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1.列舉常用的最優(yōu)化方法

2.梯度下降法的關(guān)鍵點

梯度下降法沿著梯度的反方向進行搜索，利用了函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)信息。梯度下降法的迭代公式為：

根據(jù)函數(shù)的一階泰勒展開，在負梯度方向，函數(shù)值是下降的。只要學(xué)習(xí)率設(shè)置的足夠小，并且沒有到達梯度為0的點處，每次迭代時函數(shù)值一定會下降。需要設(shè)置學(xué)習(xí)率為一個非常小的正數(shù)的原因是要保證迭代之后的xk+1位于迭代之前的值xk的鄰域內(nèi)，從而可以忽略泰勒展開中的高次項，保證迭代時函數(shù)值下降。

梯度下降法只能保證找到梯度為0的點，不能保證找到極小值點。迭代終止的判定依據(jù)是梯度值充分接近于0，或者達到最大指定迭代次數(shù)。

梯度下降法在機器學(xué)習(xí)中應(yīng)用廣泛，尤其是在深度學(xué)習(xí)中。AdaDelta，AdaGrad，Adam，NAG等改進的梯度下降法都是用梯度構(gòu)造更新項，區(qū)別在于更新項的構(gòu)造方式不同。對梯度下降法更全面的介紹可以閱讀SIGAI之前的公眾號文章“理解梯度下降法”。

3.牛頓法的關(guān)鍵點

牛頓法利用了函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)信息，直接尋找梯度為0的點。牛頓法的迭代公式為：

其中H為Hessian矩陣，g為梯度向量。牛頓法不能保證每次迭代時函數(shù)值下降，也不能保證收斂到極小值點。在實現(xiàn)時，也需要設(shè)置學(xué)習(xí)率，原因和梯度下降法相同，是為了能夠忽略泰勒展開中的高階項。學(xué)習(xí)率的設(shè)置通常采用直線搜索（line search）技術(shù)。

在實現(xiàn)時，一般不直接求Hessian矩陣的逆矩陣，而是求解下面的線性方程組：

其解d稱為牛頓方向。迭代終止的判定依據(jù)是梯度值充分接近于0，或者達到最大指定迭代次數(shù)。

牛頓法比梯度下降法有更快的收斂速度，但每次迭代時需要計算Hessian矩陣，并求解一個線性方程組，運算量大。另外，如果Hessian矩陣不可逆，則這種方法失效。

4.拉格朗日乘數(shù)法

拉格朗日乘數(shù)法是一個理論結(jié)果，用于求解帶有等式約束的函數(shù)極值。對于如下問題：

構(gòu)造拉格朗日乘子函數(shù)：

在最優(yōu)點處對x和乘子變量的導(dǎo)數(shù)都必須為0：

解這個方程即可得到最優(yōu)解。對拉格朗日乘數(shù)法更詳細的講解可以閱讀任何一本高等數(shù)學(xué)教材。機器學(xué)習(xí)中用到拉格朗日乘數(shù)法的地方有：

5.凸優(yōu)化

數(shù)值優(yōu)化算法面臨兩個方面的問題：局部極值，鞍點。前者是梯度為0的點，也是極值點，但不是全局極小值；后者連局部極值都不是，在鞍點處Hessian矩陣不定，即既非正定，也非負定。

凸優(yōu)化通過對目標函數(shù)，優(yōu)化變量的可行域進行限定，可以保證不會遇到上面兩個問題。凸優(yōu)化是一類特殊的優(yōu)化問題，它要求：

凸優(yōu)化最好的一個性質(zhì)是：所有局部最優(yōu)解一定是全局最優(yōu)解。對于凸優(yōu)化更詳細的講解可以閱讀SIGAI之前的公眾號文章“理解凸優(yōu)化”。機器學(xué)習(xí)中典型的凸優(yōu)化問題有：

6.拉格朗日對偶

對偶是最優(yōu)化方法里的一種方法，它將一個最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成另外一個問題，二者是等價的。拉格朗日對偶是其中的典型例子。對于如下帶等式約束和不等式約束的優(yōu)化問題：

與拉格朗日乘數(shù)法類似，構(gòu)造廣義拉格朗日函數(shù)：

必須滿足的約束。原問題為：

即先固定住x，調(diào)整拉格朗日乘子變量，讓函數(shù)L取極大值；然后控制變量x，讓目標函數(shù)取極小值。原問題與我們要優(yōu)化的原始問題是等價的。

對偶問題為：

和原問題相反，這里是先控制變量x，讓函數(shù)L取極小值；然后控制拉格朗日乘子變量，讓函數(shù)取極大值。

一般情況下，原問題的最優(yōu)解大于等于對偶問題的最優(yōu)解，這稱為弱對偶。在某些情況下，原問題的最優(yōu)解和對偶問題的最優(yōu)解相等，這稱為強對偶。

強對偶成立的一種條件是Slater條件：一個凸優(yōu)化問題如果存在一個候選x使得所有不等式約束都是嚴格滿足的，即對于所有的i都有gi (x)<0，不等式不取等號，則強對偶成立，原問題與對偶問題等價。注意，Slater條件是強對偶成立的充分條件而非必要條件。

拉格朗日對偶在機器學(xué)習(xí)中的典型應(yīng)用是支持向量機。

7.KKT條件

KKT條件是拉格朗日乘數(shù)法的推廣，用于求解既帶有等式約束，又帶有不等式約束的函數(shù)極值。對于如下優(yōu)化問題：

和拉格朗日對偶的做法類似，KKT條件構(gòu)如下乘子函數(shù)：

和稱為KKT乘子。在最優(yōu)解處應(yīng)該滿足如下條件：

等式約束

和不等式約束

是本身應(yīng)該滿足的約束，和之前的拉格朗日乘數(shù)法一樣。唯一多了關(guān)于gi (x)的條件：

KKT條件只是取得極值的必要條件而不是充分條件。

8.特征值與特征向量

對于一個n階矩陣A，如果存在一個數(shù)和一個非0向量X，滿足：

則稱為矩陣A的特征值，X為該特征值對應(yīng)的特征向量。根據(jù)上面的定義有下面線性方程組

成立：

上式左邊的多項式稱為矩陣的特征多項式。矩陣的跡定義為主對角線元素之和：

根據(jù)韋達定理，矩陣所有特征值的和為矩陣的跡：

同樣可以證明，矩陣所有特征值的積為矩陣的行列式：

利用特征值和特征向量，可以將矩陣對角化，即用正交變換將矩陣化為對角陣。實對稱矩陣一定可以對角化，半正定矩陣的特征值都大于等于0，在機器學(xué)習(xí)中，很多矩陣都滿足這些條件。特征值和特征向量在機器學(xué)習(xí)中的應(yīng)用包括：正態(tài)貝葉斯分類器、主成分分析，流形學(xué)習(xí)，線性判別分析，譜聚類等。

9.奇異值分解

矩陣對角化只適用于方陣，如果不是方陣也可以進行類似的分解，這就是奇異值分解，簡稱SVD。假設(shè)A是一個m x n的矩陣，則存在如下分解：

其中U為m x m的正交矩陣，其列稱為矩陣A的左奇異向量；為m x n的對角矩陣，除了主對角線以外，其他元素都是0；V為n x n的正交矩陣，其行稱為矩陣A的右奇異向量。U的列為AAT的特征向量，V的列為AT A的特征向量。

10.最大似然估計

有些應(yīng)用中已知樣本服從的概率分布，但是要估計分布函數(shù)的參數(shù)，確定這些參數(shù)常用的一種方法是最大似然估計。

最大似然估計構(gòu)造一個似然函數(shù)，通過讓似然函數(shù)最大化，求解出。最大似然估計的直觀解釋是，尋求一組參數(shù)，使得給定的樣本集出現(xiàn)的概率最大。

假設(shè)樣本服從的概率密度函數(shù)為，其中X為隨機變量，為要估計的參數(shù)。給定一組樣本xi,i =1,...,l，它們都服從這種分布，并且相互獨立。最大似然估計構(gòu)造如下似然函數(shù)：

其中xi是已知量，這是一個關(guān)于的函數(shù)，我們要讓該函數(shù)的值最大化，這樣做的依據(jù)是這組樣本發(fā)生了，因此應(yīng)該最大化它們發(fā)生的概率，即似然函數(shù)。這就是求解如下最優(yōu)化問題：

乘積求導(dǎo)不易處理，因此我們對該函數(shù)取對數(shù)，得到對數(shù)似然函數(shù)：

最后要求解的問題為：

最大似然估計在機器學(xué)習(xí)中的典型應(yīng)用包括logistic回歸，貝葉斯分類器，隱馬爾科夫模型等。

1.有監(jiān)督學(xué)習(xí)與無監(jiān)督學(xué)習(xí)

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)是否帶有標簽值，可以將機器學(xué)習(xí)算法分成有監(jiān)督學(xué)習(xí)和無監(jiān)督學(xué)習(xí)兩類。有監(jiān)督學(xué)習(xí)的樣本數(shù)據(jù)帶有標簽值，它從訓(xùn)練樣本中學(xué)習(xí)得到一個模型，然后用這個模型對新的樣本進行預(yù)測推斷。有監(jiān)督學(xué)習(xí)的典型代表是分類問題和回歸問題。

無監(jiān)督學(xué)習(xí)對沒有標簽的樣本進行分析，發(fā)現(xiàn)樣本集的結(jié)構(gòu)或者分布規(guī)律。無監(jiān)督學(xué)習(xí)的典型代表是聚類，表示學(xué)習(xí)，和數(shù)據(jù)降維，它們處理的樣本都不帶有標簽值。

2.分類問題與回歸問題

在有監(jiān)督學(xué)習(xí)中，如果樣本的標簽是整數(shù)，則預(yù)測函數(shù)是一個向量到整數(shù)的映射，這稱為分類問題。如果標簽值是連續(xù)實數(shù)，則稱為回歸問題，此時預(yù)測函數(shù)是向量到實數(shù)的映射。

3.生成模型與判別模型

分類算法可以分成判別模型和生成模型。給定特征向量x與標簽值y，生成模型對聯(lián)合概率p(x,y)建模，判別模型對條件概率p(y|x)進行建模。另外，不使用概率模型的分類器也被歸類為判別模型，它直接得到預(yù)測函數(shù)而不關(guān)心樣本的概率分布：

判別模型直接得到預(yù)測函數(shù)f(x)，或者直接計算概率值p(y|x)，比如SVM和logistic回歸，softmax回歸，判別模型只關(guān)心決策面，而不管樣本的概率分布的密度。

生成模型計算p(x, y)或者p(x|y) ，通俗來說，生成模型假設(shè)每個類的樣本服從某種概率分布，對這個概率分布進行建模。

機器學(xué)習(xí)中常見的生成模型有貝葉斯分類器，高斯混合模型，隱馬爾可夫模型，受限玻爾茲曼機，生成對抗網(wǎng)絡(luò)等。典型的判別模型有決策樹，kNN算法，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，支持向量機，logistic回歸，AdaBoost算法等。

4.交叉驗證

交叉驗證（cross validation）是一種統(tǒng)計準確率的技術(shù)。k折交叉驗證將樣本隨機、均勻的分成k份，輪流用其中的k-1份訓(xùn)練模型，1份用于測試模型的準確率，用k個準確率的均值作為最終的準確率。

5.過擬合與欠擬合

欠擬合也稱為欠學(xué)習(xí)，直觀表現(xiàn)是訓(xùn)練得到的模型在訓(xùn)練集上表現(xiàn)差，沒有學(xué)到數(shù)據(jù)的規(guī)律。引起欠擬合的原因有模型本身過于簡單，例如數(shù)據(jù)本身是非線性的但使用了線性模型；特征數(shù)太少無法正確的建立映射關(guān)系。

過擬合也稱為過學(xué)習(xí)，直觀表現(xiàn)是在訓(xùn)練集上表現(xiàn)好，但在測試集上表現(xiàn)不好，推廣泛化性能差。過擬合產(chǎn)生的根本原因是訓(xùn)練數(shù)據(jù)包含抽樣誤差，在訓(xùn)練時模型將抽樣誤差也進行了擬合。所謂抽樣誤差，是指抽樣得到的樣本集和整體數(shù)據(jù)集之間的偏差。引起過擬合的可能原因有：

模型本身過于復(fù)雜，擬合了訓(xùn)練樣本集中的噪聲。此時需要選用更簡單的模型，或者對模型進行裁剪。訓(xùn)練樣本太少或者缺乏代表性。此時需要增加樣本數(shù)，或者增加樣本的多樣性。訓(xùn)練樣本噪聲的干擾，導(dǎo)致模型擬合了這些噪聲，這時需要剔除噪聲數(shù)據(jù)或者改用對噪聲不敏感的模型。

6.偏差與方差分解

模型的泛化誤差可以分解成偏差和方差。偏差是模型本身導(dǎo)致的誤差，即錯誤的模型假設(shè)所導(dǎo)致的誤差，它是模型的預(yù)測值的數(shù)學(xué)期望和真實值之間的差距。

方差是由于對訓(xùn)練樣本集的小波動敏感而導(dǎo)致的誤差。它可以理解為模型預(yù)測值的變化范圍，即模型預(yù)測值的波動程度。

模型的總體誤差可以分解為偏差的平方與方差之和：

如果模型過于簡單，一般會有大的偏差和小的方差；反之如果模型復(fù)雜則會有大的方差但偏差很小。

7.正則化

為了防止過擬合，可以為損失函數(shù)加上一個懲罰項，對復(fù)雜的模型進行懲罰，強制讓模型的參數(shù)值盡可能小以使得模型更簡單，加入懲罰項之后損失函數(shù)為：

正則化被廣泛應(yīng)用于各種機器學(xué)習(xí)算法，如嶺回歸，LASSO回歸，logistic回歸，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。除了直接加上正則化項之外，還有其他強制讓模型變簡單的方法，如決策樹的剪枝算法，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練中的dropout技術(shù)，提前終止技術(shù)等。

8.維數(shù)災(zāi)難

為了提高算法的精度，會使用越來越多的特征。當特征向量維數(shù)不高時，增加特征確實可以帶來精度上的提升；但是當特征向量的維數(shù)增加到一定值之后，繼續(xù)增加特征反而會導(dǎo)致精度的下降，這一問題稱為維數(shù)災(zāi)難。

貝葉斯分類器將樣本判定為后驗概率最大的類，它直接用貝葉斯公式解決分類問題。假設(shè)樣本的特征向量為x，類別標簽為y，根據(jù)貝葉斯公式，樣本屬于每個類的條件概率（后驗概率）為：

分母p(x)對所有類都是相同的，分類的規(guī)則是將樣本歸到后驗概率最大的那個類，不需要計算準確的概率值，只需要知道屬于哪個類的概率最大即可，這樣可以忽略掉分母。分類器的判別函數(shù)為：

在實現(xiàn)貝葉斯分類器時，需要知道每個類的條件概率分布p(x|y)即先驗概率。一般假設(shè)樣本服從正態(tài)分布。訓(xùn)練時確定先驗概率分布的參數(shù)，一般用最大似然估計，即最大化對數(shù)似然函數(shù)。

如果假設(shè)特征向量的各個分量之間相互獨立，則稱為樸素貝葉斯分類器，此時的分類判別函數(shù)為：

實現(xiàn)時可以分為特征分量是離散變量和連續(xù)變量兩種情況。貝葉斯分分類器是一種生成模型，可以處理多分類問題，是一種非線性模型。

決策樹是一種基于規(guī)則的方法，它用一組嵌套的規(guī)則進行預(yù)測。在樹的每個決策節(jié)點處，根據(jù)判斷結(jié)果進入一個分支，反復(fù)執(zhí)行這種操作直到到達葉子節(jié)點，得到預(yù)測結(jié)果。這些規(guī)則通過訓(xùn)練得到，而不是人工制定的。

決策樹既可以用于分類問題，也可以用于回歸問題。分類樹的映射函數(shù)是多維空間的分段線性劃分，用平行于各坐標軸的超平面對空間進行切分；回歸樹的映射函數(shù)是分段常數(shù)函數(shù)。決策樹是分段線性函數(shù)而不是線性函數(shù)。只要劃分的足夠細，分段常數(shù)函數(shù)可以逼近閉區(qū)間上任意函數(shù)到任意指定精度，因此決策樹在理論上可以對任意復(fù)雜度的數(shù)據(jù)進行擬合。對于分類問題，如果決策樹深度夠大，它可以將訓(xùn)練樣本集的所有樣本正確分類。

決策樹的訓(xùn)練算法是一個遞歸的過程，首先創(chuàng)建根節(jié)點，然后遞歸的建立左子樹和右子樹。如果練樣本集為D，訓(xùn)練算法的流程為：

對于分類樹，如果采用Gini系數(shù)作為度量準則，決策樹在訓(xùn)練時尋找最佳分裂的依據(jù)為讓Gini不純度最小化，這等價于讓下面的值最大化：

尋找最佳分裂時需要計算用每個閾值對樣本集進行分裂后的純度值，尋找該值最大時對應(yīng)的分裂，它就是最佳分裂。如果是數(shù)值型特征，對于每個特征將l個訓(xùn)練樣本按照該特征的值從小到大排序，假設(shè)排序后的值為：

接下來從x1開始，依次用每個xi作為閾值，將樣本分成左右兩部分，計算上面的純度值，該值最大的那個分裂閾值就是此特征的最佳分裂閾值。在計算出每個特征的最佳分裂閾值和上面的純度值后，比較所有這些分裂的純度值大小，該值最大的分裂為所有特征的最佳分裂。

決策樹可以處理屬性缺失問題，采用的方法是使用替代分裂規(guī)則。為了防止過擬合，可以對樹進行剪枝，讓模型變得更簡單。如果想要更詳細的了解決策樹的原理，請閱讀SIGAI之前的公眾號文章“理解決策樹”，在SIGAI云端實驗室有決策樹訓(xùn)練算法的原理實驗，此功能免費，網(wǎng)址為：

www.sigai.cn

決策樹是一種判別模型，既支持分類問題，也支持回歸問題，是一種非線性模型，它支持多分類問題。

隨機森林是一種集成學(xué)習(xí)算法，是Bagging算法的具體實現(xiàn)。集成學(xué)習(xí)是機器學(xué)習(xí)中的一種思想，而不是某一具體算法，它通過多個模型的組合形成一個精度更高的模型，參與組合的模型稱為弱學(xué)習(xí)器。在預(yù)測時使用這些弱學(xué)習(xí)器模型聯(lián)合進行預(yù)測，訓(xùn)練時需要依次訓(xùn)練出這些弱學(xué)習(xí)器。

隨機森林用有放回抽樣（Bootstrap抽樣）構(gòu)成出的樣本集訓(xùn)練多棵決策樹，訓(xùn)練決策樹的每個節(jié)點時只使用了隨機抽樣的部分特征。預(yù)測時，對于分類問題，一個測試樣本會送到每一棵決策樹中進行預(yù)測，然后投票，得票最多的類為最終分類結(jié)果。對于回歸問題，隨機森林的預(yù)測輸出是所有決策樹輸出的均值。

假設(shè)有n個訓(xùn)練樣本。訓(xùn)練每一棵樹時，從樣本集中有放回的抽取n個樣本，每個樣本可能會被抽中多次，也可能一次都沒抽中。如果樣本量很大，在整個抽樣過程中每個樣本有0.368的概率不被抽中。由于樣本集中各個樣本是相互獨立的，在整個抽樣中所有樣本大約有36.8%沒有被抽中。這部分樣本稱為包外（Out Of Bag，簡稱OOB）數(shù)據(jù)。

用這個抽樣的樣本集訓(xùn)練一棵決策樹，訓(xùn)練時，每次尋找最佳分裂時，還要對特征向量的分量采樣，即只考慮部分特征分量。由于使用了隨機抽樣，隨機森林泛化性能一般比較好，可以有效的降低模型的方差。

如果想更詳細的了解隨機森林的原理，請閱讀SIGAI之前的公眾號文章“隨機森林概述”。隨機森林是一種判別模型，既支持分類問題，也支持回歸問題，并且支持多分類問題，這是一種非線性模型。

AdaBoost算法也是一種集成學(xué)習(xí)算法，用于二分類問題，是Boosting算法的一種實現(xiàn)。它用多個弱分類器的線性組合來預(yù)測，訓(xùn)練時重點關(guān)注錯分的樣本，準確率高的弱分類器權(quán)重大。AdaBoost算法的全稱是自適應(yīng)，它用弱分類器的線性組合來構(gòu)造強分類器。弱分類器的性能不用太好，僅比隨機猜測強，依靠它們可以構(gòu)造出一個非常準確的強分類器。強分類器的計算公式為：

其中x是輸入向量，F(xiàn)(x)是強分類器，ft(x)是弱分類器，at是弱分類器的權(quán)重，T為弱分類器的數(shù)量，弱分類器的輸出值為+1或-1，分別對應(yīng)正樣本和負樣本。分類時的判定規(guī)則為：

強分類器的輸出值也為+1或-1，同樣對應(yīng)于正樣本和負樣本。

訓(xùn)練時，依次訓(xùn)練每一個若分類器，并得到它們的權(quán)重值。訓(xùn)練樣本帶有權(quán)重值，初始時所有樣本的權(quán)重相等，在訓(xùn)練過程中，被前面的弱分類器錯分的樣本會加大權(quán)重，反之會減小權(quán)重，這樣接下來的弱分類器會更加關(guān)注這些難分的樣本。弱分類器的權(quán)重值根據(jù)它的準確率構(gòu)造，精度越高的弱分類器權(quán)重越大。

給定l個訓(xùn)練樣本(xi,yi )，其中xi是特征向量，yi為類別標簽，其值為+1或-1。訓(xùn)練算法的流程為：

根據(jù)計算公式，錯誤率低的弱分類器權(quán)重大，它是準確率的增函數(shù)。AdaBoost算法在訓(xùn)練樣本集上的錯誤率會隨著弱分類器數(shù)量的增加而指數(shù)級降低。它能有效的降低模型的偏差。

AdaBoost算法從廣義加法模型導(dǎo)出，訓(xùn)練時求解的是指數(shù)損失函數(shù)的極小值：

求解時采用了分階段優(yōu)化，先得到弱分類器，然后確定弱分類器的權(quán)重值，這就是弱分類器，弱分類器權(quán)重的來歷。除了離散型AdaBoost之外，從廣義加法模型還可以導(dǎo)出其他幾種AdaBoost算法，分別是實數(shù)型AdaBoost，Gentle型AdaBoost，Logit型AdaBoost，它們使用了不同的損失函數(shù)和最優(yōu)化算法。

標準的AdaBoost算法是一種判別模型，只能支持二分類問題。它的改進型可以處理多分類問題。

主成分分析是一種數(shù)據(jù)降維和去除相關(guān)性的方法，它通過線性變換將向量投影到低維空間。對向量進行投影就是對向量左乘一個矩陣，得到結(jié)果向量：

y = Wx

結(jié)果向量的維數(shù)小于原始向量的維數(shù)。降維要確保的是在低維空間中的投影能很好的近似表達原始向量，即重構(gòu)誤差最小化：

其中e為投影后空間的基向量，是標準正交基；a為重構(gòu)系數(shù)，也是投影到低維空間后的坐標。如果定義如下的散布矩陣：

其中m和為所有樣本的均值向量。則上面的重構(gòu)誤差最小化等價于求解如下問題：

通過拉格朗日乘數(shù)法可以證明，使得該函數(shù)取最小值的ej為散度矩陣最大的d'個特征值對應(yīng)的單位長度特征向量。矩陣W的列ej是我們要求解的基向量，由它們構(gòu)成投影矩陣。計算時，先計算散布矩陣（或者協(xié)方差矩陣），再對該進行進行特征值分解，找到最大的一部分特征值和對應(yīng)的特征向量，構(gòu)成投影矩陣?？梢宰C明，協(xié)方差矩陣或散布矩陣是實對稱半正定矩陣，因此所有特征值非負。進行降維時，先將輸入向量減掉均值向量，然后左乘投影矩陣，即可得到投影后的向量。

主成分分析一種無監(jiān)督學(xué)習(xí)算法，也是一種線性方法。

線性判別分析向最大化類間差異、最小化類內(nèi)差異的方向線性投影。其基本思想是通過線性投影來最小化同類樣本間的差異，最大化不同類樣本間的差異。具體做法是尋找一個向低維空間的投影矩陣W，樣本的特征向量x經(jīng)過投影之后得到的新向量：

y = Wx

同一類樣投影后的結(jié)果向量差異盡可能小，不同類的樣本差異盡可能大。簡單的說，就是經(jīng)過這個投影之后同一類的樣本進來聚集在一起，不同類的樣本盡可能離得遠。這種最大化類間差異，最小化類內(nèi)差異的做法，在機器學(xué)習(xí)的很多地方都有使用。

類內(nèi)散布矩陣定義為：

它衡量的內(nèi)類樣本的發(fā)散程度。其中mi為每個類的均值向量，m為所有樣本的均值向量。類間散布矩陣定義為：

它衡量的了各類樣本之間的差異。訓(xùn)練時的優(yōu)化目標是類間差異與類內(nèi)差異的比值：

上面的問題帶有冗余，如果w是最優(yōu)解，將其乘以一個不為0的系數(shù)之后還是最優(yōu)解。為了消掉冗余，加上如下約束：

然后使用拉格朗日乘數(shù)法，最后歸結(jié)于求解矩陣的特征值與特征向量：

LDA是有監(jiān)督的學(xué)習(xí)算法，在計算過程中利用了樣本標簽值，是線性模型。LDA也不能直接用于分類和回歸問題，要對降維后的向量進行分類還需要借助其他算法。

kNN算法將樣本分到離它最相似的樣本所屬的類。算法本質(zhì)上使用了模板匹配的思想。要確定一個樣本的類別，可以計算它與所有訓(xùn)練樣本的距離，然后找出和該樣本最接近的k個樣本，統(tǒng)計這些樣本的類別進行投票，票數(shù)最多的那個類就是分類結(jié)果。

由于需要計算樣本間的距離，因此需要依賴距離定義，常用的有歐氏距離，Mahalanobis距離，Bhattacharyya距離。另外，還可以通過學(xué)習(xí)得到距離函數(shù)，這就是距離度量學(xué)習(xí)。

kNN算法是一種判別模型，即支持分類問題，也支持回歸問題，是一種非線性模型。它天然的支持多分類問題。kNN算法沒有訓(xùn)練過程，是一種基于實例的算法。

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種仿生的方法，參考了動物的神經(jīng)元結(jié)構(gòu)。從本質(zhì)上看，它是一個多層復(fù)合函數(shù)。對于多層前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，即權(quán)連接網(wǎng)絡(luò)，每一層實現(xiàn)的變換為：

其中W為權(quán)重矩陣，b為偏置向量，f為激活函數(shù)。正向傳播時反復(fù)用上上對每一層的輸出值進行計算，得到最終的輸出。使用激活函數(shù)是為了保證非線性，對于激活函數(shù)更深入全面的介紹請參考SIGAI之前的公眾號文章“理解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)”，“神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)總結(jié)”。萬能逼近定理保證了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以比較閉區(qū)間上任意一個連續(xù)函數(shù)。

權(quán)重和偏置通過訓(xùn)練得到，采用的是反向傳播算法。反向傳播算法從復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則導(dǎo)出，用于計算損失函數(shù)對權(quán)重，偏置的梯度值。算法從最外層的導(dǎo)數(shù)值算起，依次遞推的計算更內(nèi)層的導(dǎo)數(shù)值，這對應(yīng)于從神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出層算起，反向計算每個隱含層參數(shù)的導(dǎo)數(shù)值。其核心是誤差項的定義，定義誤差項為損失函數(shù)對臨時變量u的梯度：

其中，nl是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)。最后一個層的誤差項可以直接求出，其他層的誤差項根據(jù)上面的遞推公式進行計算。根據(jù)誤差項，可以計算出損失函數(shù)對每一層權(quán)重矩陣的梯度值：

以及對偏置向量的梯度值：

然后用梯度下降法對它們的值進行更新。參數(shù)初始化一般采用隨機數(shù)，而不是簡單的初始化為0。為了加快收斂速度，還可以使用動量項，它積累了之前的梯度信息。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時的損失函數(shù)不是凸函數(shù)，因此有陷入局部極值，鞍點的風險。另外，隨著層數(shù)的增加，會導(dǎo)致梯度消失問題，這是因為每次計算誤差項時都需要乘以激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值，如果其絕對值小于1，多次連乘之后導(dǎo)致誤差項趨向于0，從而使得計算出來的參數(shù)梯度值接近于0，參數(shù)無法有效的更新。

如果對反傳播算法的推導(dǎo)細節(jié)感興趣，可以閱讀SIGAI之前的公眾號文章“反向傳播算法推導(dǎo)-全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)”。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練算法可以總結(jié)為：

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) + 梯度下降法

標準的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種有監(jiān)督的學(xué)習(xí)算法，它是一種非線性模型，它既可以用于分類問題，也可以用于回歸問題，并且支持多分類問題。

支持向量機的核心思想是最大化分類間隔。簡單的支持向量機就是讓分類間隔最大化的線性分類器，找到多維空間中的一個超平面。它在訓(xùn)練是求解的問題為：

這從點到超平面的距離方程導(dǎo)出，通過增加一個約束條件消掉了優(yōu)化變量的冗余?？梢宰C明，這個問題是凸優(yōu)化問題，并且滿足Slater條件。這個問題帶有太多的不等式約束，不易求解，因此通過拉格朗日對偶轉(zhuǎn)換為對偶問題求解：

同樣的，這個問題也是凸優(yōu)化問題。此時支持向量機并不能解決非線性分類問題，通過使用核函數(shù)，將向量變換到高維空間，使它們更可能是線性可分的。而對向量先進行映射再做內(nèi)積，等價于先做內(nèi)積再做映射，因此核函數(shù)并不用顯式的對向量進行映射，而是對兩個向量的內(nèi)積進行映射，這是核函數(shù)的精髓。要理解核函數(shù)，可以閱讀SIGAI之前的公眾號文章“【實驗】理解SVM的核函數(shù)和參數(shù)”。

加入核函數(shù)K之后的對偶問題變?yōu)椋?/p>

預(yù)測函數(shù)為：

其中b通過KKT條件求出。如果使用正定核，這個問題也是凸優(yōu)化問題。求解采用了SMO算法，這是一種分治法，每次挑選出兩個變量進行優(yōu)化，其他變量保持不動。選擇優(yōu)化變量的依據(jù)是KKT條件，對這兩個變量的優(yōu)化是一個帶等式和不等式約束的二次函數(shù)極值問題，可以直接得到公式解。另外，這個子問題同樣是一個凸優(yōu)化問題。

標準的支持向量機只能解決二分類問題。對于多分類問題，可以用這種二分類器的組合來解決，有以下幾種方案：

1對剩余方案。對于有k個類的分類問題，訓(xùn)練k個二分類器。訓(xùn)練時第i個分類器的正樣本是第i類樣本，負樣本是除第i類之外其他類型的樣本，這個分類器的作用是判斷樣本是否屬于第i類。在進行分類時，對于待預(yù)測樣本，用每個分類器計算輸出值，取輸出值最大那個作為預(yù)測結(jié)果。

1對1方案。如果有k個類，訓(xùn)練Ck2個二分類器，即這些類兩兩組合。訓(xùn)練時將第i類作為正樣本，其他各個類依次作為負樣本，總共有k (k ? 1) / 2種組合。每個分類器的作用是判斷樣本是屬于第i類還是第j類。對樣本進行分類時采用投票的方法，依次用每個二分類器進行預(yù)測，如果判定為第m類，則m類的投票數(shù)加1，得票最多的那個類作為最終的判定結(jié)果。

除了通過二分類器的組合來構(gòu)造多類分類器之外，還可以通過直接優(yōu)化多類分類的目標函數(shù)得到多分類器。

SVM是一種判別模型。它既可以用于分類問題，也可以用于回歸問題。標準的SVM只能支持二分類問題，使用多個分類器的組合，可以解決多分類問題。如果不使用核函數(shù)，SVM是一個線性模型，如果使用非線性核，則是非線性模型，這可以從上面的預(yù)測函數(shù)看出。如果想更詳細的了解支持向量機，可以閱讀SIGAI之前的公眾號文章“用一張圖理解SVM的脈絡(luò)”。

logistic回歸是一種二分類算法，直接為樣本估計出它屬于正負樣本的概率。先將向量進行線性加權(quán)，然后計算logistic函數(shù)，可以得到[0,1]之間的概率值，它表示樣本x屬于正樣本的概率：

正樣本標簽值為1，負樣本為0。使用logistic函數(shù)的原因是它單調(diào)增，并且值域在(0, 1)之間，剛好符合概率的要求。訓(xùn)練時采用最大似然估計，求解對數(shù)似然函數(shù)的極值：

可以證明這是一個凸優(yōu)化問題，求解時可以用梯度下降法，也可以用牛頓法。如果正負樣本的標簽為+1和-1，則可以采用另外一種寫法：

訓(xùn)練時的目標同樣是最大化對數(shù)似然函數(shù)：

同樣的，這也是一個凸優(yōu)化問題。預(yù)測時并不需要計算logistic函數(shù)，而是直接計算：

Logistic回歸是一種二分類算法，雖然使用了概率，但它是一種判別模型！另外要注意的是，logistic回歸是一種線性模型，這從它的預(yù)測函數(shù)就可以看出。它本身不能支持多分類問題，它的擴展版本softmax回歸可以解決多分類問題。

K均值算法是一種聚類算法，把樣本分配到離它最近的類中心所屬的類，類中心由屬于這個類的所有樣本確定。

k均值算法是一種無監(jiān)督的聚類算法。算法將每個樣本分配到離它最近的那個類中心所代表的類，而類中心的確定又依賴于樣本的分配方案。

在實現(xiàn)時，先隨機初始化每個類的類中心，然后計算樣本與每個類的中心的距離，將其分配到最近的那個類，然后根據(jù)這種分配方案重新計算每個類的中心。這也是一種分階段優(yōu)化的策略。

與k近鄰算法一樣，這里也依賴于樣本之間的距離，因此需要定義距離的計算方式，最常用的是歐氏距離，也可以采用其他距離定義。算法在實現(xiàn)時要考慮下面幾個問題：

1.類中心向量的初始化。一般采用隨機初始化。最簡單的是Forgy算法，它從樣本集中隨機選擇k個樣本作為初始類中心。第二種方案是隨機劃分，它將所有樣本隨機的分配給k個類中的一個，然后按照這種分配方案計算各個類的類中心向量。

2.參數(shù)k的設(shè)定?？梢愿鶕?jù)先驗知識人工指定一個值，或者由算法自己確定。

3.迭代終止的判定規(guī)則。一般做法是計算本次迭代后的類中心和上一次迭代時的類中心之間的距離，如果小于指定閾值，則算法終止。

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是對全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，它使用卷積層，池化層自動學(xué)習(xí)各個尺度上的特征。卷積運算為：

在這里需要注意多通道卷積的實現(xiàn)，它的輸入圖像，卷積核都有多個通道，分別用各個通道的卷積核對輸入圖像的各個通道進行卷積，然后再累加。這里也使用了激活函數(shù)，原因和全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相同。池化運算最常見的有均值池化，max池化，分別用均值和最大值代替圖像的一塊矩形區(qū)域。使用池化的原因是為了降維，減小圖像的尺寸，另外，它還帶來了一定程度的平移和旋轉(zhuǎn)的不變性。Max池化是非線性操作，現(xiàn)在用的更多。

對于經(jīng)典的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，包括LeNet-5網(wǎng)絡(luò)，AlexNet，VGG網(wǎng)絡(luò)，GoogLeNet，殘差網(wǎng)絡(luò)等經(jīng)典的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，創(chuàng)新點，要熟記于心。

自Alex網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)之后，各種改進的卷積網(wǎng)絡(luò)不斷被提出。這些改進主要在以下幾個方面進行：卷積層，池化層，激活函數(shù)，損失函數(shù)，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。對于這些典型的改進，也要深刻理解。

由于引入了卷積層和池化層，因此反向傳播算法需要為這兩種層進行考慮。卷積層誤差項的反向傳播的公式為

根據(jù)誤差項計算卷積核梯度值的公式為：

如果采用均值池化，池化層的誤差項反向傳播計算公式為：

如果使用max池化，則為：

注意，池化層沒有需要訓(xùn)練得到的參數(shù)。如果對卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反向傳播算法的推導(dǎo)感興趣，可以閱讀SIGAI之前的公眾號文章“反向傳播算法推導(dǎo)-卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)”。

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有遷移學(xué)習(xí)的能力，我們可以把這個網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)作為訓(xùn)練的初始值，在新的任務(wù)上繼續(xù)訓(xùn)練，這種做法稱為fine-tune，即網(wǎng)絡(luò)微調(diào)。大量的實驗結(jié)果和應(yīng)用結(jié)果證明，這種微調(diào)是有效的。這說明卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在一定程度上具有遷移學(xué)習(xí)的能力，卷積層學(xué)習(xí)到的特征具有通用性。VGG網(wǎng)絡(luò)在ImageNet數(shù)據(jù)集上的訓(xùn)練結(jié)果在進行微調(diào)之后，被廣泛應(yīng)用于目標檢測、圖像分割等任務(wù)。

和全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一樣，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個判別模型，它既可以用于分類問題，也可以用用于回歸問題，并且支持多分類問題。

循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種具有記憶功能的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，每次計算時，利用了上一個時刻的記憶值，特別適合序列數(shù)據(jù)分析。網(wǎng)絡(luò)接受的是一個序列數(shù)據(jù)，即一組向量，依次把它們輸入網(wǎng)絡(luò)，計算每個時刻的輸出值。記憶功能通過循環(huán)神層實現(xiàn)：

它同時利用了本時刻的輸入值和上一個時刻的記憶值。輸出層的變換為：

這和普通神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)沒什么區(qū)別。由于引入了循環(huán)層，因此反向傳播算法有所不同，稱為BPTT，即時間軸上的反向傳播算法。算法從最后一個時刻算起，沿著時間軸往前推。誤差項的遞推公式為：

遞推的終點為最后一個時刻。

根據(jù)誤差項計算對權(quán)重和偏置的梯度值的公式為：

循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同樣存在梯度消失問題，因此出現(xiàn)了LSTM，GRU等結(jié)構(gòu)。

以循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為基礎(chǔ)，構(gòu)造出了兩類通用的框架，分別是連接主義時序分類（CTC），以及序列到序列學(xué)習(xí)（seq2seq）。用于解決語音識別，自然語言處理中的問題。其中，seq2seq采用了編碼器-解碼器結(jié)構(gòu)，用兩個循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合起來完成計算，一個充當編碼器，一個充當解碼器。

和其他類型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一樣，循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個判別模型，既支持分類問題，也支持回歸問題，并且支持多分類問題。

高斯混合模型通過多個正態(tài)分布的加權(quán)和來描述一個隨機變量的概率分布，概率密度函數(shù)定義為：

其中x為隨機向量，k為高斯分布的個數(shù)，wi為權(quán)重，為高斯分布的均值向量，為協(xié)方差矩陣。所有權(quán)重之和為1，即：

任意一個樣本可以看作是先從k個高斯分布中選擇出一個，選擇第i個高斯分布的概率為wi，再由第i個高斯分布產(chǎn)生出這個樣本數(shù)據(jù)x。高斯混合模型可以逼近任何一個連續(xù)的概率分布，因此它可以看做是連續(xù)性概率分布的萬能逼近器。之所有要保證權(quán)重的和為1，是因為概率密度函數(shù)必須滿足在內(nèi)的積分值為1。

指定高斯分布的個數(shù)，給定一組訓(xùn)練樣本，可以通過期望最大化EM算法確定高斯混合模型的參數(shù)。每次迭代時，在E步計算期望值，在M步最大化期望值，如此循環(huán)交替。