關(guān)于黎曼積分的思考——談黎曼積分的定義觀念

數(shù)學(xué)算法俱樂部

日期：2020年08月15日

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作者：beerht

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從點(diǎn)到無窮

重新審視可積條件本身“在[a,b]上的一切不連續(xù)點(diǎn)成一零測(cè)度集”，這里的關(guān)鍵詞是“測(cè)度”，因此首要的關(guān)鍵問題在于何為“測(cè)度”？傳統(tǒng)意義上的測(cè)度有長(zhǎng)度、面積、體積等，我們?cè)噲D猜測(cè)一下，測(cè)度的抽象意義可以如何來描述？

前面已經(jīng)提到過，傳統(tǒng)測(cè)度計(jì)算中，點(diǎn)被認(rèn)為是質(zhì)點(diǎn)，這個(gè)思維最大的悖論在于在有窮物事中引入了“無窮”概念，任意的線段均含有無窮個(gè)點(diǎn)。這在根本上導(dǎo)致了對(duì)點(diǎn)區(qū)間本身描述的困難。反思初等數(shù)學(xué)中點(diǎn)概念的生成，從根本上講，因?yàn)槌醯葦?shù)學(xué)的描述中往往無需涉及“點(diǎn)”本身的特性，只需實(shí)現(xiàn)其對(duì)象化令其能夠成為分析的基準(zhǔn)和橋梁即可——這也就可以解釋何以康托爾之前的科學(xué)家都盡力規(guī)避“無窮”這一概念。高斯等人采取了折中的理念，即承認(rèn)無窮作為過程的存在而否定其作為對(duì)象的存在。事實(shí)上，回避“無窮”概念的本質(zhì)還在于從根本上回避了“點(diǎn)”本質(zhì)的明確。而“點(diǎn)”本身始終作為一個(gè)神秘的物理實(shí)體對(duì)象而被討論所規(guī)避——這種觀念實(shí)際上是一種視覺直觀抽象的印象產(chǎn)物。而要完成“測(cè)度”的定義。首先必須要對(duì)“點(diǎn)”做出準(zhǔn)確的定義——必要的是，這個(gè)定義必須充分兼容經(jīng)典視角下的初等數(shù)學(xué)關(guān)于“點(diǎn)”的認(rèn)知。

首先，我們觀察傳統(tǒng)的點(diǎn)認(rèn)知，可以確定無疑地說，這個(gè)視覺心理的產(chǎn)生是以直觀的視覺極限為形象基礎(chǔ)的，其次，點(diǎn)概念的突破關(guān)鍵在于對(duì)“質(zhì)點(diǎn)”本質(zhì)的澄清，傳統(tǒng)上認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)有質(zhì)量無大小，實(shí)際上只是一種分析效果等價(jià)思維導(dǎo)向下的一種模型產(chǎn)物——即以過程本身為線索，如若奉行這一思想，可以撇除物理過程分析中的次要因素。從此可以看出，工具本自概念思想，而概念本身往往也是工具之一。我們往往無以從根源上實(shí)證，由此可知數(shù)學(xué)是以認(rèn)知本體為起源的相對(duì)實(shí)證形式系統(tǒng)，所謂的不完備定理，從最樸素的角度來理解，若邏輯體系中的數(shù)理關(guān)系的描述真的得以完整無誤地歸納全部的過程屬性信息，則本體無以證實(shí)其自身的完備性——因?yàn)橥陚湫蕴N(yùn)含于本體之中，欲證實(shí)本體之完備，則必先于本體之邏輯衍生物中尋求論據(jù)，是以陷入循環(huán)論證之陷阱。

于是，欲弄清“點(diǎn)”的概念，則又不得不先訴諸“無窮”的概念認(rèn)知。認(rèn)知這就不得不引起我們對(duì)康托爾理論的反思與猜想——即樸素集合理論在康托爾的頭腦里是如何被萌生出來的？

首先，“一一對(duì)應(yīng)”這一思想是如何被琢磨出來的？從表面上看，即實(shí)變的“實(shí)”概念得以從此確立?？低袪査J(rèn)為的“實(shí)”并非是高斯、柯西概念中的“實(shí)”（高斯、柯西概念中的“實(shí)”始終脫離不了“量值”的核心觀念），康托爾所認(rèn)為的“實(shí)”是以“邏輯實(shí)”為基礎(chǔ)的，事實(shí)上，康托爾這種思想的背后蘊(yùn)含了濃厚的萊布尼茲的形式主義符號(hào)邏輯思想——萊氏的重要思想在于他認(rèn)為任意的邏輯對(duì)象都應(yīng)該與其他邏輯對(duì)象在符號(hào)邏輯關(guān)系上具備明確的、無疑的結(jié)論，即認(rèn)為以邏輯關(guān)系為核心，邏輯的關(guān)系可以歸納一切。這一點(diǎn)完全可以視為他關(guān)于數(shù)學(xué)自明性的認(rèn)知的基礎(chǔ)（牛頓等人的數(shù)學(xué)自明性則建立在認(rèn)為存在絕對(duì)邏輯對(duì)象的基礎(chǔ)上，例如絕對(duì)的時(shí)間、空間和質(zhì)點(diǎn)），同時(shí)也是萊氏所謂“要想解決爭(zhēng)議，動(dòng)筆在紙上算一算就清楚了”的邏輯基礎(chǔ)。由此，康托爾在傳統(tǒng)的潛無窮理解的基礎(chǔ)上衍生出了對(duì)“無窮”的集合化理解——即既然“潛無窮”是一種針對(duì)不斷延展的過程的描述，那么這種描述本身就可以視為一個(gè)“元素”，存在多少種描述形式，就存在多少種“潛無窮”，而一般意義上所謂的“無窮”，則可以視為本質(zhì)上是一個(gè)具備了共性的函數(shù)集合，當(dāng)關(guān)系運(yùn)算純粹在數(shù)值關(guān)系上時(shí)，“無窮”則又完全可以壓縮為一個(gè)“廣義抽象值”來對(duì)待和理解——由此，“無窮”又獲得了“廣義數(shù)”的存在形式。由此，無窮的“實(shí)”得以確立。所謂“實(shí)”是源于對(duì)于廣義邏輯對(duì)象及邏輯關(guān)系的承認(rèn)，也就是說傳統(tǒng)理解上的“證明”實(shí)際上是將數(shù)量關(guān)系的根源落實(shí)在量和值的認(rèn)知之上，而數(shù)學(xué)的自明性依據(jù)自此從“直觀的實(shí)在性”轉(zhuǎn)入了“廣義的相容性”。換言之，邏輯體系的構(gòu)造旨在“調(diào)和”，不能調(diào)和則設(shè)定某一前提下力求能“湊合”，我們只能追求盡可能完美的邏輯系統(tǒng)。當(dāng)邏輯系統(tǒng)出現(xiàn)悖論時(shí)，原則上應(yīng)該訴諸于邏輯系統(tǒng)源頭概念的本體的進(jìn)一步抽象回歸——這是保障既有邏輯理論體系成果安全無虞及其與未來新生邏輯系統(tǒng)無縫銜接的重中之重。

要回答點(diǎn)大小的問題，必須讓點(diǎn)概念從物理實(shí)體的框架中解脫出來。由上述可知，“無窮”是為一個(gè)集合，則點(diǎn)實(shí)際上是無窮劃分的產(chǎn)物，即一種劃分。也就是說，從此不再以“點(diǎn)動(dòng)成線”為思維起源，而是直接面向先在的、離散的、有限的實(shí)體進(jìn)行劃分。換言之，在“實(shí)體數(shù)”的基礎(chǔ)上設(shè)立了“抽象數(shù)”的概念，“抽象數(shù)”是對(duì)區(qū)間邊界的標(biāo)定，我們可以想象是在原來被認(rèn)為是“質(zhì)點(diǎn)集合”的各個(gè)實(shí)體數(shù)區(qū)間之間設(shè)定了“隔板”，這些“隔板”就是抽象數(shù)。實(shí)體數(shù)的值越接近抽象數(shù)（實(shí)體數(shù)仍是被認(rèn)為可運(yùn)動(dòng)的），則認(rèn)為到達(dá)了抽象數(shù)。測(cè)度不再是由實(shí)體數(shù)的計(jì)算得到，而是以抽象數(shù)這些“標(biāo)桿”之間直接計(jì)算的距離為準(zhǔn)。

由此，函數(shù)在某點(diǎn)的值的準(zhǔn)確描述應(yīng)該是“函數(shù)在某抽象數(shù)上的值”，即獲得了的存在形式（前提是該極限存在），而回歸到定義域上則有，由此可知從區(qū)間極限的角度來看，抽象數(shù)位置處的振幅實(shí)際上是實(shí)體數(shù)收斂的結(jié)果。參照“無窮”的廣義抽象數(shù)形式的定義，所謂收斂，實(shí)際上是一個(gè)實(shí)體數(shù)集合的運(yùn)動(dòng)能夠映射到一個(gè)半徑極限為0的鄰域，所謂發(fā)散，即該集合的映射產(chǎn)物是一個(gè)半徑極限非0的鄰域。

為什么需要引入"振幅"的概念

那么究竟為什么需要振幅這一概念呢？怎么想到把連續(xù)性的論證和振幅概念的引入掛上鉤的？這還要先從連續(xù)性論證的困境重新說起。某個(gè)區(qū)間的函數(shù)振幅的定義為：

振幅=函數(shù)上限值-函數(shù)下限值

那么，當(dāng)限定該區(qū)間時(shí)，

上述的這個(gè)描述形式我們不難理解，我們?cè)噲D從這里摸索一下引入振幅的必要性。傳統(tǒng)上認(rèn)為，從“定義域點(diǎn)-值域點(diǎn)”的關(guān)系來看，函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的靜態(tài)關(guān)系，引入振幅的原因很有可能源于對(duì)函數(shù)本質(zhì)屬性認(rèn)知的一種動(dòng)態(tài)化的擴(kuò)展理解。最令人疑惑的是，既然有振幅，為什么沒看見振動(dòng)？如果說振動(dòng)是“潛在”的，那么應(yīng)該如何理解這種振動(dòng)？假設(shè)以不改變連續(xù)點(diǎn)位置為前提條件，令函數(shù)曲線（一維的姑且想象為弦）沿Y坐標(biāo)軸做“面積守恒”的垂直振動(dòng)，才符合R可積函數(shù)的要求。那么從振動(dòng)的角度來描述面積守恒，究竟揭示了函數(shù)什么樣的深刻內(nèi)涵呢？

思想總是先從問題中來。問題總是對(duì)某種困境的表達(dá)?；仡櫯ｎD的微積分理論，其最大的問題在于無窮小問題，這一問題直接扼住該理論的命脈。在微分過程中，從靜態(tài)函數(shù)的角度上來看，極小的定義域微元?jiǎng)澐址从车街涤蛏?，仍然存在值的差異。如果說這種值的差異確是不應(yīng)回避的話，那么，究竟要如何建構(gòu)積分的理論基礎(chǔ)呢？

回顧書中的定義，實(shí)際上所謂點(diǎn)振動(dòng)是以區(qū)間振動(dòng)為依據(jù)推導(dǎo)得到的，而區(qū)間的振動(dòng)則是以該值域區(qū)間內(nèi)距離測(cè)度來衡量的。由此可知所謂振動(dòng)，是指值域點(diǎn)位置的變化，即指“點(diǎn)的位置變化測(cè)度”，即承認(rèn)微分中值的變化。試圖猜測(cè)一下黎曼的初衷：要實(shí)現(xiàn)可積，那么從數(shù)值的角度上看，積分收斂是必然的；既然收斂是必然的，那么就有必要將收斂在分析意義上的概念在數(shù)理邏輯層面闡釋清楚?；谝?guī)避無窮小量的基本原則，必須首先充分承認(rèn)值的微小變化所造成的運(yùn)算差異，從而間接地借助上下確界相等的夾逼原理可以確立積分的存在性（“存在即合理”，這里的“存在”指的是作為抽象數(shù)外在體驗(yàn)的數(shù)值的“存在”）。

可以看出，牛頓基于視覺直觀引入純粹的流數(shù)概念，其實(shí)是試圖在無差量計(jì)算體系下直接納入絕對(duì)的“無窮小值”思想（瞬的思想即無窮小量，牛頓未能調(diào)和而轉(zhuǎn)向了本體不明的“無窮小值”）。而黎曼的定義則是必須建立在抽象數(shù)思想和測(cè)度論思想的基礎(chǔ)上的。借由這些基礎(chǔ)，黎曼將積分的存在性問題轉(zhuǎn)化為了測(cè)度（抽象測(cè)量）結(jié)果的存在可能性問題。計(jì)算其實(shí)并非一種絕對(duì)，而其實(shí)質(zhì)也只是和物理實(shí)驗(yàn)的測(cè)量一樣，只是一種集合表征的邏輯體驗(yàn)（盡管這種體驗(yàn)已經(jīng)是極限，但也與本體存在距離，這能夠較好地協(xié)調(diào)和解釋微積分計(jì)算的不完備性，即承認(rèn)計(jì)算并非“絕對(duì)真”表達(dá)，而也只是“近似真”的表達(dá)。這其實(shí)也是最初引入“0”以及后來引入無窮作為廣義數(shù)的思想基礎(chǔ)）。上述稱謂“夾逼原理”而非“夾逼準(zhǔn)則”，是因?yàn)閵A逼在值邏輯的層面始終成立，原因無他，依據(jù)排中律和同一律而已。換言之，夾逼原理成立的理由是“非如此則邏輯無以成立”。

由此可知，“振幅”似乎只是黎曼積分的一種自然而然的副產(chǎn)品。

從另一個(gè)角度對(duì)黎曼的初衷進(jìn)行猜想：如果把函數(shù)的各段“起伏”乃至各點(diǎn)起伏認(rèn)為是一種振動(dòng)產(chǎn)物的話（無窮間斷點(diǎn)可以視作持續(xù)地正向振動(dòng)，有限間斷點(diǎn)則可以視作振動(dòng)的局部?jī)蓚?cè)振幅不等所導(dǎo)致的“斷裂”效應(yīng)），則在振動(dòng)的宏觀背景下來看，函數(shù)形態(tài)只是振動(dòng)的某種產(chǎn)物，將視角切換到以振動(dòng)為中心，則既然函數(shù)本身要求可積，那么由振動(dòng)所覆蓋的等價(jià)函數(shù)集中任意函數(shù)的可積似乎應(yīng)該成為函數(shù)可積的數(shù)理淵源，同時(shí)也是研究振動(dòng)的必要條件。

上述的猜測(cè)看似是對(duì)的，但有關(guān)鍵問題尚未明確：

（1）為什么就能把函數(shù)形態(tài)看作振動(dòng)的產(chǎn)物呢？同時(shí)，振動(dòng)本身的可積為什么也是函數(shù)R可積的必要條件？

（2）把視角轉(zhuǎn)移到以振動(dòng)為中心的好處是什么？或者說，這種思路是針對(duì)什么問題而來的?

這些問題首先應(yīng)歸結(jié)到“振動(dòng)本身的原型是什么？”這一問題上來。那么首先要問：

（1）振動(dòng)的獨(dú)立對(duì)象是以點(diǎn)為單位還是以整體函數(shù)曲線為單位？還是別的？

前面已經(jīng)說過，根據(jù)書中的分析，并沒有定義一種振動(dòng)，易知將點(diǎn)沿函數(shù)曲線運(yùn)動(dòng)的幅度視之為“振幅”。那么有沒有另一種基于振動(dòng)原型的解釋呢？

假設(shè)以函數(shù)沿線各點(diǎn)為單位，則該點(diǎn)的振動(dòng)與相鄰點(diǎn)之間的運(yùn)動(dòng)完全獨(dú)立，函數(shù)曲線可視作這些點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)（隨機(jī)運(yùn)動(dòng)歸納了確定性運(yùn)動(dòng)，這里暫且借用該詞的含義來進(jìn)行籠統(tǒng)描述）的某一樣值，如果是這樣的原型，由于振動(dòng)的隨機(jī)性，很難讓人聯(lián)想到“振動(dòng)可積”對(duì)“函數(shù)可積”的必要性意義。因?yàn)橐s束這種隨機(jī)，則必然存在規(guī)則（盡管這些規(guī)則尚不清楚），于是又要問這些規(guī)則何以應(yīng)該如是被確立出來。因此，純粹以點(diǎn)為單位的自由振動(dòng)成為原型的可能性可以排除。

假設(shè)以函數(shù)曲線整體為單位，則振動(dòng)本身的變化無疑會(huì)引起曲線的形變，而要求其保持“面積守恒”，那么這樣的振動(dòng)變化方案存在（即在曲線附近有若干種這樣的方案）嗎？但如果將這種振動(dòng)的單位拆解為逐個(gè)微分段，則答案是一定的。將同一劃分下的各段函數(shù)曲線打亂后任意排序，即可得到一個(gè)振動(dòng)后的新函數(shù)，而面積盡皆相等。

也就是說，在曲線此起彼伏的各種方案里（假設(shè)這些曲線的面積均相等），這實(shí)際上構(gòu)成對(duì)全體函數(shù)集合的一個(gè)等價(jià)劃分。黎曼的視角并非沿襲“積分收斂——函數(shù)特性”這一基于數(shù)值特征關(guān)系雙向?qū)?yīng)的認(rèn)知角度來看待積分，而是以面積為立足，通過確立面積的存在性，進(jìn)而用夾逼原理得出函數(shù)曲線本身的普遍性，即建立了“面積-函數(shù)集”的映射思想，將全體的函數(shù)視作廣義面積（包括無窮大以外）為劃分的集合，也就是說，黎曼關(guān)于振動(dòng)的設(shè)想其實(shí)可以理解為在集合等價(jià)劃分思想指導(dǎo)下的函數(shù)各段（這個(gè)振動(dòng)不是隨機(jī)的，而是隨面積要求為確定性的）的序列集合圖景。進(jìn)而引申到點(diǎn)振動(dòng)原型。

這樣認(rèn)識(shí)積分帶來的好處究竟是什么（以至于后世終以黎曼命名微積分）？一般而言，一種新的視角必須相對(duì)既有的認(rèn)知體系更及于本質(zhì)，才是一種有價(jià)值的新視角。那么這樣設(shè)定的振動(dòng)究竟對(duì)揭示函數(shù)內(nèi)在性質(zhì)增加了什么樣的信息？以一個(gè)函數(shù)等價(jià)集合而論，在函數(shù)曲線各段“此起彼伏”的“振動(dòng)”里，“可積”被放在了以各段振動(dòng)為中心的視角里來看待。而各段振動(dòng)構(gòu)成了點(diǎn)振動(dòng)的理論基礎(chǔ)（這一點(diǎn)可以從書中點(diǎn)振幅由半徑極限為0之區(qū)間振幅推導(dǎo)得出而獲知），由此，面積等價(jià)關(guān)系完成了振動(dòng)原型的搭建，振動(dòng)原型又引申出點(diǎn)振幅的概念，由此點(diǎn)積分測(cè)度這一很“玄”的抽象表達(dá)即得以實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)約直觀的數(shù)學(xué)表達(dá)。反過來，我們可以確立這樣一個(gè)問題作為點(diǎn)振幅概念的引導(dǎo)問題：既然點(diǎn)集是疏朗的，要用點(diǎn)集重新解釋積分，則積分運(yùn)算就必須基于點(diǎn)集合測(cè)度，那么點(diǎn)積分測(cè)度如何定義呢？

從這一點(diǎn)來看，點(diǎn)振幅的意義不僅僅局限于積分運(yùn)算范疇，更重要的是對(duì)廣義數(shù)運(yùn)算的歸納啟示——示范了以點(diǎn)集合為基礎(chǔ)來理解數(shù)的基礎(chǔ)，則0和由此獲得了其作為集合參與數(shù)值運(yùn)算的合理性意義依據(jù)，即運(yùn)算的上界、下界相等即作為其成為“獨(dú)立數(shù)”的充分理由，從而可以在收斂運(yùn)算情景上完全地獲得“廣義數(shù)”的存在方式；而在發(fā)散運(yùn)算情景中，其計(jì)算結(jié)果實(shí)際上構(gòu)成無窮集合與無窮集合之映射，不應(yīng)被其“數(shù)的表達(dá)形式”所迷惑。

進(jìn)展到“點(diǎn)”的振幅，這里所說的點(diǎn)是“抽象數(shù)”的指代點(diǎn)，那么

考慮到函數(shù)定義域的影響

試證明“在點(diǎn)處連續(xù)等價(jià)于在該點(diǎn)振幅為0”來試驗(yàn)一下這種觀點(diǎn)的優(yōu)勢(shì)

自證明思路：

既然連續(xù)，則根據(jù)數(shù)學(xué)分析中的極限定義可知滿足，則對(duì)任意，必然存在，滿足時(shí)，均有，則易知也服從此規(guī)律，因此對(duì)任意有

上兩式相加后可得，，由此可知連續(xù)是振幅為0的充分條件。

反過來如果振幅為0，則易知該點(diǎn)處于定義域內(nèi)。

于是有任意，均存在，滿足時(shí)，，由振幅定義可知，則對(duì)于，則有，而對(duì)于，則有，于是有因此連續(xù)

從證明的思路對(duì)比來看，引入振幅的最大好處就是函數(shù)在某抽象數(shù)點(diǎn)上的值的確定性問題被轉(zhuǎn)化為“值的變動(dòng)”問題，值差則被歸結(jié)為其在實(shí)在值域上的極限值（這同樣也就是魏氏極限定義何以超越前人的根本所在，關(guān)鍵在于顛覆了對(duì)前人關(guān)于數(shù)的本質(zhì)認(rèn)知，中等式左邊的各個(gè)代數(shù)符號(hào)都指代“抽象數(shù)”，而等式右邊的代數(shù)符號(hào)則指代“代數(shù)值”）。這樣做之所以有好處，就是將“連續(xù)性”集中于一個(gè)“抽象數(shù)”點(diǎn)的論證拓展為對(duì)一個(gè)“實(shí)在值”區(qū)間內(nèi)的論證。（這么做其實(shí)是很難的，作為質(zhì)性定義，抽象數(shù)往往利于揭示概念本質(zhì)而短于計(jì)算應(yīng)用，之所以要建立抽象數(shù)和實(shí)在值的關(guān)系，本質(zhì)上還是為了能夠讓計(jì)算盡量回歸到實(shí)在值域中來），說白了，從開展分析的角度上講，極限定義的最大好處是將極限的數(shù)值關(guān)系內(nèi)涵說清楚了，而振幅定義的最大好處就是把在一個(gè)孤點(diǎn)的連續(xù)性問題用“幅度變化”的數(shù)值關(guān)系指代清楚了。

至此，點(diǎn)的概念算是說清楚了，測(cè)度究竟是什么還沒說清楚，簡(jiǎn)而言之，點(diǎn)概念需基于集合理論，那么測(cè)度論則無疑是基于點(diǎn)集合概念理論的（實(shí)無窮概念需基于測(cè)度理論）。我們可以這樣猜測(cè)：狹義的測(cè)度可以理解為點(diǎn)域的“無窮維尺度”，而廣義的測(cè)度實(shí)際上是一種作用在點(diǎn)域上的邏輯關(guān)系運(yùn)算（一切數(shù)值運(yùn)算的核心是邏輯關(guān)系）。測(cè)度的核心問題是“可測(cè)”，即運(yùn)算的收斂性問題。從上述關(guān)于振幅的演繹中可以看出，點(diǎn)測(cè)度被視為區(qū)間測(cè)度的極限，于是我們?cè)噲D定義測(cè)度的概念：

設(shè)點(diǎn)集合為U，作用于該集合之上的函數(shù)為，若存在任意劃分，均有，則稱在x上的測(cè)度。若上式對(duì)任意均成立，則稱為f在U上的測(cè)度。

相關(guān)啟示

啟示一：數(shù)學(xué)符號(hào)形式的視覺心理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。沒有適當(dāng)?shù)姆?hào)視覺心理作為支撐，數(shù)學(xué)書籍的閱讀和對(duì)形式演繹的開展是極其艱辛而困難的。反之，若是建立了良好的視覺心理，則閱讀數(shù)學(xué)書籍實(shí)與文學(xué)、哲學(xué)、歷史書籍之閱讀并無二致。要建立良好的視覺心理，離不開對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)描述的理解，關(guān)于這一部分的內(nèi)容，容另文闡析。

啟示二：數(shù)學(xué)的證明本質(zhì)上仍是以值邏輯為依據(jù)的。盡管數(shù)值獲得了“測(cè)度”的存在形式，但從實(shí)際上來講，數(shù)值仍是唯一可信任的依據(jù)，原因如下：其一、數(shù)值是抽象領(lǐng)域在可操作層面的度量極限；其二、無論對(duì)數(shù)值的認(rèn)知為何，只要產(chǎn)生數(shù)值本身的邏輯情景一定，則數(shù)值必然具有絕對(duì)的唯一性和排他性，這本身就匹配邏輯基本原理中的同一律和排中律。從根本上說，數(shù)值的這些屬性不是人為強(qiáng)行賦予的，而是可確邏輯的本征。即沒有能夠不存在于表達(dá)中的邏輯具體，也因此我們始終只能接觸到具體的邏輯模式而無法接觸到邏輯的真正本體。

啟示三：實(shí)變函數(shù)實(shí)際上是建立在將數(shù)字意義絕對(duì)化、數(shù)值計(jì)算意義相對(duì)化的前提下的一門理論。類比數(shù)學(xué)分析的證明中頻繁使用點(diǎn)鄰域的情況（這么做是為將極限問題從極限符號(hào)中解放出來研究），實(shí)變函數(shù)涉及點(diǎn)集的大量運(yùn)算也是為了把許多“點(diǎn)”的問題放到“集”里面來解決，同時(shí)，由于獲得了測(cè)度的存在形式，數(shù)值的計(jì)算可以如同傳統(tǒng)數(shù)學(xué)運(yùn)算一般放心地進(jìn)行。抽象化、數(shù)值化、關(guān)系化是分析邏輯常用的三步曲。

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