抽樣分布：經常聽到的卡方分布、t分布等的含義是啥？
“ 統(tǒng)計學相關知識，是數(shù)據科學重要的基礎之一。”
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抽樣分布
首先，什么是抽樣分布呢？
在上篇文章中，我們介紹了統(tǒng)計量的概念（不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)，就叫統(tǒng)計量），統(tǒng)計量的分布，就是抽樣分布。
抽樣分布中，最常用的分布其實是4種：z 分布（即正態(tài)分布）、卡方分布、t分布、F分布。每種分布對應假設檢驗中的一種檢驗方法，后續(xù)講假設檢驗的時候再詳細講解。因此這幾種分布的知識是后續(xù)重要的基礎。
關于正態(tài)分布大家都比較了解，因此重點闡述一下后面的三種分布。
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卡方分布
先介紹一下卡方分布相關的內容。
（1）卡方分布的定義
定義：當 
，則以下的統(tǒng)計量（即樣本取平方后求和）：
服從自由度為n的
分布，即卡方分布。記為：
。這里的自由度，指的就是獨立變量的個數(shù)，因此肯定是正整數(shù)。
（2）卡方分布的圖像及特點
卡方分布的圖像如下：
當自由度是2的時候，比較特殊，剛好是指數(shù)分布。
當自由度大于2的時候，卡方分布的曲線都是單峰曲線，在n-2處取得峰值。
曲線關于x=n-2是不對稱的，當n越大，峰向右移動；當n無限大時，可以用正態(tài)分布近似。
（3）卡方分布的相關定理
卡方分布的期望和方差有以下特點：
卡方分布具有可加性。當兩個（或者多個）隨機變量均服從卡方分布時，且相互獨立，那么加和之后的分布也服從卡方分布，自由度是兩個自由度之和，即：
關于卡方分布，就主要介紹這些。
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t分布
接下來我們介紹一下t分布。
（1）t分布的定義
定義：當 ， Y服從自由度是n的卡方分布，且X、Y相互獨立，則以下的統(tǒng)計量
服從自由度為n的t分布。因此，t分布是由標準正態(tài)分布和卡方分布構造的分布。
（2）圖像及特征
t分布的圖像如下：
t分布是具有對稱性的。
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F分布
最后我們介紹一下F分布。
（1）F分布的定義
定義：當
，且U、V相互獨立，則以下的統(tǒng)計量
服從自由度為 
的F分布。這里的兩個自由度是有先后順序關系的。因此，如果互換一下分子分母，很容易得出結論：
從上面很容易了解到，F(xiàn)分布是由兩個卡方分布構造的。
（2）F分布的圖像
F分布的圖像如下：
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正態(tài)總體下的抽樣分布
幾個重要的分布講完了，最后我們再介紹一下在總體是正態(tài)分布的前提下，常用統(tǒng)計量的分布規(guī)律。再強調一下，下面的規(guī)律都是基于總體服從正態(tài)分布的前提，這里只需要總體是正態(tài)分布即可，不需要是標準正態(tài)分布。
以下的這幾個抽樣分布還是很重要的，后續(xù)做區(qū)間估計的時候會用到這幾個構造樞軸變量，用以進行總體參數(shù)估計。
（1）關于樣本均值的分布
樣本均值經過以下標準化后，服從標準正態(tài)分布。
即樣本均值的期望等于總體期望，樣本均值的方差是總體方差的n分之一。
若將分母中的總體標準差改為樣本標準差，則服從自由度為n-1的t分布：
這兩個不同處理之下的不同分布，還是需要注意一下。
（2）關于樣本方差的分布
樣本方差乘以系數(shù)后，服從自由度為n-1的卡方分布：
需要注意的是，這里的自由度是n-1，因為這里樣本方差是用每個樣本減去樣本均值。如果改為減去總體均值，其他內容不變，則服從自由度為n的卡方分布。因為樣本均值多了一個約束（均值公式），因此自由度少了一個。
（3）關于樣本均值和樣本方差的關系
樣本均值和樣本方差相互獨立。
（4）兩個正態(tài)總體時，兩樣本的關系
上面講到的幾個都是在單個正態(tài)總體的情況下。當有兩個正態(tài)總體時，兩個樣本的方差和兩個總體方差有以下分布：
即處理后的分布服從F分布。
另外，一種特殊情況下，當
時，
其中，
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