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來源：Deephub IMBA

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本文為你詳細介紹常用的連續(xù)概率分布。

在數(shù)學中，連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)（在不至于混淆時可以簡稱為密度函數(shù)）是一個描述這個隨機變量的輸出值，在某個確定的取值點附近的可能性的函數(shù)。而隨機變量的取值落在某個區(qū)域之內的概率則為概率密度函數(shù)在這個區(qū)域上的積分。

均勻分布

在概率論和統(tǒng)計學中，均勻分布也叫矩形分布，它是對稱概率分布，在相同長度間隔的分布概率是等可能的。均勻分布由兩個參數(shù)a和b定義，它們是數(shù)軸上的最小值和最大值，通常縮寫為U（a，b）。

CDF曲線是

累積分布函數(shù)(Cumulative Distribution Function)，又叫分布函數(shù)，是概率密度函數(shù)的積分，能完整描述一個實隨機變量X的概率分布。一般以大寫CDF標記,，與概率密度函數(shù)probability density function（小寫pdf）相對.

正態(tài)分布

正態(tài)分布（Normal distribution），也稱“常態(tài)分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由棣莫弗（Abraham de Moivre）在求二項分布的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測量誤差時從另一個角度導出了它。

P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質。是一個在數(shù)學、物理及工程等領域都非常重要的概率分布，在統(tǒng)計學的許多方面有著重大的影響力。

正態(tài)曲線呈鐘型，兩頭低，中間高，左右對稱因其曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線。

若隨機變量X服從一個數(shù)學期望為μ、方差為σ2的正態(tài)分布，記為N(μ，σ2)。其概率密度函數(shù)為正態(tài)分布的期望值μ決定了其位置，其標準差σ決定了分布的幅度。當μ = 0,σ = 1時的正態(tài)分布是標準正態(tài)分布。

正態(tài)性檢驗包括Shapiro-Wilk W檢驗、Anderson-Darling檢驗(AD-Test)和Kolmogorov-Smirnov檢驗。

如果log(x)是正態(tài)分布，x是對數(shù)正態(tài)分布

指數(shù)分布

在概率理論和統(tǒng)計學中，指數(shù)分布（也稱為負指數(shù)分布）是描述泊松過程中的事件之間的時間的概率分布，即事件以恒定平均速率連續(xù)且獨立地發(fā)生的過程。這是伽馬分布的一個特殊情況。它是幾何分布的連續(xù)模擬，它具有無記憶的關鍵性質。除了用于分析泊松過程外，還可以在其他各種環(huán)境中找到。

指數(shù)分布與分布指數(shù)族的分類不同，后者是包含指數(shù)分布作為其成員之一的大類概率分布，也包括正態(tài)分布，二項分布，伽馬分布，泊松分布等等。

可以使用指數(shù)分布對不同事件發(fā)生之間所花費的時間進行建模。比如：包括生存分析(設備/機器的預期壽命)，以及指定時間段內的指定數(shù)量的默認值。在金融領域，它常被用來衡量金融資產組合下一次違約的可能性。

指數(shù)函數(shù)的一個重要特征是無記憶性（Memoryless Property，又稱遺失記憶性）。這表示如果一個隨機變量呈指數(shù)分布，當s,t>0時有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的壽命，已知元件使用了t小時，它總共使用至少s+t小時的條件概率，與從開始使用時算起它使用至少s小時的概率相等。在連續(xù)概率分布中，只有指數(shù)隨機變量具有這種性質。

t分布

t-分布（t-distribution）用于根據小樣本來估計呈正態(tài)分布且方差未知的總體的均值。

如果總體方差已知（例如在樣本數(shù)量足夠多時），則應該用正態(tài)分布來估計總體均值。

當??2????未知時，t分布可以用來推斷總體均值。當自由度為無窮大時，t分布=正態(tài)分布。

伽瑪分布

伽瑪分布（Gamma Distribution）是統(tǒng)計學的一種連續(xù)概率函數(shù)，是概率統(tǒng)計中一種非常重要的分布。“指數(shù)分布”和“χ2分布”都是伽馬分布的特例。泊松過程中連續(xù)出現(xiàn)之間的時間具有指數(shù)分布。

對時間序列進行建模預測接下來發(fā)生 n 個事件時就會出現(xiàn)伽馬分布。它在機器學習中被當作“共軛先驗”使用。

Gamma 函數(shù)

當形狀參數(shù)α=1時，伽馬分布就是參數(shù)為γ的指數(shù)分布，X~Exp（γ）。

當α=n/2，β=1/2時，伽馬分布就是自由度為n的卡方分布，X^2(n)。

貝塔分布

貝塔分布（Beta Distribution) 是一個作為伯努利分布和二項式分布的共軛先驗分布的密度函數(shù)，在機器學習和數(shù)理統(tǒng)計學中有重要應用。在概率論中，貝塔分布，也稱Β分布，是指一組定義在(0,1) 區(qū)間的連續(xù)概率分布。

貝塔分布最適合表示概率的概率分布 - 也就是說，當我們不知道概率是什么時，它表示概率的所有可能值。

beta函數(shù)

F 分布

F分布是1924年英國統(tǒng)計學家Ronald.A.Fisher爵士提出，并以其姓氏的第一個字母命名的。它是兩個服從卡方分布的獨立隨機變量各除以其自由度后的比值的抽樣分布，是一種非對稱分布，且位置不可互換。F分布有著廣泛的應用，如在方差分析、回歸方程的顯著性檢驗中都有著重要的地位。

F 分布經常作為檢驗統(tǒng)計量的零分布出現(xiàn)，尤其是在與方差相等和方差分析 (ANOVA) 相關的 F 檢驗中。

韋布爾分布

韋布爾分布，即韋伯分布（Weibull distribution），又稱韋氏分布或威布爾分布，是可靠性分析和壽命檢驗的理論基礎。

韋氏分布可以模擬隨時間增加（或減少）的故障率，而當磨損率或故障率（例如，故障率）恒定時，指數(shù)分布是合適的。所以韋氏分布在可靠性工程中被廣泛應用，尤其適用于機電類產品的磨損累計失效的分布形式。由于它可以利用概率值很容易地推斷出它的分布參數(shù)，被廣泛應用于各種壽命試驗的數(shù)據處理。

編輯：于騰凱

校對：林亦霖

?常用的連續(xù)概率分布匯總