法思維自由度的根本。

首先數(shù)學(xué)被視作關(guān)系機(jī)械系統(tǒng)，即此時(shí)的數(shù)學(xué)以客觀世界抽象所得之機(jī)械幾何公理、代數(shù)數(shù)值運(yùn)算公理系統(tǒng)為其絕對(duì)前提和判決標(biāo)準(zhǔn)。代數(shù)數(shù)值運(yùn)算公理是自然計(jì)算所產(chǎn)生的，機(jī)械幾何公理系統(tǒng)的生成過程則是漫長而復(fù)雜的，早期的機(jī)械幾何公理其實(shí)不成體系，只是一些人們?cè)谏a(chǎn)實(shí)踐過程中在直觀上形成了一些極其熟悉的基本數(shù)學(xué)元素和概念，例如直線、平面角，這些要素在應(yīng)用幾何學(xué)的發(fā)展過程中始終都作為一種基礎(chǔ)要素存在。僅就歐幾里德幾何體系的公理部分而言，與其說其為一種嚴(yán)密邏輯根源的總結(jié)，毋寧說是一種“從最簡約的基本概念出發(fā)”的一種樸素試探的結(jié)果。

作為有史以來最漫長的數(shù)學(xué)發(fā)展階段，數(shù)學(xué)關(guān)系機(jī)械系統(tǒng)階段不是簡單一貫的，而是在漫長的簡單一貫以后逐漸地隨物理、化學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)等其他學(xué)科之發(fā)展俱進(jìn)。幾乎可以確定地說，無論是否認(rèn)可歐幾里德實(shí)有其人，幾何原本的歸納方法幾乎是可以確認(rèn)的——首先，按照幾何對(duì)象的復(fù)雜度進(jìn)行分類，依從點(diǎn)、線、面、體的基本順序?qū)Ω黝惷}進(jìn)行自下而上的金字塔層次劃分，對(duì)每一類定理的每一定理假設(shè)其成立，然后以此為起點(diǎn)，結(jié)合其基層的定理得到另外一些同層定理或上層定理，由此逐層遍歷，直到已知的所有命題，挑選其中完整覆蓋全部命題節(jié)點(diǎn)、且原因命題節(jié)點(diǎn)最少（即針對(duì)任意目標(biāo)命題，以最簡約的原始命題即推得目標(biāo)命題的邏輯路徑，才能被認(rèn)為是邏輯體系的路徑；其余路徑皆可認(rèn)為有所冗余）的一顆邏輯樹（生成的邏輯樹方案很可能不止一種），作為幾何原本最終的邏輯體系。

古代西方利用幾何模型解方程的思想帶有顯著的數(shù)學(xué)機(jī)械化特色，盡管這種解方程的方法帶有狹隘性（無法表達(dá)負(fù)根），但就其解決問題的思路本身而言極具價(jià)值——對(duì)構(gòu)造的藝術(shù)啟發(fā)意義尤大。這種方法的最大價(jià)值在于為計(jì)算機(jī)模擬數(shù)學(xué)過程提供了思想依據(jù)——仿真運(yùn)動(dòng)過程的誤差趨于0的過程中，機(jī)械即可與數(shù)理良好吻合。

由此可見，數(shù)學(xué)機(jī)械化的中心任務(wù)是首先完整地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)規(guī)律的外圍，從而機(jī)械物理方法在數(shù)學(xué)關(guān)系機(jī)械系統(tǒng)的探索中其實(shí)具備重要的意義。也就是說，

（1）如果能夠用機(jī)械直觀方法確定出數(shù)學(xué)問題的解決方案輪廓，那么任意的單個(gè)數(shù)學(xué)問題的求解可以有望自外而內(nèi)地被總結(jié)為一種方法程序。即根據(jù)數(shù)學(xué)問題本身的關(guān)系幾何特征，沿著“已知信息—問題”和“問題信息需求——條件”2個(gè)角度設(shè)計(jì)一種邏輯路徑（這種邏輯路徑實(shí)際上不應(yīng)被狹隘地視為問題本身解決的途徑，而應(yīng)該被視為與問題同體的一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)的其余局部），這種關(guān)系的撮合是隱晦的（應(yīng)該承認(rèn)，關(guān)系撮合思想首先源于直觀心理上的方案列舉和前向試探，但歸根結(jié)底地說，證明方向的思維調(diào)整的選項(xiàng)來源于關(guān)系模式的構(gòu)造想象，構(gòu)造設(shè)計(jì)的思維調(diào)整的選項(xiàng)則來源于要素關(guān)系協(xié)調(diào)推演邏輯），但絕非神秘而不可知。

（2）在遵循“可完整構(gòu)造”的原則前提下，數(shù)學(xué)系統(tǒng)的觀察是任意角度的，即數(shù)學(xué)系統(tǒng)，包括數(shù)學(xué)系統(tǒng)分析過程中的中間產(chǎn)物均可以以任意方式進(jìn)行重構(gòu)和解析——其邏輯依據(jù)是：任意產(chǎn)物只要是邏輯自洽的系統(tǒng)，則可以采用任意角度對(duì)其進(jìn)行重構(gòu)。在分析的過程中，初始的構(gòu)造方案并不見得從一而終，只要是穩(wěn)定的中間產(chǎn)物，就可以對(duì)其重新構(gòu)造；或者在原有的構(gòu)造動(dòng)態(tài)上介入新的運(yùn)動(dòng)理解，主要這種運(yùn)動(dòng)本身是自洽的。

（3）“誤差”的反演啟發(fā)意義：機(jī)械物理方法應(yīng)用于數(shù)學(xué)中的一個(gè)極大的困惑是誤差問題。數(shù)學(xué)問題的處理是無差的，而機(jī)械物理方法的視角往往帶有明顯的誤差。要順利地消除這個(gè)障礙，必須將有差、無差兩種情景連貫起來，即將無差視作有差的極限，如此則誤差可以予構(gòu)造以啟發(fā)式反饋。

誤差是數(shù)學(xué)分析的啟蒙，研究誤差的運(yùn)動(dòng)規(guī)律實(shí)際上是對(duì)原數(shù)學(xué)問題解析方式的一種重要提示。從理論上講，代數(shù)對(duì)象可以采取任意的方式進(jìn)行解析，而但凡具備通式的無窮級(jí)數(shù)展開實(shí)際上是一種可循環(huán)迭代的誤差，換言之，如果能夠證明“函數(shù)-無窮級(jí)數(shù)部分和“所構(gòu)成之差能夠小于任意正數(shù)，即無窮級(jí)數(shù)展開即告成立。

值得注意的是，在本階段的數(shù)學(xué)研究過程中，數(shù)學(xué)家的自我確認(rèn)感完全來自于

（1）數(shù)形結(jié)合的視覺心理

（2）有限步驟的邏輯推導(dǎo)

（3）基于遞推的數(shù)學(xué)歸納法

而研究的自由度則完全來自于對(duì)機(jī)械數(shù)學(xué)系統(tǒng)判據(jù)的先驗(yàn)完備性的絕對(duì)信賴——也就是說，先驗(yàn)地認(rèn)為機(jī)械數(shù)學(xué)判據(jù)足以判決一切真?zhèn)危唇^對(duì)的自明性），是本階段數(shù)學(xué)推演的根本依據(jù)。那么任意自定義的概念都可以找到判斷真?zhèn)蔚目煽恳罁?jù)，而任意問題均可通過附加條件信息而得以分割，只要有限的分割能夠得到全面的討論，則問題總能夠有望被搞清楚。

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克萊因說過：數(shù)學(xué)問題的困難根本在于觀點(diǎn)水平的高低。在低觀點(diǎn)下困難的問題往往在高觀點(diǎn)下就變得容易解決了。關(guān)系機(jī)械階段的數(shù)學(xué)表現(xiàn)出顯著的“一題一法”的特征，也就是說，關(guān)系機(jī)械階段的數(shù)學(xué)實(shí)際上是“分析—綜合”的思維，將一切綜合體都視作基本要素組合的相互作用結(jié)果。這種思維觀點(diǎn)存在很大的局限性，一般說來主要有2個(gè)方面的問題：

（1）缺乏整體的觀念：這種整體觀念的缺失所帶來的最直接后果是代數(shù)問題和幾何問題的分裂，盡管古代西方已經(jīng)出現(xiàn)了用幾何模型求解方程的做法，但實(shí)際上并未有任何證據(jù)證明代數(shù)、幾何已經(jīng)獲得了本體層面的統(tǒng)一。笛卡爾直角坐標(biāo)系的偉大之處在于確立了函數(shù)空間的概念，將任意的曲線視作一種函數(shù)，既是幾何的偉大進(jìn)步，更是代數(shù)的偉大進(jìn)步。對(duì)幾何的意義在于找到了一種精細(xì)化解析的等價(jià)表達(dá)方式。對(duì)代數(shù)的意義在于最先并深刻揭示了代數(shù)關(guān)系源于“空間”這一內(nèi)涵本體。

（2）關(guān)系本體的單調(diào)性：在機(jī)械觀點(diǎn)下的數(shù)學(xué)，由于將要素完全視作是相互獨(dú)立的，因此對(duì)要素之間的關(guān)系看待在廣度和深度方面往往具有很大的局限性。而要真正地提高對(duì)問題的觀點(diǎn)水平，則必須延拓原始思維的廣度和深度，這個(gè)新的理論觀點(diǎn)必須立足于更抽象的思維視角，而這樣的思維視角無疑依賴于更廣義的數(shù)學(xué)本體內(nèi)涵，在這個(gè)理論的構(gòu)建過程中，首先需要抽象出更簡潔的表達(dá)形式。

這個(gè)階段的重要?dú)v程重要?dú)w納為“幾何物理關(guān)系提煉——>代數(shù)特征提取——>代數(shù)表達(dá)歸納——>分析概念及定義抽象——>分析基礎(chǔ)嚴(yán)格化——>基于同構(gòu)類比的數(shù)理規(guī)律推廣 ?[類比的依據(jù)實(shí)際上是同構(gòu)，數(shù)理邏輯所以能夠推廣，是由于代數(shù)結(jié)構(gòu)的同構(gòu)性，而所謂類比，實(shí)際上是必須滿足代數(shù)要素相對(duì)關(guān)系類同的相對(duì)性原理]?? ”，值得注意的是，這個(gè)階段是數(shù)學(xué)觀念轉(zhuǎn)型的重要過渡階段。在這個(gè)階段中，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象逐漸脫離了具體的幾何形體而走向一種普遍數(shù)理規(guī)律，實(shí)際上是數(shù)學(xué)機(jī)械外殼對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)狹義內(nèi)涵形態(tài)的歸宿過程。

同時(shí)，這個(gè)階段還萌發(fā)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱性抽象演化，即“綜合—分析”的數(shù)學(xué)體系。以笛卡爾的坐標(biāo)系思想為啟蒙，解方程群論發(fā)展中數(shù)學(xué)逐漸體現(xiàn)出來的“體”屬性——即數(shù)學(xué)對(duì)象是一個(gè)整體，其中的局部皆是整體之衍生。公理則是這種整體之原始內(nèi)涵本體。這種自綜合而分析的思維視角實(shí)際上顛覆了歐氏幾何從分析到綜合的思維角度，由此而往，數(shù)學(xué)開始初步展現(xiàn)了它的兼容度和自由度，這種自由度的重要開端是非歐幾何和黎曼幾何的出現(xiàn)。數(shù)學(xué)的研究視角從傳統(tǒng)的實(shí)體對(duì)象和歐氏幾何對(duì)象擴(kuò)展到純粹空間對(duì)象。當(dāng)中的演化歷程大體可描述為“空間本體對(duì)象的變換??[從歐式公理假設(shè)轉(zhuǎn)向羅氏公理假設(shè)，從以點(diǎn)運(yùn)動(dòng)為基本立足的空間視角轉(zhuǎn)換到以維度立足的空間視角]?? ”——>“維度擴(kuò)展與變換 ?[維度的擴(kuò)張實(shí)際上是對(duì)幾何本體規(guī)律提取的必由之路，也是徹底轉(zhuǎn)向空間整體為中心的空間觀念視角的必經(jīng)環(huán)節(jié)]?? ”——>“空間概念的變化 ??[

從坐標(biāo)系下的度量空間轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為脫離了坐標(biāo)系的內(nèi)蘊(yùn)空間，這種轉(zhuǎn)化過程是自然的，并非是一廂情愿地“為賦新詞強(qiáng)說愁”要脫離歐氏空間，而是一種空間本體觀念變換后的自然產(chǎn)物。即空間之一切屬性當(dāng)由空間的本體來決定。

]?? ”。邏輯系統(tǒng)構(gòu)造的自由度開始顯現(xiàn)。

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數(shù)學(xué)進(jìn)化的重要里程碑在于數(shù)學(xué)正式成為一種自然語言系統(tǒng)，這個(gè)階段最令人困惑的問題莫過于“何以數(shù)學(xué)能夠成為一種自然語言？”或者說，數(shù)學(xué)獲得其成為一種自然語言的存在形式的依據(jù)究竟是什么？人們觀念中的數(shù)學(xué)已然進(jìn)化為一種自在的邏輯體系。成為一種自然語言絕不意味著數(shù)學(xué)的規(guī)律是任意的，而是數(shù)學(xué)對(duì)象的構(gòu)造獲得了極大的自由空間而可以近乎于任意的，產(chǎn)生這種觀念的直接誘因是分析基礎(chǔ)嚴(yán)格化促進(jìn)下實(shí)數(shù)理論的發(fā)展，數(shù)學(xué)家將實(shí)數(shù)歸結(jié)為全部幾何屬性的真正來源。數(shù)學(xué)之全部屬性由此完全脫離了幾何物理的形態(tài)，而實(shí)數(shù)本身的自在規(guī)律性尤其是質(zhì)數(shù)的神秘性誘發(fā)了這種思想。從實(shí)數(shù)規(guī)律出發(fā)和從幾何拓?fù)涞恼w性出發(fā)實(shí)際上構(gòu)成了數(shù)學(xué)的自在性。也就是說，數(shù)學(xué)被回歸到只以實(shí)數(shù)為基礎(chǔ)的形態(tài)，數(shù)值關(guān)系全部來源于實(shí)數(shù)系，則數(shù)學(xué)就獲得了與實(shí)數(shù)系同等的存在方式屬性——自在邏輯。

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康托爾的集合論是數(shù)學(xué)進(jìn)入純粹邏輯階段的起端。此階段之最大背景誘因在于數(shù)學(xué)發(fā)展從傳統(tǒng)的幾何、物理、代數(shù)問題轉(zhuǎn)入完成廣義的函數(shù)邏輯基礎(chǔ)和泛函理論基礎(chǔ)的構(gòu)建任務(wù)之中。此時(shí)，數(shù)學(xué)已經(jīng)進(jìn)入了一種極大的爭議之中，以至于后來分裂為三大主義學(xué)派（直覺主義、邏輯主義、形式主義）。關(guān)于無窮大的爭議以及羅素悖論本身是本階段兩大重要的里程碑。

??實(shí)無窮存在性和相容性的爭議實(shí)際上是一場觀念心理之爭

“有限”、“有窮”的區(qū)別是明顯的，對(duì)“有限”的心理認(rèn)知一般是“確知其邊界位置”—>“確知其邊界位置范圍”—>“確知其邊界位置范圍的可確性”——>“確知其邊界位置范圍可確方案的存在性”。對(duì)“有窮”的心理認(rèn)知一般是“可窮可數(shù)的 ?[即具備最小基本元的離散可數(shù)]?? ”——>“量度可數(shù)的 ?[具備有限可數(shù)測度單位的有窮]?? ”——>“量度收斂的”——>“量度收斂可證明的”，

“無限”與“無窮”的區(qū)別則不那么明顯，無限的心理認(rèn)知本征是“可確知其持續(xù)增長趨勢，但無法確知其全向邊界位置?? [注意：是“全向”邊界位置，即運(yùn)動(dòng)的全部方向范圍，如果是無窮維的運(yùn)動(dòng)，如果其全部方向的邊界位置均可確知，則只能說“無窮”而難以論為“無限”

]?? ”，對(duì)“無窮”的心理認(rèn)知本征則是“無休止”，持“潛無窮”觀念的一派的理據(jù)如下：

將“無窮”概念的對(duì)象鎖定為“序列之最終元素”——>“無窮無以確指”——> “其數(shù)理屬性也不盡穩(wěn)定”——> “無窮是對(duì)象不斷延展的過程，人們習(xí)慣上只是以這一稱謂指代這一過程”（高斯語）——>“無窮不足以成為一個(gè)實(shí)指對(duì)象”，上述的思想實(shí)際上是建立在講無窮置于“靜態(tài)平衡系統(tǒng)”的判決標(biāo)準(zhǔn)視角下來看待的基礎(chǔ)上的。

在康托爾看來則不然，在康托爾的眼中，“體”的根本屬性和存在所需之唯一依據(jù)即是邏輯的相容性，也就是說，無窮本身并不是一個(gè)孤立點(diǎn)值，而是包括有窮以來在內(nèi)的全部延展性（即一個(gè)集合），即無窮被視為“動(dòng)態(tài)平衡體”，“體”的存在恰恰源于其延展性，但這種延展性并不如傳統(tǒng)上認(rèn)為的是一種不可確的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，而是一種可確的迭代循環(huán)之中，這種迭代循環(huán)的可確性應(yīng)該來自于這樣一種思想——“一切延展性本質(zhì)上都是構(gòu)造的作用；任何構(gòu)造均無外乎一種循環(huán)機(jī)制的選擇性作用??[這里所謂的循環(huán)不是指直接表面上的數(shù)值循環(huán)特征，而是指源于實(shí)數(shù)本身的循環(huán)性，構(gòu)造不可能在實(shí)數(shù)以外取得指] ??；”，也就是說，無窮之所以稱為實(shí)無窮，其根本依據(jù)是由于其有可確的序循環(huán)機(jī)制。一切循環(huán)機(jī)制都是以一一對(duì)應(yīng)作為其本征的，由此，無窮的基本外在特征就是一一對(duì)應(yīng)。由此而觀，則任意階的無窮實(shí)際上是由這種序循環(huán)機(jī)制的作用密度差異所導(dǎo)致的。換言之，有窮與無窮之統(tǒng)一，在傳統(tǒng)上認(rèn)為是對(duì)象延展度的差異；而在康托爾則認(rèn)為是序循環(huán)機(jī)制的作用密度差異。但無論序循環(huán)機(jī)制作用密度（即無窮的階）如何，無窮作為一個(gè)“體”，其在邏輯上的實(shí)體存在性是毋庸置疑的。值得注意的是，這里所說的實(shí)體存在性是“邏輯上的”，這與實(shí)際上的直觀印象似乎是不能相容的，這也是何以后來數(shù)學(xué)分裂為三大主義學(xué)派的重要原因。比照獨(dú)角獸的例子（獨(dú)角獸在邏輯上其實(shí)可以存在，但在實(shí)際生物對(duì)象范疇內(nèi)并不存在），我們的解釋可以是這樣的，所謂“存在”是統(tǒng)一的，統(tǒng)一的根源在于空間對(duì)象邏輯的相容性。在忽略絕對(duì)時(shí)間可達(dá)性的邏輯空間內(nèi)，傳統(tǒng)的實(shí)體空間都是以時(shí)間來作為量度的基礎(chǔ)的，時(shí)間不可達(dá)導(dǎo)致了我們認(rèn)為“無窮”等同于“無休止延展”，而時(shí)間的可達(dá) ?[這里所說的時(shí)間，是直線向前發(fā)展的絕對(duì)時(shí)間，實(shí)際上，用空間狀態(tài)量度的時(shí)間是彎曲的，是一種空間狀態(tài)組合的循環(huán)序列，但由于循環(huán)節(jié)非常長而顯示出了直線特性。如果以實(shí)際時(shí)間為參照，則在實(shí)際時(shí)間范圍內(nèi)的任意長時(shí)間均可用時(shí)刻片段序列進(jìn)行，即時(shí)間是絕對(duì)可數(shù)的，無窮對(duì)象的可達(dá)性本身就足以構(gòu)成問題，很可能無窮永遠(yuǎn)不可達(dá)，而只能呈現(xiàn)出以某種有窮增量的循環(huán)式迭代]? 性在本質(zhì)上取決于“可窮性”，但如果我們并不以時(shí)間作為絕對(duì)的參照系，即我們并不立足于時(shí)間為中心來觀察無窮，而是以純粹的集合序列結(jié)構(gòu)為中心來觀察無窮，則無窮是否作為實(shí)體存在完全可以無須以“其終點(diǎn)是否可達(dá)”（等價(jià)的描述即延展是否收斂）或“終點(diǎn)是否可確”（等價(jià)的描述即范圍是否可確）作為判定依據(jù)，從而完全可以獲得作為實(shí)體存在的心理直觀。

傳統(tǒng)上的數(shù)值運(yùn)算之基本量必須為屬性量值，而既然量值也是循環(huán)機(jī)制作用下的特例（即一個(gè)只含1個(gè)數(shù)的集合循環(huán)得到自己），也就是說，康托爾眼中的運(yùn)算法則實(shí)際上完全是一種序映射機(jī)制而并非實(shí)體運(yùn)算，因此無窮自然也可以參與任意的運(yùn)算，只是無窮符號(hào)∞并不代表一個(gè)一致的對(duì)象，而只是一個(gè)類表達(dá)，無窮與自身的任意計(jì)算實(shí)際上都是無窮集合自身全體元素與自身運(yùn)算的結(jié)果，即原始無窮集合到另一個(gè)無窮集合的序映射。

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其次，數(shù)學(xué)進(jìn)一步進(jìn)化為研究邏輯規(guī)律本身的學(xué)科，換言之，邏輯本身也是上帝設(shè)計(jì)的對(duì)象，既然如此，那么和其他形而下的對(duì)象一樣，邏輯本身一定具有上帝心思的支配，為什么邏輯本身就不能像物理系統(tǒng)的組合一樣被任意地剪裁和拼湊呢？如果上帝的心思是自洽的，那么有理由相信，總是存在一種公理假設(shè)可以良好地、盡可能多地歸納當(dāng)前所有的經(jīng)驗(yàn)，而事實(shí)上任意的假設(shè)和組合便總能如物理系統(tǒng)一樣產(chǎn)生其自然的結(jié)果（包括矛盾本身）。

邏輯之邏輯必須重新依賴于針對(duì)邏輯本身的形式化規(guī)則，這就需要對(duì)邏輯本身進(jìn)行形式化運(yùn)算規(guī)則的定義，萊布尼茲曾提出構(gòu)建一種自明邏輯系統(tǒng)的構(gòu)想的偉大構(gòu)想，人們?cè)诔霈F(xiàn)爭議時(shí)僅需通過推演即可得到真確的答案，羅素悖論實(shí)際上是這一工作的真正肇始。由此，康托爾的樸素集合公理體系缺陷才得以修正。由此，函數(shù)邏輯、集合邏輯本身的運(yùn)算獲得了與傳統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)、幾何系統(tǒng)的同態(tài)特征。也就是說，邏輯本身也需要嚴(yán)格化過程。此間產(chǎn)生了三大主義學(xué)派，有必要對(duì)其觀念心理進(jìn)行一一剖析，以識(shí)別三者的內(nèi)在關(guān)系。

[1]邏輯主義：該主義的最大貢獻(xiàn)應(yīng)該是對(duì)形式邏輯規(guī)則系統(tǒng)的構(gòu)建，

[2]形式主義：

[3]直覺主義：

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傳統(tǒng)上認(rèn)為，計(jì)算機(jī)程序是對(duì)數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)方案的執(zhí)行。而一旦數(shù)學(xué)的求解可以找到相對(duì)固定的模式，則采用計(jì)算機(jī)程序來進(jìn)行方案路徑搜索的可能性就具備了。

以幾何證明為例，要搜索一種添加輔助線的合理方案，則需要搜索一種匹配的撮合方案，這種方案一味依靠人力，其效率并無保障，且證明的方案往往缺乏普遍性。物元分析方法其實(shí)是揭示這種探索思維極好的工具。素?cái)?shù)定理的計(jì)算匹配同樣是極其繁重的工作，利用計(jì)算機(jī)可以大大減輕數(shù)學(xué)家的工作負(fù)擔(dān)。

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數(shù)學(xué)研究傳統(tǒng)上存在兩個(gè)問題：

（1）出現(xiàn)了什么問題？問題的解法是什么？

（2）問題的解法是怎么被想到的？

傳統(tǒng)上，前者以問題為中心，采取建構(gòu)主義的思想進(jìn)行推演和敷衍。而后者涉及的探討相對(duì)較少，由于問題本身的發(fā)散性，討論書籍也大多停留在策略層面，難以結(jié)合具體問題，具體的心理邏輯剖析邏輯推演的路徑過程，從而給出一些基于類比和識(shí)別歸納心理的探索思維規(guī)律啟發(fā)。如果以思想為中心，則建構(gòu)主義本身尚不足以，必須賴以解構(gòu)主義的思想進(jìn)行闡釋。

問題解法的思路反演需要貫以一種“自然”的原則引導(dǎo)，即“一切思維都是直觀嵌套作用下的函數(shù)”，也就是說

（1）直觀思維不是簡單的直覺思維，而是直覺引導(dǎo)下的辯證思維，其根本的依據(jù)是同一律、排中律和矛盾律。

（2）直觀思維具備有限的動(dòng)作序列，在遭遇屬性匹配信息不足的情況下，直觀思維有逐級(jí)回退機(jī)制，即退回到原來的前提假設(shè)上進(jìn)行重定向，重定向機(jī)制的方式也是有限可數(shù)的，一般為局部微調(diào)（認(rèn)為當(dāng)前的不足是由于假設(shè)的不合理設(shè)置造成的，微調(diào)的導(dǎo)向是當(dāng)前不匹配的位置）、規(guī)避（認(rèn)為當(dāng)前的不足是假設(shè)的固有缺陷，自該假設(shè)位置開始徹底改變邏輯方法策略），定點(diǎn)深化突破（認(rèn)為當(dāng)前的不足是由于假設(shè)本身的信息透明度不夠，突破的方向是尋求更簡約、更直接的等價(jià)信息或必要特征信息）

（3）廣域高觀點(diǎn)的歸納和抽象實(shí)際上是直觀思維調(diào)整機(jī)制的方式特例，這種思想實(shí)際上往往對(duì)應(yīng)上述的“定點(diǎn)深化突破”，要產(chǎn)生廣域高觀點(diǎn)的重要要素如下：

[1]推廣的領(lǐng)域：一般而言，直接推廣往往對(duì)應(yīng)著維數(shù)的增加，而抽象提煉則對(duì)應(yīng)著新概念系統(tǒng)的提出。

[2]提煉的技術(shù)：即如何確立廣域規(guī)律與狹域規(guī)律之間的橋梁。一般來說，狹域是廣域的特例，但之要將其所以推廣到廣域當(dāng)中，必然是帶有抽象信息增量的期望的。這其中的自由度是“在數(shù)學(xué)分析中，任意的數(shù)學(xué)對(duì)象均可放在一起相互作用以作探究；任意的復(fù)雜數(shù)學(xué)對(duì)象均可試圖將其化解為基本函數(shù)系的線性組合進(jìn)行研究”（這頗有化學(xué)反應(yīng)設(shè)計(jì)中藥品自由組合的味道）。所謂“算子”思想，實(shí)際上是將利用廣域的數(shù)值特性將低領(lǐng)域的關(guān)系簡約化，然后再反演出低領(lǐng)域的問題結(jié)果。

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傳統(tǒng)上認(rèn)為數(shù)學(xué)的研究是精確無誤的，事實(shí)上，無論數(shù)學(xué)的定義還是定理，數(shù)學(xué)公式的總結(jié)，重要數(shù)學(xué)概念的提出都要經(jīng)歷較為漫長的過程（盡管由于理論工具的成熟，這個(gè)周期日趨短暫，但事實(shí)上并不為0，正如無窮小趨于0而不為0一樣），數(shù)學(xué)模型的創(chuàng)建、構(gòu)造往往首先需要樸素的撮合和直觀的想象，即數(shù)學(xué)的研究必須首先兼容優(yōu)化的過程。

在生成一個(gè)新概念或定義的逐次逼近的過程中，首先而較為直觀的辦法就是列舉，這是創(chuàng)建和構(gòu)造初級(jí)階段所需的最基本方法；其次則為條件共性的提煉，定義、概念對(duì)于所列舉的全部分類的共性信息的提煉、歸納、抽象；其次則為附加條件的簡約化，最后是結(jié)論的兼容擴(kuò)展和邊界確定。

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東方數(shù)學(xué)之所以沿襲了與西方完全不同的發(fā)展路徑，從根本上講是思維類型不同所致。體味不同的思維類型，對(duì)于變換思維方式，塑造思維心理素質(zhì)具有重要的啟示意義。傳統(tǒng)上認(rèn)為，東方數(shù)學(xué)思維是算術(shù)思維類型，重在離散性；西方數(shù)學(xué)思維是幾何思維類型，強(qiáng)調(diào)連續(xù)性。這種思維類型斷然不會(huì)是無中生有，而只能是民族生產(chǎn)生活歷史發(fā)展過程中的自然產(chǎn)物。換言之，這種思維類型絕不可能是數(shù)學(xué)發(fā)展的孤立產(chǎn)物，而一定在其他的方面尤其是民族通用常識(shí)方面有所體現(xiàn)。

以英語的語法邏輯為例，句法描述順序從中心到外圍（如疑問句：what can we do? How are you get along withyour study?）、從虛指到實(shí)指（it’s difficult to do……）、構(gòu)詞方式則與漢語造字思維雷同，以現(xiàn)象表達(dá)借代概括涉及此現(xiàn)象為其主體特征之基本義（如take原義為取、拿、攜，進(jìn)而演化并獲得“進(jìn)入……狀態(tài)”的含義），復(fù)以一固定詞綴合于基本義詞之前后（如re-search，ex-change）。由此可見，英語之語法邏輯于幾何思維心理模式有相通之處。也就是說，幾何思維心理實(shí)際上是一種針對(duì)對(duì)象特征組合的觀察、識(shí)別、搭配、搜索、匹配、調(diào)整的方法心理。也就是說，從某種意義上講，幾何心理是針對(duì)一個(gè)事物對(duì)象，旨在確定的某種目的，在既定的某種觀察角度下的一種系統(tǒng)要素匹配組合方案設(shè)計(jì)心理。

河圖洛書是東方算術(shù)思維的最優(yōu)表達(dá)，而且明顯體現(xiàn)出一種自頂向下的統(tǒng)觀思維。從分析的角度上講，東方人認(rèn)為分析之所以具有自由度，并不源于邏輯形式本身的嚴(yán)謹(jǐn)性，而是由于萬象原一的絕對(duì)性，也就是說，“一生二”是對(duì)矛盾歸納的絕對(duì)依據(jù)，“二”泛指一切對(duì)立面；“二生三”是對(duì)矛盾雙方演化過程中衍生能力的絕對(duì)依據(jù)，“三”并非一個(gè)具體量指，而只是運(yùn)動(dòng)衍生對(duì)象之籠統(tǒng)，“三生萬物”則概括了相互作用的普遍性，邏輯的抵牾并非不能存在，而是不能實(shí)在。算術(shù)思維實(shí)際上基于以下邏輯：“可確定的方為可自明”——>“可完整描述的方為可確定的”（可完整描述的主要形式包括列舉、歸納、擬合以及特征模糊組合）——>“可計(jì)算程序化的方為可完整描述的”

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傳統(tǒng)上認(rèn)為數(shù)學(xué)思維的宗旨是嚴(yán)謹(jǐn)和無差，工程思維則是近似和擬合的，隨著上述工程思維向數(shù)學(xué)思維的滲透，精密工程對(duì)數(shù)學(xué)思維的需求也日益旺盛，在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、模式識(shí)別等領(lǐng)域，如計(jì)算機(jī)圖像中距離、面積的測量就需要對(duì)工程算法的基礎(chǔ)上引入進(jìn)一步的抽象歸納，抽象出點(diǎn)、形狀、距離的普遍關(guān)系，在模糊估算的算法中，則需要引入數(shù)學(xué)猜想思維，如何能夠提出并證明一項(xiàng)簡潔的猜想用于模糊估算，是工科所需要解決的課題。

—?THE END —