如何通俗易懂地解釋卷積？

對卷積的困惑

卷積這個概念，很早以前就學(xué)過，但是一直沒有搞懂。教科書上通常會給出定義，給出很多性質(zhì)，也會用實例和圖形進(jìn)行解釋，但究竟為什么要這么設(shè)計，這么計算，背后的意義是什么，往往語焉不詳。作為一個學(xué)物理出身的人，一個公式倘若倘若給不出結(jié)合實際的直觀的通俗的解釋（也就是背后的“物理”意義），就覺得少了點什么，覺得不是真的懂了。

教科書上一般定義函數(shù) f, g?的卷積 f * g(n)?如下：

連續(xù)形式：

離散形式：

并且也解釋了，先對g函數(shù)進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，相當(dāng)于在數(shù)軸上把g函數(shù)從右邊褶到左邊去，也就是卷積的“卷”的由來。

然后再把g函數(shù)平移到n，在這個位置對兩個函數(shù)的對應(yīng)點相乘，然后相加，這個過程是卷積的“積”的過程。

這個只是從計算的方式上對公式進(jìn)行了解釋，從數(shù)學(xué)上講無可挑剔，但進(jìn)一步追問，為什么要先翻轉(zhuǎn)再平移，這么設(shè)計有何用意？還是有點費解。

在知乎，已經(jīng)很多的熱心網(wǎng)友對卷積舉了很多形象的例子進(jìn)行了解釋，如卷地毯、丟骰子、打耳光、存錢等等。讀完覺得非常生動有趣，但過細(xì)想想，還是感覺有些地方還是沒解釋清楚，甚至可能還有瑕疵，或者還可以改進(jìn)（這些后面我會做一些分析）。

帶著問題想了兩個晚上，終于覺得有些問題想通了，所以就寫出來跟網(wǎng)友分享，共同學(xué)習(xí)提高。不對的地方歡迎評論拍磚。。。

明確一下，這篇文章主要想解釋兩個問題：

1. 卷積這個名詞是怎么解釋？“卷”是什么意思？“積”又是什么意思？

2. 卷積背后的意義是什么，該如何解釋？

考慮的應(yīng)用場景

為了更好地理解這些問題，我們先給出兩個典型的應(yīng)用場景：

1. 信號分析

一個輸入信號f(t)，經(jīng)過一個線性系統(tǒng)（其特征可以用單位沖擊響應(yīng)函數(shù)g(t)描述）以后，輸出信號應(yīng)該是什么？實際上通過卷積運算就可以得到輸出信號。

2. 圖像處理

輸入一幅圖像f(x,y)，經(jīng)過特定設(shè)計的卷積核g(x,y)進(jìn)行卷積處理以后，輸出圖像將會得到模糊，邊緣強化等各種效果。

對卷積的理解

對卷積這個名詞的理解：所謂兩個函數(shù)的卷積，本質(zhì)上就是先將一個函數(shù)翻轉(zhuǎn)，然后進(jìn)行滑動疊加。

在連續(xù)情況下，疊加指的是對兩個函數(shù)的乘積求積分，在離散情況下就是加權(quán)求和，為簡單起見就統(tǒng)一稱為疊加。

整體看來是這么個過程：

翻轉(zhuǎn)——>滑動——>疊加——>滑動——>疊加——>滑動——>疊加.....

多次滑動得到的一系列疊加值，構(gòu)成了卷積函數(shù)。

卷積的“卷”，指的的函數(shù)的翻轉(zhuǎn)，從 g(t) 變成 g(-t) 的這個過程；同時，“卷”還有滑動的意味在里面（吸取了網(wǎng)友李文清的建議）。如果把卷積翻譯為“褶積”，那么這個“褶”字就只有翻轉(zhuǎn)的含義了。

卷積的“積”，指的是積分/加權(quán)求和。

有些文章只強調(diào)滑動疊加求和，而沒有說函數(shù)的翻轉(zhuǎn)，我覺得是不全面的；有的文章對“卷”的理解其實是“積”，我覺得是張冠李戴。

對卷積的意義的理解：

1. 從“積”的過程可以看到，我們得到的疊加值，是個全局的概念。以信號分析為例，卷積的結(jié)果是不僅跟當(dāng)前時刻輸入信號的響應(yīng)值有關(guān)，也跟過去所有時刻輸入信號的響應(yīng)都有關(guān)系，考慮了對過去的所有輸入的效果的累積。在圖像處理的中，卷積處理的結(jié)果，其實就是把每個像素周邊的，甚至是整個圖像的像素都考慮進(jìn)來，對當(dāng)前像素進(jìn)行某種加權(quán)處理。所以說，“積”是全局概念，或者說是一種“混合”，把兩個函數(shù)在時間或者空間上進(jìn)行混合。

2. 那為什么要進(jìn)行“卷”？直接相乘不好嗎？我的理解，進(jìn)行“卷”（翻轉(zhuǎn)）的目的其實是施加一種約束，它指定了在“積”的時候以什么為參照。在信號分析的場景，它指定了在哪個特定時間點的前后進(jìn)行“積”，在空間分析的場景，它指定了在哪個位置的周邊進(jìn)行累積處理。

舉例說明

下面舉幾個例子說明為什么要翻轉(zhuǎn)，以及疊加求和的意義。

例1：信號分析

如下圖所示，輸入信號是 f(t) ，是隨時間變化的。系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)是 g(t) ，圖中的響應(yīng)函數(shù)是隨時間指數(shù)下降的，它的物理意義是說：如果在 t=0 的時刻有一個輸入，那么隨著時間的流逝，這個輸入將不斷衰減。換言之，到了 t=T時刻，原來在 t=0 時刻的輸入f(0)的值將衰減為f(0)g(T)。

考慮到信號是連續(xù)輸入的，也就是說，每個時刻都有新的信號進(jìn)來，所以，最終輸出的是所有之前輸入信號的累積效果。如下圖所示，在T=10時刻，輸出結(jié)果跟圖中帶標(biāo)記的區(qū)域整體有關(guān)。其中，f(10)因為是剛輸入的，所以其輸出結(jié)果應(yīng)該是f(10)g(0)，而時刻t=9的輸入f(9)，只經(jīng)過了1個時間單位的衰減，所以產(chǎn)生的輸出應(yīng)該是 f(9)g(1)，如此類推，即圖中虛線所描述的關(guān)系。這些對應(yīng)點相乘然后累加，就是T=10時刻的輸出信號值，這個結(jié)果也是f和g兩個函數(shù)在T=10時刻的卷積值。

顯然，上面的對應(yīng)關(guān)系看上去比較難看，是擰著的，所以，我們把g函數(shù)對折一下，變成了g(-t)，這樣就好看一些了。看到了嗎？這就是為什么卷積要“卷”，要翻轉(zhuǎn)的原因，這是從它的物理意義中給出的。

上圖雖然沒有擰著，已經(jīng)順過來了，但看上去還有點錯位，所以再進(jìn)一步平移T個單位，就是下圖。它就是本文開始給出的卷積定義的一種圖形的表述：

所以，在以上計算T時刻的卷積時，要維持的約束就是：t+ (T-t) = T ?。這種約束的意義，大家可以自己體會。

例2：丟骰子

在本問題?如何通俗易懂地解釋卷積？中排名第一的馬同學(xué)在中舉了一個很好的例子（下面的一些圖摘自馬同學(xué)的文章，在此表示感謝），用丟骰子說明了卷積的應(yīng)用。

要解決的問題是：有兩枚骰子，把它們都拋出去，兩枚骰子點數(shù)加起來為4的概率是多少?

分析一下，兩枚骰子點數(shù)加起來為4的情況有三種情況：1+3=4， 2+2=4, 3+1=4

因此，兩枚骰子點數(shù)加起來為4的概率為：

寫成卷積的方式就是：

在這里我想進(jìn)一步用上面的翻轉(zhuǎn)滑動疊加的邏輯進(jìn)行解釋。

首先，因為兩個骰子的點數(shù)和是4，為了滿足這個約束條件，我們還是把函數(shù) g 翻轉(zhuǎn)一下，然后陰影區(qū)域上下對應(yīng)的數(shù)相乘，然后累加，相當(dāng)于求自變量為4的卷積值，如下圖所示：

進(jìn)一步，如此翻轉(zhuǎn)以后，可以方便地進(jìn)行推廣去求兩個骰子點數(shù)和為 n 時的概率，為f 和 g的卷積 f*g(n)，如下圖所示：

由上圖可以看到，函數(shù) g 的滑動，帶來的是點數(shù)和的增大。這個例子中對f和g的約束條件就是點數(shù)和，它也是卷積函數(shù)的自變量。有興趣還可以算算，如果骰子的每個點數(shù)出現(xiàn)的概率是均等的，那么兩個骰子的點數(shù)和n=7的時候，概率最大。

例3：圖像處理

還是引用知乎問題 如何通俗易懂地解釋卷積？中馬同學(xué)的例子。圖像可以表示為矩陣形式（下圖摘自馬同學(xué)的文章）：

對圖像的處理函數(shù)（如平滑，或者邊緣提取），也可以用一個g矩陣來表示，如：

注意，我們在處理平面空間的問題，已經(jīng)是二維函數(shù)了，相當(dāng)于：

那么函數(shù)f和g的在（u，v）處的卷積該如何計算呢？

首先我們在原始圖像矩陣中取出（u,v）處的矩陣：

然后將圖像處理矩陣翻轉(zhuǎn)（這個翻轉(zhuǎn)有點意思，不是延x軸和y軸兩個方向翻轉(zhuǎn)，而是沿右上到左下的對角線翻轉(zhuǎn)，這是為了湊后面的內(nèi)積公式。），如下：

可對比下圖：

計算卷積時，就可以用和的內(nèi)積：

請注意，以上公式有一個特點，做乘法的兩個對應(yīng)變量a,b的下標(biāo)之和都是（u,v），其目的是對這種加權(quán)求和進(jìn)行一種約束。這也是為什么要將矩陣g進(jìn)行翻轉(zhuǎn)的原因。以上矩陣下標(biāo)之所以那么寫，并且進(jìn)行了翻轉(zhuǎn)，是為了讓大家更清楚地看到跟卷積的關(guān)系。這樣做的好處是便于推廣，也便于理解其物理意義。實際在計算的時候，都是用翻轉(zhuǎn)以后的矩陣，直接求矩陣內(nèi)積就可以了。

以上計算的是（u,v）處的卷積，延x軸或者y軸滑動，就可以求出圖像中各個位置的卷積，其輸出結(jié)果是處理以后的圖像（即經(jīng)過平滑、邊緣提取等各種處理的圖像）。

再深入思考一下，在算圖像卷積的時候，我們是直接在原始圖像矩陣中取了（u,v）處的矩陣，為什么要取這個位置的矩陣，本質(zhì)上其實是為了滿足以上的約束。因為我們要算（u，v）處的卷積，而g矩陣是3x3的矩陣，要滿足下標(biāo)跟這個3x3矩陣的和是（u,v），只能是取原始圖像中以（u，v）為中心的這個3x3矩陣，即圖中的陰影區(qū)域的矩陣。

推而廣之，如果如果g矩陣不是3x3，而是6x6，那我們就要在原始圖像中取以（u，v）為中心的6x6矩陣進(jìn)行計算。由此可見，這種卷積就是把原始圖像中的相鄰像素都考慮進(jìn)來，進(jìn)行混合。相鄰的區(qū)域范圍取決于g矩陣的維度，維度越大，涉及的周邊像素越多。而矩陣的設(shè)計，則決定了這種混合輸出的圖像跟原始圖像比，究竟是模糊了，還是更銳利了。

比如說，如下圖像處理矩陣將使得圖像變得更為平滑，顯得更模糊，因為它聯(lián)合周邊像素進(jìn)行了平均處理：

而如下圖像處理矩陣將使得像素值變化明顯的地方更為明顯，強化邊緣，而變化平緩的地方?jīng)]有影響，達(dá)到提取邊緣的目的：

對一些解釋的不同意見

上面一些對卷積的形象解釋，如知乎問題?卷積為什么叫「卷」積？中荊哲以及問題 如何通俗易懂地解釋卷積？中馬同學(xué)等人提出的如下比喻：

其實圖中“卷”的方向，是沿該方向進(jìn)行積分求和的方向，并無翻轉(zhuǎn)之意。因此，這種解釋，并沒有完整描述卷積的含義，對“卷”的理解值得商榷。