人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)---定積分1：定積分的概念以及近似計(jì)算

一、引言

在日常計(jì)算中，需要進(jìn)行一些非線性的計(jì)算，如曲邊型的面積和變速直線運(yùn)動的總里程等，由于非線性，導(dǎo)致這些計(jì)算不能使用常規(guī)的方法來進(jìn)行。但如果將這些計(jì)算涉及的函數(shù)在其定義區(qū)間上細(xì)分成n（n->∞）個區(qū)間，在每個細(xì)分的區(qū)間內(nèi)，則可以用線性的方法近似用線性的方法來進(jìn)行計(jì)算。

案例：曲邊梯形面積和變速運(yùn)動歷程

函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上非負(fù)、連續(xù)，由直線x=a、x=b、y=0以及曲線y=f(x)構(gòu)成的圖形（如圖5-1）稱為曲邊梯形：

其中曲線y=f(x)稱為曲邊。

將區(qū)間[a,b]分成n個區(qū)間，每個區(qū)間的長度記為Δxi，在每個區(qū)間上取任一點(diǎn) ξi，則以每個小區(qū)間Δxi為底以f( ξi)為高的窄矩形近似替代每個小曲邊梯形（或梯形），則整個曲邊梯形的面積A可以用下列公式近似計(jì)算：

A ≈ f( ξ1) Δx1+f( ξ2) Δx2+…+f( ξn) Δxn

為了保證小區(qū)間的長度無限小，要求λ = max(Δxi)->0，此時n->∞，取上式的極限，便得到曲邊梯形的面積計(jì)算公式：

類似地，將時間區(qū)間[T1,T2]分成n個區(qū)間Δti，最大區(qū)間長為λ，在每個區(qū)間內(nèi)任取一個變速運(yùn)動速度v（Ti），則變速運(yùn)動的總里程s計(jì)算公式可以表示如下：

二、定積分的定義

有上面曲邊梯形的面積計(jì)算公式和變速運(yùn)動的里程計(jì)算公式，都由一個自變量及其變化區(qū)間所決定，其結(jié)果是具有相同結(jié)構(gòu)的一種特定和的極限，通過概括這些計(jì)算公式共同的本質(zhì)和特性，就可以得到定積分的定義：

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干個分點(diǎn)：a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b，把區(qū)間[a,b]分成若干個小區(qū)間：[x0,x1]，[x1,x2]，…，[xn-1,xn]

各個小區(qū)間的長度為：Δx1 = x1 - x0、Δx2 = x2 - x1、…、Δxn = xn - xn-1

在每個小區(qū)間[xi-1，xi]上任取一點(diǎn)ξi，作函數(shù)值f(ξi)與小區(qū)間長度Δxi的乘積f(ξi)Δxi(i=1,2,…,n)，并作出和：

記λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn}，如果當(dāng)λ->0時，和S的極限總存在，且與閉區(qū)間[a,b]的分法及點(diǎn)ξi的取法無關(guān)，那么成極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分（簡稱積分），記作：，即：

其中f(x)叫做被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量，a稱為積分下限，b稱為積分上限，[a,b]稱為積分區(qū)間。和式：

稱為f(x)的積分和。如果f（x）在區(qū)間[a,b]上的定積分存在，那么就成f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。

可以看到定積分和不定積分在被積函數(shù)、被積表達(dá)式、積分變量上的含義是一致的。

注意：定積分的值只與積分區(qū)間和被積函數(shù)相關(guān)，與積分變量無關(guān)。

三、函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積的充分條件

定理1：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積

定理2：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積

四、定積分的幾何意義

在[a，b]上f(x)≥0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分表示由曲線y=f(x)、兩條直線x=a、x三b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積；

在[a，b]上f(x)≤0時，由曲線y=f(x)、兩條直線x=a、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方，函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分表示上述曲邊梯形面積的負(fù)值；

在[a，b]上f(x)既取得正值又取得負(fù)值時，函數(shù)(x)的圖形某些部分在 x軸的上方，而其他部分在x軸下方(如圖5-2)，此時函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分表示x軸上方圖形面積減去x軸下方圖形面積所得之差。

五、利用積分定義計(jì)算定積分案例

六、定積分的近似計(jì)算

1、矩形法

由于函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分與閉區(qū)間[a,b]的分法及每個小區(qū)間內(nèi)點(diǎn)ξi的取法無關(guān)，為了求連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，可采取把區(qū)間[a，b]進(jìn)行n等分的分法，即分成n個等長的區(qū)間，每個小區(qū)間的長度Δxi=（b-a）/n。

如果在小區(qū)間[xi-1，xi]上，取ξi = xi-1，則有：

由于對于任意確定的正整數(shù)n，有：

記f(xi)=yi(i=0,1,2,…,n)，則上式可記作：

類似地，如果在小區(qū)間[xi-1，xi]上，取ξi = xi，則有：

這種求定積分近似值的方法稱為矩形法，公式（1-3）、（1-4）稱為矩形法公式。

矩形法的幾何意義：用窄條矩形的面積作為窄條曲邊梯形面積的近似值，整體上用臺階形的面積作為曲邊梯形面積的近似值，如圖5-3所示：

2、梯形法

為了求連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，同樣采取把區(qū)間[a，b]進(jìn)行n等分，設(shè)f(xi)=yi，曲線上的點(diǎn)（xi，yi）記作Mi，i=(0,1,2,…,n)。將曲線y=f(x)上的小弧段Mi-1Mi用直線段Mi-1Mi代替，也就是把窄條曲邊梯形用窄條梯形代替，如圖5-4（a）所示：

由此得到定積分的近似計(jì)算值為：

可以看出，梯形法所得的近似值是矩形法（1-3）、（1-4）所得兩個近似值的平均。

3、拋物線法

拋物線法又稱辛普森（Simpson）法，是將曲線y=f(x)上的兩個弧段Mi-1Mi和MiMi+1合起來，用通過Mi-1、Mi和Mi+1三點(diǎn)的拋物線y=px2+qx+r代替，如圖5-4(b)所示。經(jīng)推導(dǎo)可以得，以此拋物線弧段為曲邊，以[Mi-1,Mi+1]為底的曲邊梯形面積為：

取n為偶數(shù)，得到定積分的的近似值為：

除了以上三個方法外，定積分的近似計(jì)算方法還有很多，這里不再展開介紹。

4、案例

使用上述方法計(jì)算定積分的近似值時，先要指定n的值，然后將區(qū)間n等分得到各個xi的值，然后計(jì)算各f(xi)的函數(shù)值，再根據(jù)具體計(jì)算方法來計(jì)算對應(yīng)定積分。

我們來看案例：

七、小結(jié)

本文介紹了定積分的概念、幾何意義、用定義來求定積分的案例以及使用矩形法、梯形法和拋物線法求定積分近似值的方法和案例，需要注意定積分的近似計(jì)算方法還有很多，現(xiàn)在一些數(shù)學(xué)軟件也支持定積分的近似計(jì)算，大家可以根據(jù)具體運(yùn)算需要確定將積分區(qū)間等分份數(shù)以及近似計(jì)算方法來具體運(yùn)用。

說明：

本文內(nèi)容是老猿學(xué)習(xí)同濟(jì)版高數(shù)的總結(jié)，有需要原教材電子版以及OpenCV、Python基礎(chǔ)知識、、圖像處理原理介紹相關(guān)電子資料，或?qū)ξ恼聝?nèi)有有疑問咨詢的，請掃博客首頁左邊二維碼加微信公號，根據(jù)加微信公號后的自動回復(fù)操作。

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