傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z 變換的聯(lián)系是什么？為什么要進(jìn)行這些變換？

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作者丨DBinary@知乎

來(lái)源丨h(huán)ttps://www.zhihu.com/question/22085329/answer/774074211

編輯丨極市平臺(tái)

極市導(dǎo)讀

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本文從最基礎(chǔ)的三角函數(shù)開始，使用通俗易懂的語(yǔ)言，清楚地解釋了復(fù)雜的傅立葉變換、拉普拉斯變換和Z變換的原理和作用。

作為一個(gè)資深信號(hào)狗,必須強(qiáng)答一波這個(gè)問(wèn)題,想當(dāng)年也是被一堆變換公式折磨的要死要活的,多年過(guò)去了,用的多了發(fā)現(xiàn)也就是那么回事,盡管其內(nèi)部的數(shù)學(xué)推論是復(fù)雜的(其實(shí)也就那樣),但真的要說(shuō),仍然可以用最簡(jiǎn)單的幾句話和最通俗易懂的語(yǔ)言把它的原理和作用講清楚。

既然要講,我就從最基礎(chǔ)的東西開始說(shuō)一說(shuō),首先我們先來(lái)認(rèn)識(shí)下三角函數(shù),要說(shuō)三角函數(shù)這個(gè)東西,我們首先要來(lái)說(shuō)說(shuō)弧度,什么是弧度呢,你可以在紙上畫一個(gè)圓,選取圓的一段邊,邊長(zhǎng)和這個(gè)圓半徑的比值,就是該邊與圓心對(duì)應(yīng)夾角的弧度,不好理解是不是,沒(méi)關(guān)系,看個(gè)圖你就懂了。

弧度的單位是rad,你會(huì)發(fā)現(xiàn),所有的圓邊長(zhǎng)和半徑的比值都是2πRad,而π是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)的常數(shù),它約等于3.1415926,可以發(fā)現(xiàn)弧度和角度是一個(gè)對(duì)應(yīng)的關(guān)系,如果按角度制而言繞圓一周是360°,弧度制而言,就是2π了

現(xiàn)在,我們引入另一個(gè)在信號(hào)處理中極為極為極為重要的一個(gè)函數(shù),三角函數(shù),之所以叫做三角函數(shù),是因?yàn)樗挠?jì)算方式和直角三角密切相關(guān)

三角函數(shù)又常常叫正弦函數(shù)常用的主要有sin和cos兩種,在高中的書本上,常常叫它們正弦函數(shù)和余弦函數(shù),但實(shí)際在使用中,不管是sin還是cos都常常被統(tǒng)稱為正弦函數(shù),看上面的直角三角形, 以sin函數(shù)為例,關(guān)于這個(gè)函數(shù)的求法,可以用下面的公式來(lái)表述

也就是說(shuō)sin角a的值,等于其對(duì)應(yīng)直角三角形的對(duì)邊比斜邊,實(shí)際上我們常常用?

來(lái)表示這個(gè)正弦函數(shù),而?則表示某一弧度,如果你把這個(gè)三角形畫在一個(gè)二維坐標(biāo)系的圓上面,比如下面的這種形式

那么?,當(dāng)然,這個(gè)時(shí)候,正弦值還僅僅是一個(gè)"正弦值",現(xiàn)在你可以開始想象假如圓上的這個(gè)點(diǎn)現(xiàn)在開始動(dòng)了起來(lái),并開始繞圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),?的值會(huì)如何變化呢?下面的圖會(huì)告訴你答案

圖像來(lái)自Imgur

顯然的,當(dāng)我們引入動(dòng)態(tài)的概念后,正弦函數(shù)隨之而動(dòng),從一個(gè)定值變成了一個(gè)波,在信號(hào)處理中,我們稱之為正弦波,高中的課本會(huì)告訴你正弦函數(shù)的性質(zhì)和和差化積積化和差之類的公式,而我會(huì)告訴你正弦函數(shù)和其所對(duì)應(yīng)的正弦波估計(jì)是信號(hào)處理中最重要最常用沒(méi)有之一的重要工具

到這里既然我們說(shuō)到波了,那么就不得不提幾個(gè)問(wèn)題和其對(duì)應(yīng)的概念,現(xiàn)在你再看看上圖,如果我們需要描述一個(gè)正弦波是不是需要下面幾個(gè)問(wèn)題,而這個(gè)問(wèn)題的答案,對(duì)應(yīng)了幾個(gè)概念。

• 這個(gè)點(diǎn)圍繞的圓到底有多大---->波幅

• 這個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的速度有多快---->角速度--->頻率

• 這個(gè)點(diǎn)最初的位置在哪里---->相位

當(dāng)然,如果我們描述正弦波只能用上面的文字來(lái)說(shuō),未免顯得不夠?qū)I(yè),于是乎,我們用一個(gè)更加通用的公式來(lái)描述正弦波

其中,A表示振福,A越大,振福越大.

表示角速度,當(dāng)然,角速度和頻率是對(duì)應(yīng)關(guān)系,所以信號(hào)處理中常常也用角頻率這種俗語(yǔ)來(lái)描述

表示相位,sin和cos兩個(gè)正弦函數(shù)的差別其實(shí)也僅僅是相位不同

是這個(gè)正弦波的偏移,你可以理解為這個(gè)波在y軸上如何的上下移動(dòng),在信號(hào)處理中,這個(gè)會(huì)被統(tǒng)一到直流分量中(頻率為0的波的波幅)

科普完上面的概念之后,要說(shuō)傅里葉變換是怎么回事其實(shí)已經(jīng)很容易了,現(xiàn)在我們來(lái)看傅里葉說(shuō)過(guò)的一句話

“任何”周期信號(hào)都可以用一系列成諧波關(guān)系的正弦曲線來(lái)表示。

我們先不討論這句話的適用條件(狄里赫利條件),這句話簡(jiǎn)直牛逼大了,這表示下面這些信號(hào)

全部可以用下面這個(gè)式子來(lái)表示

(式1.0)

如果看不明白沒(méi)關(guān)系,下面這張圖能讓你看個(gè)清楚,如何用正弦波組成一個(gè)近似的方波

圖像來(lái)自wiki百科

那么,有什么意義呢,要知道,如果可以將信號(hào)分解為正弦函數(shù)的累加和,不就等于知道了這個(gè)信號(hào)是由哪些頻率的正弦波構(gòu)成了的么,同時(shí),我們還能知道對(duì)應(yīng)頻率的波在信號(hào)中的能量和相位信息。

舉個(gè)很簡(jiǎn)單的聲學(xué)例子,如果我們直接看一段聲音信號(hào)的波形圖,我們很難看出他是男聲還是女聲(別說(shuō)男聲的嗓門比較大波幅寬,河?xùn)|獅吼了解下)但是從頻域中我們就能夠很容易分辨出來(lái),畢竟女聲的頻域中,高頻的能量占比會(huì)比較高

再舉個(gè)很簡(jiǎn)單的圖形學(xué)例子,如果把一張圖像做頻域分析,圖像的低頻代表著輪廓信息,高頻代表著細(xì)節(jié)信息,相位代表位置信息,你要是想讓圖像變模糊,簡(jiǎn)單,把高頻的能量壓下來(lái)就行了,想讓圖像變尖銳,高頻能量加上去就行了.

那么問(wèn)題又來(lái)了,已知我們?nèi)绾伟阉纸鉃?/span>

的形式呢,實(shí)際上傅里葉變換需要解決的就是這一點(diǎn),它的最終目的就是要將信號(hào)分解為上面這樣的形式,好讓我們把別通頻率的正弦波信息給剝離出來(lái)。

要說(shuō)這個(gè),我們就不得不談?wù)勅呛瘮?shù)的正交性了。

首先我們知道,對(duì)正弦波正無(wú)窮到負(fù)無(wú)窮內(nèi)進(jìn)行積分,其結(jié)果必定是0(主值積分，取周期)

所以根據(jù)三角函數(shù)的積化和差公式,下面的推論都是成立的

這導(dǎo)致了一個(gè)很重要的概念。

不同頻率的正弦波相乘,對(duì)其周期積分后,其結(jié)果是0!

(我知道有人肯定會(huì)說(shuō),作者你胡說(shuō)八道,?怎么會(huì)是0,老師告訴我它明明是發(fā)散的,你又忽悠我,關(guān)于這點(diǎn)我要說(shuō)明一下,首先你的老師沒(méi)說(shuō)錯(cuò),不過(guò)我也沒(méi)有忽悠你,首先在大學(xué)高數(shù)求極限那些知識(shí)中,這個(gè)函數(shù)確實(shí)積分后是發(fā)散的,這個(gè)發(fā)散的具體原因是建立在?這種情況下的,也就是我們正常說(shuō)的無(wú)窮積分,但是如果按這種玩法,基本上大半的信號(hào)處理函數(shù)都沒(méi)法玩了,因此在信號(hào)處理的公式中比如傅里葉變換,默認(rèn)都以柯西主值積分作為欽定的積分方式,打個(gè)比方定義這種情況下,負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮的積分不就是0了么,所以這里我說(shuō)明一下,傅里葉變換中使用的是柯西主值積分,整個(gè)無(wú)窮區(qū)間取周期倍)

這個(gè)概念我們又叫做波的相干性,比如給你一段信號(hào),問(wèn)你信號(hào)里有沒(méi)有100HZ頻率的正弦波信號(hào),怎么辦?簡(jiǎn)單,把這個(gè)信號(hào)和100hz的正弦波信號(hào)相乘,然后對(duì)其周期內(nèi)積分,如果結(jié)果不是0,那么這個(gè)信號(hào)就含有100HZ的信號(hào)。

那么剩下的問(wèn)題就是如何求得該頻率正弦波對(duì)應(yīng)的幅度和相位了,實(shí)際上就是求式1.0的和?。下面我要甩點(diǎn)公式了,如果感到不適,可以選擇跳過(guò)

利用三角函數(shù)的變換公式，(式1.0)可變形為

設(shè)?那么，上式變?yōu)?/span>

現(xiàn)在，讓我們正式的引入正交性的性質(zhì)，還記得檢波手段么，這里，我們假設(shè)對(duì)用進(jìn)行檢波(說(shuō)人話就是乘起來(lái),然后為了方便計(jì)算對(duì)其在一個(gè)周期內(nèi)積分)，那么就有

假設(shè)f(x)中含有?角頻率的正弦波系數(shù)為，那么根據(jù)三角函數(shù)的正交性，上式就有

為什么會(huì)這樣?你想啊,別的頻率的波積分后全變0了,不就是剩下頻率一樣的情況了么。因此

進(jìn)一步計(jì)算，可得

同樣，也可以使用相同的方式進(jìn)行推導(dǎo)。

因此，通過(guò)?我們可以知道這個(gè)波的波幅與相位：

好了,這個(gè)基本就是傅里葉變換中最核心的傅里葉級(jí)數(shù)了。

不是很復(fù)雜吧,你是不是很疑惑,為什么長(zhǎng)得和傅里葉變換的標(biāo)準(zhǔn)公式差的有點(diǎn)多呢,標(biāo)準(zhǔn)公式不是長(zhǎng)得是這樣么:

沒(méi)關(guān)系,看看我們的歐拉公式

然后把歐拉公式代入傅里葉變換

你看,最終還不是換湯不換藥,無(wú)非就是多了個(gè)復(fù)數(shù),這個(gè)復(fù)數(shù)其實(shí)沒(méi)有別的其它意義,作用就是在計(jì)算中和cos區(qū)分開來(lái),扯到復(fù)平面上繞圈圈?沒(méi)必要!

現(xiàn)在傅里葉變換講完了,我們來(lái)看看拉普拉斯變換。

真的,傅里葉搞懂了拉普拉斯變換基本上一句話就能講完,如果不扯點(diǎn)傅里葉變換的東西,我估計(jì)會(huì)因?yàn)榛卮饐?wèn)題過(guò)于簡(jiǎn)短待會(huì)答案都被折疊了。

先看看拉普拉斯變換公式

這搞毛呢,不就是傅里葉變換的公式乘以一個(gè)?么,只要搞懂為什么要這么干,我們就能理解拉普拉斯變換了。

我們來(lái)看看下面這個(gè)信號(hào)圖：

是的,這個(gè)信號(hào)的毛病在于,他已經(jīng)上天了,是的,它增長(zhǎng)的速度太快了,而我們卻要使用不能夠"上天"的正弦函數(shù)去擬合它,這不是為難我胖虎么,這個(gè)時(shí)候,我們就得想起一句名言,要么解決問(wèn)題,要么解決制造問(wèn)題的人(信號(hào)),既然傅里葉變換無(wú)法制造一個(gè)同樣上天的正弦信號(hào)來(lái)擬合,我們就把它原本的信號(hào)"掰彎",那么如何"掰彎"呢,簡(jiǎn)單,乘以一個(gè)?就行了。

然后圖像就變成了這樣：

你看,這不就皆大歡喜了么,搞來(lái)搞去,拉普拉斯變換的意義無(wú)非就是把那些想要上天的函數(shù)掰彎,好最終變成那種適合做變換的函數(shù),但是掰彎聽起來(lái)不太專業(yè),所以我們又管叫衰減因子

好了,現(xiàn)在能解決 的信號(hào)我們有傅里葉變換解決了,不能解決的信號(hào)有拉普拉斯變換解決了,感覺上是不是皆大歡喜,寫個(gè)軟件跑跑看唄。

這時(shí)你一拍腦袋!不好,信號(hào)是連續(xù)的,而計(jì)算機(jī)上存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)是離散的,這可咋辦好,沒(méi)關(guān)系,我們可以這樣,每隔一小段距離,取一個(gè)點(diǎn),最后用的時(shí)候把這些點(diǎn)連起來(lái),不就能變成原來(lái)的的信號(hào)了么,當(dāng)然我們還得研究研究,這個(gè)一小段距離究竟得多小,才不至于讓原信號(hào)失真,這個(gè)就得參考參考香農(nóng)采樣定律了。

好的,現(xiàn)在我們把連續(xù)的信號(hào)換一下,換成離散的"點(diǎn)",首先積分是不能用了,既然換成離散的了,積分對(duì)應(yīng)的就應(yīng)該變成累加符號(hào)?,當(dāng)然,也是不能用了,這是一個(gè)連續(xù)信號(hào)的寫法,而離散的一個(gè)一個(gè)的點(diǎn)得換成,其中的n表示第n個(gè)點(diǎn),實(shí)際上就是時(shí)間變來(lái)的,當(dāng)然也不能用了,你想啊,我們要具體到某個(gè)點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)怎么表示,當(dāng)然了,首先把時(shí)間換成索引號(hào),然后這個(gè)動(dòng)態(tài)的角速度值換成具體的角度?。

好了,我們終于把連續(xù)信號(hào)的傅里葉變換變成了離散信號(hào)的傅里葉變換,寫寫看

哎呀,一不小心把Z變換的公式也寫出來(lái)了,原來(lái)搞了半天,不就是傅里葉變換的離散形式么.

最后總結(jié)一下

數(shù)學(xué)分析工具就是這樣,當(dāng)出現(xiàn)解決不了的問(wèn)題之后,隨之就會(huì)出現(xiàn)改進(jìn)的方案,我們可以說(shuō),拉普拉斯變換是為了解決一些"太飄了"或者專業(yè)說(shuō)法叫不收斂的信號(hào),而z變換則用于解決了信號(hào)的存儲(chǔ)和編碼問(wèn)題,那么,那么還有沒(méi)有別的問(wèn)題?

有的,從時(shí)域到頻域,頻域的時(shí)間信息消失了,你有沒(méi)覺得之前我們分析的信號(hào)都太理想化了,現(xiàn)實(shí)中的信號(hào)往往隨著時(shí)間而變化并非一成不變的,比如一輛車向你開來(lái)然后遠(yuǎn)去,你會(huì)聽到聲音從尖銳逐漸變得渾濁,這是多普勒效應(yīng)造成的,而你收到的聲音信號(hào)也由高頻逐漸變?yōu)榈皖l,而傅里葉變換只能告訴你信號(hào)中存在某種頻率的信號(hào),但卻不能告訴你這個(gè)頻率的信號(hào)是在什么時(shí)候出現(xiàn)的.它可能一直存在,或者只存在前半段信號(hào)里,可能存在后半段信號(hào)里.或者別的區(qū)間。

這個(gè)時(shí)候,又出現(xiàn)了傅里葉變換的改進(jìn)版本,叫短時(shí)傅里葉變換.簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是一段信號(hào),假如這個(gè)信號(hào)長(zhǎng)度是1秒,那么就每隔0.1秒就做一次傅里葉變換,總共做10次,這樣,第一個(gè)變換的結(jié)果對(duì)應(yīng)0-0.1s的信號(hào)頻譜,第二個(gè)變換結(jié)果對(duì)應(yīng)0.1-0.2s的信號(hào)頻譜。

雖然短時(shí)傅里葉提供了一個(gè)粗糙版本的方案把時(shí)間的概念引入頻域,但無(wú)法解決信號(hào)擬合的問(wèn)題,我們使用正弦波去擬合方波,我們就需要用無(wú)窮多個(gè)不同頻率的正弦波去擬合以抵消時(shí)頻間的能量差異,簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō),一個(gè)方波我們用正弦波去擬合,最終會(huì)擬合成這個(gè)樣子：

為了解決上面兩個(gè)問(wèn)題,小波變換誕生了,要使用小波變換,在進(jìn)行變換前首先需要挑選合適的母小波(也常常叫基波函數(shù),以前實(shí)驗(yàn)室里經(jīng)常被用來(lái)調(diào)侃:喲,你搞個(gè)基波啊),然后通過(guò)對(duì)母小波的平移和縮放,最終去擬合原信號(hào),在平移的過(guò)程中,最終也把時(shí)間信息帶入了頻域(小波域)中,同時(shí)不同的母小波也更好解決了信號(hào)的擬合問(wèn)題,當(dāng)然,大多小波變換的核心原理,最終和傅里葉變換一樣,利用了正交性來(lái)檢波(有的基波沒(méi)有正交性,例如morlet和mexican hat,這類小波在用于離散小波變換時(shí)有限制性)

那么如何挑選母小波呢?不用擔(dān)心,數(shù)學(xué)大佬們?yōu)槲覀兛偨Y(jié)了一堆好用的母小波,按照響應(yīng)的情況挑選就行了。

什么，太簡(jiǎn)略了不過(guò)癮?

https://zhuanlan.zhihu.com/p/77345128

https://zhuanlan.zhihu.com/p/77347644

https://zhuanlan.zhihu.com/p/77388996

https://zhuanlan.zhihu.com/p/72644228

https://zhuanlan.zhihu.com/p/72644228

https://www.zhihu.com/question/22298352/answer/797335876

這幾篇文章帶你從三角函數(shù)推導(dǎo)到傅里葉變換再到實(shí)際應(yīng)用做出實(shí)際功能產(chǎn)品，包你看個(gè)爽。

參考資料

奧本海姆大佬《信號(hào)與系統(tǒng)》《離散時(shí)間信號(hào)處理》大佬是我心中永遠(yuǎn)的神

《小波十講》他們說(shuō)這本書是本好書,可惜我真沒(méi)幾章看得懂

《數(shù)字語(yǔ)音處理理論與應(yīng)用》聲控福利,宅男必備,論如何秒變蘿莉音忽悠沙雕網(wǎng)友

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