【機(jī)器學(xué)習(xí)基礎(chǔ)】數(shù)學(xué)推導(dǎo)+純Python實(shí)現(xiàn)機(jī)器學(xué)習(xí)算法10：線性不可分支持向量機(jī)
點(diǎn)擊上方“小白學(xué)視覺”，選擇加"星標(biāo)"或“置頂”
重磅干貨，第一時(shí)間送達(dá)
本節(jié)筆者和大家討論支持向量機(jī)的最后一種情況——非線性支持向量機(jī)。前面兩節(jié)我們探討了數(shù)據(jù)樣例是完全線性可分情況和近似線性可分情況下的支持向量機(jī)模型。但線性可分情況并非總?cè)缛嗽?，大多?shù)時(shí)候我們遇到的都是非線性情況。
所謂非線性可分問題，就是對于給定數(shù)據(jù)集，如果能用一個(gè)超曲面將正負(fù)實(shí)例正確分開，則這個(gè)問題為非線性可分問題。非線性問題的一個(gè)關(guān)鍵在于將原始數(shù)據(jù)空間轉(zhuǎn)換到一個(gè)新的數(shù)據(jù)空間，在原始空間中的非線性可分問題到新空間就是是線性可分問題。
一般來說，用線性可分方法來解決非線性可分問題可分為兩步：首先用一個(gè)變換將原始空間的數(shù)據(jù)映射到新空間，再在新空間中用線性分類學(xué)習(xí)方法訓(xùn)練分類模型。這種將原始空間轉(zhuǎn)換到新空間的方法稱為核技巧(kernel trick)。
假設(shè)存在一個(gè)從輸入空間到特征空間的映射，使得所有的x和z都有函數(shù)K(x,z)=&(x).&(z)，則稱K(x,z)為核函數(shù)。在實(shí)際問題中，通常直接給定核函數(shù)的形式，然后進(jìn)行求解。核函數(shù)的選擇通常依賴于領(lǐng)域知識，最后由實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證其有效性。常用的核函數(shù)包括多項(xiàng)式核函數(shù)、高斯核函數(shù)以及sigmoid核函數(shù)等，核函數(shù)更多細(xì)節(jié)問題可參考統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法。
基于核函數(shù)的非線性支持向量機(jī)對偶優(yōu)化問題如下：
當(dāng)核函數(shù)為正定核的時(shí)候，上述優(yōu)化問題為凸優(yōu)化問題，是可以直接進(jìn)行求解的。可求得最優(yōu)解：
計(jì)算w如下：
最后可構(gòu)造分類決策函數(shù)：
雖然凸優(yōu)化問題可以直接求解，但當(dāng)數(shù)據(jù)量很大時(shí)，直接求解將會非常低效，這時(shí)候可能需要一些高效的訓(xùn)練算法，比如說SMO(序列最小最優(yōu)化)算法。關(guān)于SMO算法的內(nèi)容這里不展開敘述，可參考統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法了解更多內(nèi)容。
下面來看基于cvxopt的非線性支持向量機(jī)快速實(shí)現(xiàn)方法。
導(dǎo)入相關(guān)package：
import numpy as npfrom numpy import linalgimport cvxoptimport cvxopt.solversimport pylab as pl
定義多項(xiàng)式核函數(shù)如下：
def polynomial_kernel(x, y, p=3):return (1 + np.dot(x, y)) ** p
生成示例數(shù)據(jù)：
def gen_non_lin_separable_data():mean1 = [-1, 2]mean2 = [1, -1]mean3 = [4, -4]mean4 = [-4, 4]cov = [[1.0, 0.8], [0.8, 1.0]]X1 = np.random.multivariate_normal(mean1, cov, 50)X1 = np.vstack((X1, np.random.multivariate_normal(mean3, cov, 50)))y1 = np.ones(len(X1))X2 = np.random.multivariate_normal(mean2, cov, 50)X2 = np.vstack((X2, np.random.multivariate_normal(mean4, cov, 50)))y2 = np.ones(len(X2)) * -1return X1, y1, X2, y2
然后是構(gòu)建非線性支持向量機(jī)模型，完整版代碼如下：
import numpy as npfrom numpy import linalgimport cvxoptimport cvxopt.solversdef polynomial_kernel(x, y, p=3):return (1 + np.dot(x, y)) ** pclass nolinear_svm(object):def __init__(self, kernel=linear_kernel, C=None):self.kernel = kernelself.C = Cif self.C is not None: self.C = float(self.C)def fit(self, X, y):n_samples, n_features = X.shape# Gram 矩陣K = np.zeros((n_samples, n_samples))for i in range(n_samples):for j in range(n_samples):K[i, j] = self.kernel(X[i], X[j])P = cvxopt.matrix(np.outer(y, y) * K)q = cvxopt.matrix(np.ones(n_samples) * -1)A = cvxopt.matrix(y, (1, n_samples))b = cvxopt.matrix(0.0)if self.C is None:G = cvxopt.matrix(np.diag(np.ones(n_samples) * -1))h = cvxopt.matrix(np.zeros(n_samples))else:tmp1 = np.diag(np.ones(n_samples) * -1)tmp2 = np.identity(n_samples)G = cvxopt.matrix(np.vstack((tmp1, tmp2)))tmp1 = np.zeros(n_samples)tmp2 = np.ones(n_samples) * self.Ch = cvxopt.matrix(np.hstack((tmp1, tmp2)))# 求解二次規(guī)劃solution = cvxopt.solvers.qp(P, q, G, h, A, b)# 獲得拉格朗日乘子a = np.ravel(solution['x'])# 非零拉格朗日乘子的支持向量sv = a > 1e-5ind = np.arange(len(a))[sv]self.a = a[sv]self.sv = X[sv]self.sv_y = y[sv]print("%d support vectors out of %d points" % (len(self.a), n_samples))# 截距項(xiàng)self.b = 0for n in range(len(self.a)):self.b += self.sv_y[n]self.b -= np.sum(self.a * self.sv_y * K[ind[n], sv])self.b /= len(self.a)# 權(quán)重參數(shù)向量if self.kernel == linear_kernel:self.w = np.zeros(n_features)for n in range(len(self.a)):self.w += self.a[n] * self.sv_y[n] * self.sv[n]else:self.w = None# 預(yù)測函數(shù)def project(self, X):if self.w is not None:return np.dot(X, self.w) + self.belse:y_predict = np.zeros(len(X))for i in range(len(X)):s = 0for a, sv_y, sv in zip(self.a, self.sv_y, self.sv):s += a * sv_y * self.kernel(X[i], sv)y_predict[i] = sreturn y_predict + self.bdef predict(self, X):return np.sign(self.project(X))if __name__ == "__main__":def gen_non_lin_separable_data():mean1 = [-1, 2]mean2 = [1, -1]mean3 = [4, -4]mean4 = [-4, 4]cov = [[1.0, 0.8], [0.8, 1.0]]X1 = np.random.multivariate_normal(mean1, cov, 50)X1 = np.vstack((X1, np.random.multivariate_normal(mean3, cov, 50)))y1 = np.ones(len(X1))X2 = np.random.multivariate_normal(mean2, cov, 50)X2 = np.vstack((X2, np.random.multivariate_normal(mean4, cov, 50)))y2 = np.ones(len(X2)) * -1return X1, y1, X2, y2def split_train(X1, y1, X2, y2):X1_train = X1[:90]y1_train = y1[:90]X2_train = X2[:90]y2_train = y2[:90]X_train = np.vstack((X1_train, X2_train))y_train = np.hstack((y1_train, y2_train))return X_train, y_traindef split_test(X1, y1, X2, y2):X1_test = X1[90:]y1_test = y1[90:]X2_test = X2[90:]y2_test = y2[90:]X_test = np.vstack((X1_test, X2_test))y_test = np.hstack((y1_test, y2_test))return X_test, y_testdef plot_margin(X1_train, X2_train, clf):def f(x, w, b, c=0):return (-w[0] * x - b + c) / w[1]pl.plot(X1_train[:, 0], X1_train[:, 1], "ro")pl.plot(X2_train[:, 0], X2_train[:, 1], "bo")pl.scatter(clf.sv[:, 0], clf.sv[:, 1], s=100, c="g")# w.x + b = 0a0 = -4;a1 = f(a0, clf.w, clf.b)b0 = 4;b1 = f(b0, clf.w, clf.b)pl.plot([a0, b0], [a1, b1], "k")# w.x + b = 1a0 = -4;a1 = f(a0, clf.w, clf.b, 1)b0 = 4;b1 = f(b0, clf.w, clf.b, 1)pl.plot([a0, b0], [a1, b1], "k--")# w.x + b = -1a0 = -4;a1 = f(a0, clf.w, clf.b, -1)b0 = 4;b1 = f(b0, clf.w, clf.b, -1)pl.plot([a0, b0], [a1, b1], "k--")pl.axis("tight")pl.show()def plot_contour(X1_train, X2_train, clf):pl.plot(X1_train[:, 0], X1_train[:, 1], "ro")pl.plot(X2_train[:, 0], X2_train[:, 1], "bo")pl.scatter(clf.sv[:, 0], clf.sv[:, 1], s=100, c="g")X1, X2 = np.meshgrid(np.linspace(-6, 6, 50), np.linspace(-6, 6, 50))X = np.array([[x1, x2] for x1, x2 in zip(np.ravel(X1), np.ravel(X2))])Z = clf.project(X).reshape(X1.shape)pl.contour(X1, X2, Z, [0.0], colors='k', linewidths=1, origin='lower')pl.contour(X1, X2, Z + 1, [0.0], colors='grey', linewidths=1, origin='lower')pl.contour(X1, X2, Z - 1, [0.0], colors='grey', linewidths=1, origin='lower')pl.axis("tight")pl.show()def test_non_linear():X1, y1, X2, y2 = gen_non_lin_separable_data()X_train, y_train = split_train(X1, y1, X2, y2)X_test, y_test = split_test(X1, y1, X2, y2)clf = nolinear_svm(polynomial_kernel)clf.fit(X_train, y_train)y_predict = clf.predict(X_test)correct = np.sum(y_predict == y_test)print("%d out of %d predictions correct" % (correct, len(y_predict)))plot_contour(X_train[y_train == 1], X_train[y_train == -1], clf)test_non_linear()
基于多項(xiàng)式核函數(shù)的非線性支持向量機(jī)分類效果如下：
以上就是本節(jié)內(nèi)容，關(guān)于支持向量機(jī)的部分內(nèi)容，筆者就簡單寫到這里，下一講我們來看看樸素貝葉斯算法。完整代碼文件和數(shù)據(jù)可參考筆者GitHub地址：
https://github.com/luwill/machine-learning-code-writing
好消息！
小白學(xué)視覺知識星球
開始面向外開放啦??????
下載1：OpenCV-Contrib擴(kuò)展模塊中文版教程 在「小白學(xué)視覺」公眾號后臺回復(fù)：擴(kuò)展模塊中文教程，即可下載全網(wǎng)第一份OpenCV擴(kuò)展模塊教程中文版，涵蓋擴(kuò)展模塊安裝、SFM算法、立體視覺、目標(biāo)跟蹤、生物視覺、超分辨率處理等二十多章內(nèi)容。 下載2：Python視覺實(shí)戰(zhàn)項(xiàng)目52講 在「小白學(xué)視覺」公眾號后臺回復(fù)：Python視覺實(shí)戰(zhàn)項(xiàng)目，即可下載包括圖像分割、口罩檢測、車道線檢測、車輛計(jì)數(shù)、添加眼線、車牌識別、字符識別、情緒檢測、文本內(nèi)容提取、面部識別等31個(gè)視覺實(shí)戰(zhàn)項(xiàng)目，助力快速學(xué)校計(jì)算機(jī)視覺。 下載3：OpenCV實(shí)戰(zhàn)項(xiàng)目20講 在「小白學(xué)視覺」公眾號后臺回復(fù)：OpenCV實(shí)戰(zhàn)項(xiàng)目20講，即可下載含有20個(gè)基于OpenCV實(shí)現(xiàn)20個(gè)實(shí)戰(zhàn)項(xiàng)目，實(shí)現(xiàn)OpenCV學(xué)習(xí)進(jìn)階。 交流群
歡迎加入公眾號讀者群一起和同行交流，目前有SLAM、三維視覺、傳感器、自動駕駛、計(jì)算攝影、檢測、分割、識別、醫(yī)學(xué)影像、GAN、算法競賽等微信群（以后會逐漸細(xì)分），請掃描下面微信號加群，備注：”昵稱+學(xué)校/公司+研究方向“，例如：”張三 + 上海交大 + 視覺SLAM“。請按照格式備注，否則不予通過。添加成功后會根據(jù)研究方向邀請進(jìn)入相關(guān)微信群。請勿在群內(nèi)發(fā)送廣告，否則會請出群，謝謝理解~