這次終于徹底理解了傅里葉變換

傅里葉變換是一種在各個(gè)領(lǐng)域都經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)工具。這個(gè)網(wǎng)站將為你介紹傅里葉變換能干什么，為什么傅里葉變換非常有用，以及你如何利用傅里葉變換干漂亮的事。就像下面這樣：

我將為你解釋這個(gè)動(dòng)畫(huà)是如何工作的，沿途為你詳細(xì)地解釋傅里葉變換！

這次旅途結(jié)束后，你將會(huì)掌握下面這些知識(shí)：

• 什么是傅里葉變換
• 傅里葉變換的一些實(shí)際用途
• 傅立葉變換的一些很酷的用法（雖然有些沒(méi)有實(shí)際意義）

我們現(xiàn)在暫時(shí)不提那些復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式。傅里葉背后的數(shù)學(xué)原理十分有趣，但最好還是先從它的實(shí)際應(yīng)用開(kāi)始，以及為什么要使用它。如果你想了解更多，下面提供了一些進(jìn)一步的閱讀建議！

傅里葉變換是什么

簡(jiǎn)而言之，傅里葉變換把一個(gè)輸入信號(hào)分解成一堆正弦波的疊加。就像大多數(shù)數(shù)學(xué)方法一樣，這個(gè)名字來(lái)自一個(gè)名叫傅立葉的人。

讓我們從一些簡(jiǎn)單的例子開(kāi)始，然后繼續(xù)前進(jìn)。首先，我們來(lái)看看什么是波 —— 波隨著時(shí)間的推移，一直按照某一規(guī)律變化。

這是一個(gè)波的例子：

這個(gè)波可以分解為兩個(gè)正弦波的疊加。也就是說(shuō)，當(dāng)我們將兩個(gè)正弦波相加時(shí)，就會(huì)得到原來(lái)的波。

傅里葉變換可以讓我們從一個(gè)復(fù)雜的波形里面，把構(gòu)成這個(gè)波的單個(gè)正弦波分離出來(lái)。在這個(gè)例子中，你幾乎可以通過(guò)“腦補(bǔ)”完成這一操作。

為什么？事實(shí)證明，現(xiàn)實(shí)世界中的許多事物間的互相交互，都是基于正弦波。我們通常將這種波的快慢的性質(zhì)，稱(chēng)為波的頻率。

最明顯的例子就是聲音 —— 當(dāng)我們聽(tīng)到聲音時(shí)，我們聽(tīng)不到那條波浪線(xiàn)，但我們聽(tīng)到構(gòu)成聲音的正弦波的不同頻率。

能夠在計(jì)算機(jī)上區(qū)分這兩個(gè)音調(diào)，我們就可以了解一個(gè)人實(shí)際可以聽(tīng)到的內(nèi)容。我們可以理解聲音的高低，或弄清楚這個(gè)波包含了什么音符。

一些波看起來(lái)不像由正弦波構(gòu)成，我們也可以用這個(gè)分解的過(guò)程來(lái)進(jìn)行分析。

我們來(lái)看看這個(gè)家伙吧。這個(gè)波稱(chēng)為方波。

雖然看起來(lái)不太可能，但它確實(shí)也可以分解成正弦波。

這次我們需要很多 —— 理論上是無(wú)限多的正弦波來(lái)完美地表達(dá)一個(gè)方波。隨著我們加入越來(lái)越多的正弦波，疊加出的波形就越來(lái)越接近方波。

在視覺(jué)上，你會(huì)注意到前幾個(gè)正弦波的疊加可以在結(jié)果中產(chǎn)生最大差異。滑塊滑到一半時(shí)，就有一些方波的樣子了，但它看起來(lái)?yè)u擺不定。加上更多小的正弦波，組合出的波形看起來(lái)就平坦了。

當(dāng)播放這個(gè)波形時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)使用的正弦波少時(shí)，聲音聽(tīng)起來(lái)更低沉一些。這是因?yàn)槲覀儼迅哳l率的成分去掉了。

這一過(guò)程可以用來(lái)處理任何有周期的波。試一試，畫(huà)一個(gè)你喜歡的波形吧。

隨便畫(huà)一個(gè)波形都能用多個(gè)正弦波表示

移動(dòng)滑塊來(lái)觀(guān)察，正弦波加得越多，組合出的波形越接近你畫(huà)的原始波形。

和上一個(gè)方波類(lèi)似，除了有些額外的擺動(dòng)之外，滑塊移動(dòng)到中間位置，生成的波形就很接近你畫(huà)的了。

我們可以利用這個(gè)事實(shí)：使用傅里葉變換，我們可以把音頻中最重要的成分表達(dá)出來(lái)，并且得到和原始聲音非常接近的波形。

在計(jì)算機(jī)中，波形以一系列數(shù)據(jù)點(diǎn)的形式來(lái)存儲(chǔ)。

我們可以做的是，將聲音表示為一堆正弦波。然后可以通過(guò)忽略掉較小幅度的高頻成分來(lái)壓縮聲音。盡管得出的波形與原始波形不一樣，但是聽(tīng)起來(lái)將會(huì)和原始聲音很接近。

這基本上就是MP3做的事情。MP3除此之外還可以更聰明地知道需要保留哪些頻率以及扔掉哪些頻率。

所以在這種情況下，我們可以使用傅里葉變換來(lái)理解波的基本屬性，然后我們可以將它用于數(shù)據(jù)的壓縮之類(lèi)的事情。

好的，現(xiàn)在讓我們深入了解傅立葉變換。下一部分看起來(lái)很酷，也讓你更加了解傅立葉變換的作用。但大多只是“看起來(lái)”很酷。

周轉(zhuǎn)圓

在開(kāi)始時(shí)，我介紹了傅里葉變換可以將事物分成正弦波。但更酷的是，它產(chǎn)生的正弦波不僅僅是一般的正弦波，它們都是“三維”的正弦波。你可以稱(chēng)之為“復(fù)雜的”正弦曲線(xiàn)，或者，“螺旋”。

如果我們從側(cè)面看，它們看起來(lái)像正弦波。但是，從正面看，它們看起來(lái)像圓圈。

到目前為止，我們所做的一切只需要常規(guī)的2D正弦波。當(dāng)我們對(duì)2D波進(jìn)行傅里葉變換時(shí)，“復(fù)雜的”部分被忽略了，所以我們最終也只能得到正弦波。

但是我們可以使用3D正弦波來(lái)制作看起來(lái)很有趣的東西，就像這個(gè)：

這里發(fā)生了什么事情呢？

我們可以將一個(gè)手繪圖理解為一個(gè)3D的形狀，因?yàn)辄c(diǎn)的位置在隨時(shí)間移動(dòng)。如果你想象一個(gè)人正在繪制一只手，那么這三個(gè)維度就代表了某一時(shí)刻鉛筆尖的位置。除了x和y維度告訴我們筆尖的位置，還有一個(gè)時(shí)間維度。

現(xiàn)在我們有一個(gè)3D的形狀，我們不能使用常規(guī)2D正弦波把它表示出來(lái)。無(wú)論我們添加多少2D正弦波，我們都永遠(yuǎn)不會(huì)得到3D。所以我們需要些別的東西。

我們可以使用的是之前的3D螺旋正弦波。如果我們添加很多這些螺旋，得到的東西就看起來(lái)像我們的3D形狀。

請(qǐng)記住，當(dāng)我們從前面看它們時(shí)，這些波浪看起來(lái)像圓圈。圍繞另一個(gè)圓圈移動(dòng)的圓圈圖案，被稱(chēng)為“周轉(zhuǎn)圓”。

像以前一樣，我們只用幾個(gè)圓圈就可以很好地近似表達(dá)出原始圖案。因?yàn)檫@是一個(gè)相當(dāng)簡(jiǎn)單的形狀，所有后面添加的小圓都是使邊緣更加銳利。

這些適用于任何一個(gè)圖案。真的，現(xiàn)在你創(chuàng)作的機(jī)會(huì)來(lái)了。

同樣，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于大多數(shù)形狀，我們可以用很少的圓圈很好地近似表達(dá)它們，要保存一個(gè)形狀，我們不必保存形狀上所有的點(diǎn)。

這個(gè)方法可以應(yīng)用于實(shí)際數(shù)據(jù)嗎？答案是可以！實(shí)際上，我們有另一種稱(chēng)為SVG的數(shù)據(jù)格式，比我們?cè)谶@里繪制圖案更好用一些。所以目前，我們只是制作了些炫酷的小GIF。

然而，還有另一種類(lèi)型的視覺(jué)數(shù)據(jù)使用傅里葉變換。

JPEGs

你知道傅立葉變換除了可以表達(dá)簡(jiǎn)單的手繪線(xiàn)條，還可以用于圖像嗎？事實(shí)上，我們一直都在使用它，因?yàn)檫@就是JPEG的工作原理！我們將相同的原理應(yīng)用于圖像 —— 將某些東西分成一堆正弦波，然后只存儲(chǔ)重要的東西。

要處理圖像，我們需要一種不同類(lèi)型的正弦波。我們需要這樣的一種“正弦波”：無(wú)論我們有什么樣的圖像，我們都可以添加一堆這些正弦波來(lái)回到原始圖像。

要做到這一點(diǎn)，我們使用的每個(gè)正弦波也將是一個(gè)個(gè)小圖像。我們現(xiàn)在使用一些黑白條紋的小圖像，這些更可以表達(dá)為“線(xiàn)”，而不是波。為了表示“波”的大小，每個(gè)圖像將具有或多或少的明暗對(duì)比。

我們也可以以類(lèi)似的方式表示出顏色，但我們先從灰度圖像開(kāi)始玩。為了表示灰度圖像，我們需要一些水平的波圖案，

還有一些垂直的波圖案。

就其本身而言，只有水平和垂直圖像還不足以表達(dá)出我們可以看到的圖像。我們還需要一些額外的圖案，將兩者相乘。

要得到一個(gè)8x8分辨率的圖像，這里是我們需要的所有小圖案。

如果我們把這些小圖案的對(duì)比度調(diào)整到適當(dāng)?shù)闹担缓髮⑺鼈兿嗉樱覀兙涂梢缘贸鋈我鈭D像。

讓我們從一個(gè)字母"A"開(kāi)始。它非常小，但我們需要它很小，否則我們最終會(huì)得到太多其他的圖像。

隨著我們添加越來(lái)越多的這些圖案，我們最終得到的東西越來(lái)越接近實(shí)際圖像。我覺(jué)得你只要添加很少一部分圖案，就能看出字母“A”的樣子來(lái)。

對(duì)于實(shí)際的JPEG圖像來(lái)說(shuō)，這就是基本原理，剩下的只有一些額外的細(xì)節(jié)。

圖像被分解為8x8塊，每個(gè)塊分別進(jìn)行分解。我們使用一組頻率來(lái)確定每個(gè)像素的亮度或暗度，然后是另外兩組用于顏色，一組用于紅綠色，另一組用于藍(lán)黃色。我們?yōu)槊總€(gè)塊使用的頻率個(gè)數(shù)決定了JPEG圖像的品質(zhì)。

這是一個(gè)實(shí)際的JPEG圖像，放大后我們可以看到細(xì)節(jié)。當(dāng)我們改變JPEG品質(zhì)水平時(shí)，可以觀(guān)察出畫(huà)質(zhì)的區(qū)別。

總結(jié)

讓我們回顧一下：

• 傅里葉變換讓我們輸入一個(gè)事物，并將其分解為不同頻率的成分
• 頻率告訴我們有關(guān)數(shù)據(jù)的一些基本屬性
• 并且可以通過(guò)僅存儲(chǔ)重要的成分來(lái)壓縮數(shù)據(jù)
• 我們還可以用傅里葉變換的原理，通過(guò)一堆圓圈制作看起來(lái)很酷的動(dòng)畫(huà)

這只是表面上的一些淺層次應(yīng)用。傅里葉變換是一個(gè)非常強(qiáng)大的工具，因?yàn)閷⑹挛锓纸獬刹煌l率是十分重要的分析方法。它們被用于許多領(lǐng)域，包括電路設(shè)計(jì)，移動(dòng)網(wǎng)絡(luò)信號(hào)，磁共振成像（MRI）和量子物理！

原文鏈接：https://github.com/Jezzamonn/fourier
譯者：virtualwiz
編輯：公眾號(hào)『數(shù)據(jù)STUDIO』