溫州大學(xué)《機(jī)器學(xué)習(xí)》課程代碼（二）（回歸）

代碼修改并注釋：黃海廣，[email protected]

課件   視頻

下載地址：https://github.com/fengdu78/WZU-machine-learning-course

單變量線性回歸

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #用來(lái)正常顯示中文標(biāo)簽
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False #用來(lái)正常顯示負(fù)號(hào)

path = 'data/regress_data1.csv'
data = pd.read_csv(path)
data.head()

data.describe()

看下數(shù)據(jù)長(zhǎng)什么樣子

data.plot(kind='scatter', x='人口', y='收益', figsize=(12,8))
plt.xlabel('人口', fontsize=18)
plt.ylabel('收益', rotation=0, fontsize=18)
plt.show()

現(xiàn)在讓我們使用梯度下降來(lái)實(shí)現(xiàn)線性回歸，以最小化代價(jià)函數(shù)。

首先，我們將創(chuàng)建一個(gè)以參數(shù)為特征函數(shù)的代價(jià)函數(shù)

其中：

def computeCost(X, y, w):
    inner = np.power(((X * w.T) - y), 2)# (m,n) @ (n, 1) -> (n, 1)
#     return np.sum(inner) / (2 * len(X))
    return np.sum(inner) / (2 * X.shape[0])

讓我們?cè)谟?xùn)練集中添加一列，以便我們可以使用向量化的解決方案來(lái)計(jì)算代價(jià)和梯度。

data.insert(0, 'Ones', 1)
data

97 rows × 3 columns

現(xiàn)在我們來(lái)做一些變量初始化。

# set X (training data) and y (target variable)
cols = data.shape[1]
X = data.iloc[:,:cols-1]#X是所有行，去掉最后一列
y = data.iloc[:,cols-1:]#X是所有行，最后一列

觀察下 X (訓(xùn)練集) and y (目標(biāo)變量)是否正確.

X.head()#head()是觀察前5行

y.head()

代價(jià)函數(shù)是應(yīng)該是numpy矩陣，所以我們需要轉(zhuǎn)換X和Y，然后才能使用它們。我們還需要初始化w。

X = np.matrix(X.values)
y = np.matrix(y.values)
w = np.matrix(np.array([0,0]))

w 是一個(gè)(1,2)矩陣

w

matrix([[0, 0]])

看下維度

X.shape, w.shape, y.shape

((97, 2), (1, 2), (97, 1))

計(jì)算代價(jià)函數(shù) (theta初始值為0).

computeCost(X, y, w)

32.072733877455676

Batch Gradient Decent（批量梯度下降）

def batch_gradientDescent(X, y, w, alpha, iters):
    temp = np.matrix(np.zeros(w.shape))
    parameters = int(w.ravel().shape[1])
    cost = np.zeros(iters)

    for i in range(iters):
        error = (X * w.T) - y

        for j in range(parameters):
            term = np.multiply(error, X[:, j])
            temp[0, j] = w[0, j] - ((alpha / len(X)) * np.sum(term))

        w = temp
        cost[i] = computeCost(X, y, w)

    return w, cost

初始化一些附加變量 - 學(xué)習(xí)速率α和要執(zhí)行的迭代次數(shù)。

alpha = 0.01
iters = 1000

現(xiàn)在讓我們運(yùn)行梯度下降算法來(lái)將我們的參數(shù)θ適合于訓(xùn)練集。

g, cost = batch_gradientDescent(X, y, w, alpha, iters)
g

matrix([[-3.24140214,  1.1272942 ]])

最后，我們可以使用我們擬合的參數(shù)計(jì)算訓(xùn)練模型的代價(jià)函數(shù)（誤差）。

computeCost(X, y, g)

4.515955503078912

現(xiàn)在我們來(lái)繪制線性模型以及數(shù)據(jù)，直觀地看出它的擬合。

x = np.linspace(data['人口'].min(), data['人口'].max(), 100)
f = g[0, 0] + (g[0, 1] * x)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 8))
ax.plot(x, f, 'r', label='預(yù)測(cè)值')
ax.scatter(data['人口'], data['收益'], label='訓(xùn)練數(shù)據(jù)')
ax.legend(loc=2)
ax.set_xlabel('人口', fontsize=18)
ax.set_ylabel('收益', rotation=0, fontsize=18)
ax.set_title('預(yù)測(cè)收益和人口規(guī)模', fontsize=18)
plt.show()

由于梯度方程式函數(shù)也在每個(gè)訓(xùn)練迭代中輸出一個(gè)代價(jià)的向量，所以我們也可以繪制。請(qǐng)注意，代價(jià)總是降低 - 這是凸優(yōu)化問題的一個(gè)例子。

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 8))
ax.plot(np.arange(iters), cost, 'r')
ax.set_xlabel('迭代次數(shù)', fontsize=18)
ax.set_ylabel('代價(jià)', rotation=0, fontsize=18)
ax.set_title('誤差和訓(xùn)練Epoch數(shù)', fontsize=18)
plt.show()

多變量線性回歸

練習(xí)還包括一個(gè)房屋價(jià)格數(shù)據(jù)集，其中有2個(gè)變量（房子的大小，臥室的數(shù)量）和目標(biāo)（房子的價(jià)格）。我們使用我們已經(jīng)應(yīng)用的技術(shù)來(lái)分析數(shù)據(jù)集。

path = 'data/regress_data2.csv'
data2 = pd.read_csv(path)
data2.head()

對(duì)于此任務(wù)，我們添加了另一個(gè)預(yù)處理步驟 - 特征歸一化。這個(gè)對(duì)于pandas來(lái)說(shuō)很簡(jiǎn)單

data2 = (data2 - data2.mean()) / data2.std()
data2.head()

現(xiàn)在我們重復(fù)第1部分的預(yù)處理步驟，并對(duì)新數(shù)據(jù)集運(yùn)行線性回歸程序。

# add ones column
data2.insert(0, 'Ones', 1)

# set X (training data) and y (target variable)
cols = data2.shape[1]
X2 = data2.iloc[:,0:cols-1]
y2 = data2.iloc[:,cols-1:cols]

# convert to matrices and initialize theta
X2 = np.matrix(X2.values)
y2 = np.matrix(y2.values)
w2 = np.matrix(np.array([0,0,0]))

# perform linear regression on the data set
g2, cost2 = batch_gradientDescent(X2, y2, w2, alpha, iters)

# get the cost (error) of the model
computeCost(X2, y2, g2)

0.13070336960771892

我們也可以快速查看這一個(gè)的訓(xùn)練進(jìn)程。

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
ax.plot(np.arange(iters), cost2, 'r')
ax.set_xlabel('迭代次數(shù)', fontsize=18)
ax.set_ylabel('代價(jià)', rotation=0, fontsize=18)
ax.set_title('誤差和訓(xùn)練Epoch數(shù)', fontsize=18)
plt.show()

我們也可以使用scikit-learn的線性回歸函數(shù)，而不是從頭開始實(shí)現(xiàn)這些算法。我們將scikit-learn的線性回歸算法應(yīng)用于第1部分的數(shù)據(jù)，并看看它的表現(xiàn)。

from sklearn.linear_model import LinearRegression
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)

LinearRegression()

scikit-learn model的預(yù)測(cè)表現(xiàn)

x = np.array(X[:, 1].A1)
f = model.predict(X).flatten()

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 8))
ax.plot(x, f, 'r', label='預(yù)測(cè)值')
ax.scatter(data['人口'], data['收益'], label='訓(xùn)練數(shù)據(jù)')
ax.legend(loc=2, fontsize=18)
ax.set_xlabel('人口', fontsize=18)
ax.set_ylabel('收益', rotation=0, fontsize=18)
ax.set_title('預(yù)測(cè)收益和人口規(guī)模', fontsize=18)
plt.show()

正則化

，此時(shí)稱作Ridge Regression：

from sklearn.linear_model import Ridge
model = Ridge()
model.fit(X, y)

Ridge()

x2 = np.array(X[:, 1].A1)
f2 = model.predict(X).flatten()

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 8))
ax.plot(x2, f2, 'r', label='預(yù)測(cè)值Ridge')
ax.scatter(data['人口'], data['收益'], label='訓(xùn)練數(shù)據(jù)')
ax.legend(loc=2, fontsize=18)
ax.set_xlabel('人口', fontsize=18)
ax.set_ylabel('收益', rotation=0, fontsize=18)
ax.set_title('預(yù)測(cè)收益和人口規(guī)模', fontsize=18)
plt.show()

正則化：

，此時(shí)稱作Lasso Regression

from sklearn.linear_model import Lasso
model = Lasso()
model.fit(X, y)

Lasso()

x3= np.array(X[:, 1].A1)
f3 = model.predict(X).flatten()

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 8))
ax.plot(x3, f3, 'r', label='預(yù)測(cè)值Lasso')
ax.scatter(data['人口'], data['收益'], label='訓(xùn)練數(shù)據(jù)')
ax.legend(loc=2, fontsize=18)
ax.set_xlabel('人口', fontsize=18)
ax.set_ylabel('收益', rotation=0, fontsize=18)
ax.set_title('預(yù)測(cè)收益和人口規(guī)模', fontsize=18)
plt.show()

調(diào)參

from sklearn.model_selection import cross_val_score
alphas = np.logspace(-3, 2, 50)
test_scores = []
for alpha in alphas:
    clf = Ridge(alpha)
    test_score = np.sqrt(-cross_val_score(clf, X, y, cv=5, scoring='neg_mean_squared_error'))
    test_scores.append(np.mean(test_score))

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(alphas, test_scores)
plt.title("Alpha vs CV Error");
plt.show()

最小二乘法(LSM)

最小二乘法的需要求解最優(yōu)參數(shù)：

已知：目標(biāo)函數(shù)

其中：

將向量表達(dá)形式轉(zhuǎn)為矩陣表達(dá)形式，則有 ，其中為行列的矩陣（為樣本個(gè)數(shù)，為特征個(gè)數(shù)），為行1列的矩陣(包含了)，為行1列的矩陣，則可以求得最優(yōu)參數(shù)

梯度下降與最小二乘法的比較：

梯度下降： 需要選擇學(xué)習(xí)率，需要多次迭代，當(dāng)特征數(shù)量大時(shí)也能較好適用，適用于各種類型的模型

最小二乘法： 不需要選擇學(xué)習(xí)率，一次計(jì)算得出，需要計(jì)算，如果特征數(shù)量較大則運(yùn)算代價(jià)大，因?yàn)榫仃嚹娴挠?jì)算時(shí)間復(fù)雜度為，通常來(lái)說(shuō)當(dāng)小于10000 時(shí)還是可以接受的，只適用于線性模型，不適合邏輯回歸模型等其他模型

# 正規(guī)方程
def LSM(X, y):
    w = np.linalg.inv(X.T@X)@X.T@y#X.T@X等價(jià)于X.T.dot(X)
    return w

final_w2=LSM(X, y)#感覺和批量梯度下降的theta的值有點(diǎn)差距
final_w2

matrix([[-3.89578088],
        [ 1.19303364]])

#梯度下降得到的結(jié)果是matrix([[-3.24140214,  1.1272942 ]])

參考

• 機(jī)器學(xué)習(xí)，吳恩達(dá)
• 《統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法》，李航
• 機(jī)器學(xué)習(xí)課程，鄒博