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          反直覺的三門問題，80%的人都會錯？
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          2022-06-27 21:49
          
            
          導(dǎo)讀：據(jù)說面對這個經(jīng)典的條件概率問題，80%的人憑直覺做出了錯誤的選擇，然而他們卻堅信自己才是對的。

          作者：徐晟
          來源：大數(shù)據(jù)DT（ID：hzdashuju）




          三門問題，又稱蒙提霍爾問題，出自20世紀(jì)美國電視節(jié)目《讓我們做筆交易》中主持人蒙提霍爾提出的一個問題。這個節(jié)目有一個緊張刺激的大獎選擇環(huán)節(jié)：參賽者要在三扇關(guān)著的門前做出選擇。門后分別藏著一輛汽車和兩只山羊，如果參賽者打開了藏有汽車的門，就可以立即贏走汽車。

          整個流程是這樣的：首先，參賽者選擇一扇門。隨后，蒙提霍爾會打開剩余兩扇門中的一扇，展示門后的山羊。在排除了一個錯誤選項后，參賽者有權(quán)選擇是否換門，一旦確定換門或放棄了換門機(jī)會，被選擇的門就會被打開，答案揭曉。

          在整個過程中，引起民眾熱議和討論的就是主持人的這個問題—參賽者是否應(yīng)該選擇換門？改用統(tǒng)計學(xué)的問法：換門是否會增加贏走大獎的概率？

          有人認(rèn)為，既然已經(jīng)打開了一扇門，那么剩下兩扇門中是山羊和汽車，兩者出現(xiàn)的概率是一樣的，與節(jié)目之前的流程沒有任何關(guān)系。無論怎么選擇，選對的概率都是二分之一。當(dāng)時持有這種觀點(diǎn)的人不在少數(shù)，其中不乏來自數(shù)學(xué)或科學(xué)研究機(jī)構(gòu)的專家和學(xué)者。

          不過這個推論是錯的，因為主持人開門的動作并不是一個隨機(jī)事件。由于主持人提前確認(rèn)過門后的信息，因此他的開門事件符合條件概率。所謂條件概率，可以理解為它是某些特定條件下的概率。在三門問題中，這個“特定條件”是由主持人造成的，他開門的動作人為地產(chǎn)生了影響最終結(jié)果的信息。

          如果你能理解這點(diǎn)，那么讓我們重新從參賽者最初的選擇開始推演：如果參賽者一開始選中汽車，這個概率是1/3，那么他選擇換門后，贏得大獎的概率是0。如果他一開始選中山羊，這個概率是2/3，那么在排除了另一扇有山羊的門后，只要選擇換門，他贏車的概率就是1。因此，無論如何他都該選擇換門，因為換門后他有2/3的概率贏走汽車。

          關(guān)于到底是1/2還是2/3，在當(dāng)時引發(fā)了民眾的激烈討論。其中的關(guān)鍵就是，主持人是知道門后的信息的，他一定會有意地打開背后有山羊的那扇門。在這種情況下，換門后贏得汽車的概率就不是對半開。如果主持人隨機(jī)打開一扇門，碰巧看到了山羊，那么這時選擇換門贏車的概率才是1/2。


          這個故事還有類似的案例。法國數(shù)學(xué)家貝特朗在他關(guān)于概率的書中提到了貝特朗盒悖論。他設(shè)想有3個盒子，一個盒子中有兩枚金幣，另一個盒子有兩枚銀幣，還有一個盒子中有一枚金幣、一枚銀幣。隨機(jī)抽取一個盒子，可以知道這個盒子中有兩枚相同硬幣的概率是2/3。

          但是如果我們從這個盒子里拿出一枚硬幣，看后確認(rèn)是金幣，那么這個盒子只可能是以下兩種情況之一：要么有兩枚金幣，要么是一枚金幣和一枚銀幣。既然任何一個盒子被選中的概率都是相同的，那么似乎看上去，我們拿到有相同硬幣的盒子的概率從2/3下降到了1/2。如果我們一開始拿出的是銀幣，那么也可以做出同樣的推導(dǎo)。

          原本盒子里有兩枚相同硬幣的概率是2/3，為何一打開盒子就改變了它的概率呢？這是因為當(dāng)我們拿出金幣時，其實(shí)已經(jīng)確認(rèn)了一些事情—知道了它是來自哪兩個盒子，但這個信息是額外獲得的。

          如果要得出盒子中兩枚相同硬幣的概率，就必須把取出的金幣是來自哪個盒子的概率也考慮進(jìn)去。從有兩枚金幣的盒子中拿出金幣，和從有一枚金幣和一枚銀幣的盒子中拿出金幣的概率是不同的。前者隨便怎么拿都能拿出金幣，后者拿出金幣的概率只有1/2。我們不能忽略這個額外信息背后隱藏著的條件概率。

          概率關(guān)注的是未知事件發(fā)生的可能性，一旦某個事件被確認(rèn)過，它就不再是未知的。面對黑盒時，我們不能確定的是兩枚硬幣的分布情況。而當(dāng)我們拿出其中一枚硬幣查看時，已經(jīng)人為地把一枚不確定的硬幣變成了確定狀態(tài)，此時概率的“前提條件”就變了，一些未知的事件變成了已知。

          概率問題之所以有時反直覺，是因為它要根據(jù)不同的前提或假設(shè)做出不同的推算。我們必須認(rèn)識到，獲取信息的方式和信息本身同樣重要。一旦我們使用了一些非隨機(jī)的方式去干預(yù)或影響本該隨機(jī)發(fā)生的事件，概率也就會隨之發(fā)生變化。

          關(guān)于作者：徐晟，某商業(yè)銀行IT技術(shù)主管，畢業(yè)于上海交通大學(xué)，從事IT技術(shù)領(lǐng)域工作十余年，對科技發(fā)展、人工智能有自己獨(dú)到的見解，專注于智能運(yùn)維（AIOps）、數(shù)據(jù)可視化、容量管理等方面工作。

          本文摘編自《大話機(jī)器智能：一書看透AI的底層運(yùn)行邏輯》，經(jīng)出版方授權(quán)發(fā)布。（ISBN：9787111696193）

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          據(jù)統(tǒng)計，99%的大咖都關(guān)注了這個公眾號
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