來源 ： 《數(shù)學(xué)思維》 想象一個甜甜圈，一個環(huán)形的甜甜圈，如下圖所示。當(dāng)數(shù)學(xué)家們說“甜甜圈”的時候，他們指的都是環(huán)形的甜甜圈——至少在他們討論數(shù)學(xué)的時候是這樣。當(dāng)數(shù)學(xué)家們思考甜甜圈的時候，他們通常只是在討論甜甜圈的表面，而不是實(shí)心的甜甜圈。類似地，當(dāng)他們說“球”的時候通常指的只是球面，就像只考慮橙子的表皮而非整個橙子。一個球面就像一個氣球，它的內(nèi)部是空的。甜甜圈也是如此。想象一下用魔法把一卷衛(wèi)生紙轉(zhuǎn)化為一個可隨意拉伸的橡膠材質(zhì)的圓筒，然后把它彎成一個圓圓的環(huán)?；蛘撸胂笠幌掳岩粋€彩虹圈彎成一個圓，頭尾相接，如下圖所示。它看起來和一個環(huán)形甜甜圈很像，只不過它是中空的。它的數(shù)學(xué)名稱叫作“環(huán)面”（torus）。現(xiàn)在讓我們回顧一下我們是如何把一卷衛(wèi)生紙變成一個環(huán)面的?；蛘撸阋部梢韵胂笥门菖葜谱饕粋€類似的形狀：用一個沾著足夠多泡泡液的大的泡泡棒在空氣中拖出一個大泡泡——不是用嘴吹，而是邊走邊拖泡泡棒，在繞了一個圈之后，這個泡泡環(huán)就能頭尾相接了。它的樣子看起來就像一個大型甜甜圈——一個空心的甜甜圈，一個空心的泡泡甜甜圈。我們通過在空中以圓形軌跡拖泡泡棒得到了這個環(huán)面，這也說明環(huán)面是圓形的一種推廣——我們所做的不過是改用泡泡棒而非畫筆在空中畫圓?，F(xiàn)在，進(jìn)一步對環(huán)面這個概念進(jìn)行推廣可能就會變得有些奇怪了。想象一下拖著一整個甜甜圈在空中畫出圓的軌跡。你很難想象它的樣子，因?yàn)樗⒉贿m合三維空間，但至少你大概可以想象得到它絕對不是一個兩個洞的甜甜圈。結(jié)合我們關(guān)于距離問題和甜甜圈的討論，我們便來到了數(shù)學(xué)的一個名叫“拓?fù)鋵W(xué)”的分支，它研究的是事物的形狀。我們已經(jīng)討論過多種關(guān)于距離概念的推廣方式，由此我們得到了很多類似距離，但又并不完全符合距離概念的所有規(guī)則的事物。現(xiàn)在，我們可以更進(jìn)一步推廣這個概念了，因?yàn)橛袝r候我們并不關(guān)心兩個事物的距離究竟有多遠(yuǎn)，而只想知道我們能不能從一地去到另一地，以及怎么去。如果你住在英格蘭南面的話，懷特島也許離你比蘇格蘭更近，但事實(shí)上你并不能直接開車過去——這完全是另外一種麻煩。同樣的問題在城市街區(qū)也是存在的。比如在芝加哥這樣的城市里，你可能突然就從一個街區(qū)來到了另一個街區(qū)，雖然實(shí)際上你只過了一條馬路——整個路程很短，但你已經(jīng)來到了一個不同的街區(qū)。不關(guān)心距離也就意味著不關(guān)心尺寸，就像相似三角形一樣，以下這些圓形也可被視為“ 相同”：另外一個我們并不太關(guān)心的問題是曲率。所以下面這兩個形狀也可被視為“相同”：我們現(xiàn)在只關(guān)心一個東西有多少個洞。所以在我們現(xiàn)在討論的體系里，不僅所有的三角形是“相同”的，而且三角形和正方形、圓形也是“相同”的：他們都屬于只有一個洞的形狀。相比之下，數(shù)字8 則屬于完全不同的另一種形狀，因?yàn)樗袃蓚€洞。思考這個問題的一種方法是想象所有東西都是用橡皮泥做的：想象一下你能否將一個形狀捏成另一個形狀，同時保證不制造出新的洞，也不需要將其他的形狀粘在它上面。問題：字母表里的哪些大寫字母在這個形狀可塑的情境下是“相同”的？? 沒有洞的字母：C E F G H I J K L M N S T U V W XY Z。? 有一個洞的字母：A D O P Q R。? 唯一一個有兩個洞的字母：B。這說明，從拓?fù)鋵W(xué)的角度講，大部分字母都是一樣的。這也正是電腦很難識別手寫字母的原因之一。我們也可以嘗試在更高的維度討論這個問題。想象一下我們用一團(tuán)橡皮泥做出一個甜甜圈。我們有兩種制作方法：你可以先捏出一個香腸的形狀，然后把它的頭尾相連，也可以在揉成一團(tuán)的橡皮泥中間戳一個洞。不管使用哪種方法，你的做法都證明了從拓?fù)鋵W(xué)的角度來看，甜甜圈和一團(tuán)橡皮泥是不同的。而當(dāng)你做好了甜甜圈以后，你不必戳新的洞也不必粘上另一塊橡皮泥就可以用它做出一個咖啡杯。甜甜圈的洞可以被視為咖啡杯把手與杯身之間的那個洞，你只需要把實(shí)心的部分捏出凹面做成杯肚的形狀，咖啡杯就做成了。也就是說：從拓?fù)鋵W(xué)的角度講，甜甜圈和咖啡杯是一樣的。而與此相對， “兩個洞的甜甜圈”則與一個洞的甜甜圈或者咖啡杯完全不同。關(guān)于事物在拓?fù)鋵W(xué)上的異同這個問題有很多應(yīng)用。比如，之前我們討論過關(guān)于繩結(jié)的數(shù)學(xué)，而繩結(jié)是拓?fù)鋵W(xué)研究的一類對象。在借助拓?fù)鋵W(xué)研究繩結(jié)的過程中，一個很奇妙的思考方式就是，你并不是在空白的紙上用彩色畫筆畫畫，而是先用彩色畫筆涂滿一整張紙，然后擦掉你想擦的部分，以此完成一張主體部分為白色而背景為彩色的畫。現(xiàn)在，讓我們想象一下在三維空間里進(jìn)行這樣的創(chuàng)作。想象一下你拿著一支“可以在空中畫畫的彩色筆”，你將一個盒子的內(nèi)部空間填滿了顏色。然后，你又拿出一個“可以在空中使用的橡皮擦”，用它在你剛才填色的部分擦出一個繩結(jié)的形狀。現(xiàn)在，整個空間剩下的彩色部分就是一個幾乎無法想象，卻很容易用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究的形狀。我們剛才描述的那種在三維空間里去掉某物的過程叫作取“補(bǔ)集”。一旦我們完成了這個過程，我們就可以像捏橡皮泥一樣任意改變剩下那部分的形狀，前提是不增加洞的數(shù)量或者粘上另一塊橡皮泥。你能想象出下面這些形狀的補(bǔ)集嗎？? 一個圓圈○在拓?fù)鋵W(xué)上的補(bǔ)集與一個空心的、內(nèi)部中央只撐了一根短棍的球面相同： ? 兩個扣在一起的圓圈（如下圖左邊所示）的補(bǔ)集在拓?fù)鋵W(xué)上與一個空心的、內(nèi)部只有一個環(huán)面的球面（如下圖右邊所示）相同：這還是一些很簡單的形狀，但是已經(jīng)很難直觀地想象出來了。數(shù)學(xué)的強(qiáng)大之處就在于它使得我們不需要真正將某個概念想象成實(shí)物就可以對問題進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难芯俊?/span>另外一個例子是關(guān)于用紙剪下某個平面形狀然后將它們粘成一個三維的圖形。你也許還記得如何用一張紙折成一個正方體：如果你將這個形狀沿著外圍輪廓剪下來，然后沿各條線折疊，你就可以把重合的邊粘起來得到一個正方體。或者，你也可以試試將下面這個圖形折成三維圖形：你會得到一個三角形的金字塔，它的數(shù)學(xué)名稱叫作“四面體”?，F(xiàn)在，請想象一下用可以任意塑形的橡皮泥片代替紙做同樣的事情。這樣一來，我們就可以用下圖所示的正方形橡皮泥片制作甜甜圈（環(huán)面）了——我們要確保把標(biāo)為A 的邊都粘在一起，使箭頭的方向保持一致，對于標(biāo)為B 的邊也進(jìn)行一樣的操作：你完成了嗎？接下來是真正的挑戰(zhàn)。遵循剛剛的操作規(guī)則，即將字母相同的邊粘起來且確保箭頭方向一致，你能想象出用下面這個八邊形橡皮泥片折成的立體圖形會是什么形狀嗎？答案是：有兩個洞的甜甜圈。試圖憑大腦想象出最終的圖形是很難的，但拓?fù)鋵W(xué)給了我們一種可以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)匮芯窟@些關(guān)于比我們能夠想象出的圖形復(fù)雜得多的圖形的問題的方法。（本文整合自《數(shù)學(xué)思維》）
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