用過DSP的應(yīng)該都知道Q格式吧；

1 前言

Q格式是二進(jìn)制的定點(diǎn)數(shù)格式，相對(duì)于浮點(diǎn)數(shù)，Q格式指定了相應(yīng)的小數(shù)位數(shù)和整數(shù)位數(shù)，在沒有浮點(diǎn)運(yùn)算的平臺(tái)上，可以更快地對(duì)浮點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，以及應(yīng)用在需要恒定分辨率的程序中（浮點(diǎn)數(shù)的精度是會(huì)變化的）；
需要注意的是Q格式是概念上小數(shù)定點(diǎn)，通過選擇常規(guī)的二進(jìn)制數(shù)整數(shù)位數(shù)和小數(shù)位數(shù)，從而達(dá)到所需要的數(shù)值范圍和精度，這里可能有點(diǎn)抽象，下面繼續(xù)看介紹。

2 Q數(shù)據(jù)的表示

2.1 范圍和精度

定點(diǎn)數(shù)通常表示為，其中m為整數(shù)個(gè)數(shù)，n為小數(shù)個(gè)數(shù)，其中最高位位符號(hào)位并且以二進(jìn)制補(bǔ)碼的形式存儲(chǔ)；

• 范圍：
• 精度：

無符號(hào)的用表示；

• 范圍：
• 精度：

2.2 推導(dǎo)

無符號(hào)Q格式數(shù)據(jù)的推導(dǎo)這里以一個(gè)16位無符號(hào)整數(shù)為例，所能表示的最大數(shù)據(jù)的二進(jìn)制形式如下圖所示；

所以不難看出，的范圍大小和精度；根據(jù)等比數(shù)列求和公式得到，整數(shù)域最大值如下：

小數(shù)域最大值如下：

因此的范圍滿足 ；

有符號(hào)Q格式數(shù)據(jù)的推導(dǎo)這里以一個(gè)16位有符號(hào)整數(shù)為例，所能表示的最大數(shù)據(jù)的二進(jìn)制形式如下圖所示；

所以不難求出，的范圍大小和精度；根據(jù)等比數(shù)列求和公式得到，整數(shù)域最大值如下：

小數(shù)域最大值如下：

因此最大能表示的數(shù)為：；

所能表示的最小數(shù)據(jù)的二進(jìn)制形式如下圖所示；

可以從圖中看到，該數(shù)表示為；

補(bǔ)充一下：負(fù)數(shù)在計(jì)算機(jī)中是補(bǔ)碼的形式存在的，補(bǔ)碼=反碼+1，符號(hào)位為1則表示為負(fù)數(shù)；
那么-4該如何表示呢？
以8 bit數(shù)據(jù)為例，如下所示；
原碼：0B 0000 100
反碼：0B 1111 011
補(bǔ)碼：0B 1111 100

綜上，可以得到有符號(hào)的范圍是：

3 Q數(shù)據(jù)的運(yùn)算

3.1 0x7FFF

最大數(shù)的十六進(jìn)制為0x7FFF，如下圖所示；

3.2 0x8000

最小數(shù)的十六進(jìn)制為0X8000，如下圖所示；

上述這兩種情況，下面都會(huì)用到。

3.3 加法

加法和減法需要兩個(gè)Q格式的數(shù)據(jù)定標(biāo)相同，即和滿足以下條件；

int16_t?q_add(int16_t?a,?int16_t?b)
{
????return?a?+?b;
}

上面的程序其實(shí)并不安全，在一般的DSP芯片具有防止溢出的指令，但是通常需要做一下溢出檢測，具體如下所示；

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int16_t?q_add_sat(int16_t?a,?int16_t?b)
{
????int16_t?result;
????int32_t?tmp;

????tmp?=?(int32_t)a?+?(int32_t)b;
????if?(tmp?>?0x7FFF)
????????tmp?=?0x7FFF;
????if?(tmp?-1?*?0x8000)
????????tmp?=?-1?*?0x8000;
????result?=?(int16_t)tmp;

????return?result;
}

3.4 減法

類似于加法的操作，需要相同定標(biāo)的兩個(gè)Q格式數(shù)進(jìn)行相減，但是不會(huì)存在溢出的情況；

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int16_t?q_sub(int16_t?a,?int16_t?b)
{
????return?a?-?b;
}

3.5 乘法

乘法同樣需要考慮溢出的問題，這里通過sat16函數(shù)，對(duì)溢出做了處理；

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//?precomputed?value:
#define?K???(1?<
?
//?saturate?to?range?of?int16_t
int16_t?sat16(int32_t?x)
{
????if?(x?>?0x7FFF)?return?0x7FFF;
????else?if?(x?-0x8000)?return?-0x8000;
????else?return?(int16_t)x;
}

int16_t?q_mul(int16_t?a,?int16_t?b)
{
????int16_t?result;
????int32_t?temp;

????temp?=?(int32_t)a?*?(int32_t)b;?//?result?type?is?operand's?type
????//?Rounding;?mid?values?are?rounded?up
????temp?+=?K;
????//?Correct?by?dividing?by?base?and?saturate?result
????result?=?sat16(temp?>>?Q);

????return?result;
}

3.6 除法

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int16_t?q_div(int16_t?a,?int16_t?b)
{
????/*?pre-multiply?by?the?base?(Upscale?to?Q16?so?that?the?result?will?be?in?Q8?format)?*/
????int32_t?temp?=?(int32_t)a?<????/*?Rounding:?mid?values?are?rounded?up?(down?for?negative?values).?*/
????/*?OR?compare?most?significant?bits?i.e.?if?(((temp?>>?31)?&?1)?==?((b?>>?15)?&?1))?*/
????if?((temp?>=?0?&&?b?>=?0)?||?(temp?0?&&?b?0))?{???
????????temp?+=?b?/?2;????/*?OR?shift?1?bit?i.e.?temp?+=?(b?>>?1);?*/
????}?else?{
????????temp?-=?b?/?2;????/*?OR?shift?1?bit?i.e.?temp?-=?(b?>>?1);?*/
????}
????return?(int16_t)(temp?/?b);
}

4 常見Q格式的數(shù)據(jù)范圍

定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換的關(guān)系滿足以下公式：

其中為，m表示整數(shù)位數(shù)，n表示小數(shù)位數(shù)；

#include?
#include?
#include?


int?main()
{
????//?0111?1111?1111?1111
????int16_t?q_max?=?32767;?//?0x7FFF
????//?1000?0000?0000?0000
????int16_t?q_min?=?-32768;?//?0x8000
????float?f_max?=?0;
????float?f_min?=?0;
????printf("\r\n");
????for?(int8_t?i?=?15;?i>=0;?i--)?{
????????f_max?=?(float)q_max?/?pow(2,i);
????????f_min?=?(float)q_min?/?pow(2,i);

????????printf("\t|?Q?%d?|?Q?%d.%d|?%f?|?%f?|\r\n",
???????????????i,(15-i),i,f_max,f_min);
????}

????return?0;
}

運(yùn)行得到結(jié)果如下所示；

5 0x5f3759df

Q格式雖然十分抽象，但是且看看這個(gè)數(shù)字0x5f3759df，感覺和Q格式有某種聯(lián)系，它是雷神之錘3中的一個(gè)算法的魔數(shù)，畢竟游戲引擎需要充分考慮到效率，具體的由來可以看一下論文《Fast Inverse Square Root》，下面是源碼中剝出來的快速平方根算法；

float?Q_rsqrt(?float?number?)
{
?long?i;
?float?x2,?y;
?const?float?threehalfs?=?1.5F;

?x2?=?number?*?0.5F;
?y???=?number;
?i???=?*?(?long?*?)?&y;???//?evil?floating?point?bit?level?hacking
?i???=?0x5f3759df?-?(?i?>>?1?);?//?what?the?fuck?
?y???=?*?(?float?*?)?&i;
?y???=?y?*?(?threehalfs?-?(?x2?*?y?*?y?)?);?//?1st?iteration
?//?y???=?y?*?(?threehalfs?-?(?x2?*?y?*?y?)?);?//?2nd?iteration,?this?can?be?removed

?#ifndef?Q3_VM
?#ifdef?__linux__
???assert(?!isnan(y)?);?//?bk010122?-?FPE?
?#endif
?#endif
?return?y;
}??

6 總結(jié)

本文介紹了Q格式的表示方式以及相應(yīng)的運(yùn)算，另外需要注意在Q格式運(yùn)算的時(shí)候，兩者定標(biāo)必須相同，對(duì)于數(shù)據(jù)的溢出檢測也要做相應(yīng)的處理。

作者能力有限，文中難免有錯(cuò)誤和紕漏之處，請(qǐng)大佬們不吝賜教 創(chuàng)作不易，如果本文幫到了您；請(qǐng)幫忙點(diǎn)個(gè)贊 ???；

長按下圖二維碼關(guān)注，獨(dú)自前進(jìn)，走得快；結(jié)伴而行，走得遠(yuǎn)；在這里除了肝出來的文章，還有一步一個(gè)腳印學(xué)習(xí)的點(diǎn)點(diǎn)滴滴；