人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)--不定積分1：概念與性質(zhì)

一、引言

導(dǎo)數(shù)運(yùn)算是根據(jù)一個(gè)函數(shù)求該函數(shù)對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上反映了函數(shù)在函數(shù)某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)態(tài)勢(shì)，而不定積分則是根據(jù)一個(gè)已知的導(dǎo)函數(shù)求原函數(shù)，因此二者可以說(shuō)是逆運(yùn)算。

二、定義

2.1、 原函數(shù)定義

如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，即對(duì)任一x∈I，都有：

F’(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x)dx，

那么函數(shù)F(x)就稱(chēng)為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)。

2.2、原函數(shù)存在定理

定理：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使對(duì)任一x∈I都有：

F’(x)=f(x)。

簡(jiǎn)單地說(shuō)就是：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。

2.3、不定積分定義

如果f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)，即有一個(gè)函數(shù)F(x)，使對(duì)任一x∈I，都有F’(x)=f(x)，那么，對(duì)任何常數(shù)C，顯然也有：

[F(x)+C]’=f(x)

即對(duì)任何常數(shù)C，函數(shù)F(x)+C也是f(x)的原函數(shù)。這說(shuō)明，如果f(x)有一個(gè)原函數(shù)，那么f(x)就有無(wú)限多個(gè)原函數(shù)。

定義：

在區(qū)間I上，函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱(chēng)為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的不定積分，記作:

其中記號(hào) ∫ 稱(chēng)為積分號(hào)，f(x)稱(chēng)為被積函數(shù)，f(x)dx稱(chēng)為被積表達(dá)式，x稱(chēng)為積

分變量。

由此定義及前面的說(shuō)明可知，如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，那么F(x)+C就是f(x)的不定積分，即：∫ f(x)dx=F(x)+C

因而不定積分∫ f(x)dx可以表示f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)。

函數(shù)f(x)對(duì)應(yīng)的原函數(shù)幾何圖形稱(chēng)為f(x)的積分曲線。

由不定積分的定義可知：不定積分∫ f(x)dx是f(x)的原函數(shù)，所以：

或：

d[∫f(x)dx] = f(x)dx

d[∫F’(x)dx]=∫dF(x)=F(x)+C

由此可見(jiàn)，微分運(yùn)算（以記號(hào)d表示）與求不定積分的運(yùn)算是互逆的，當(dāng)記號(hào)d與∫連在一起時(shí)，要么相互抵消，要么抵消后差一個(gè)常數(shù)。

三、基本積分表

從導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可以推導(dǎo)出積分運(yùn)算，以下十三個(gè)基本積分公式是不定積分的基礎(chǔ)，必須熟記：

另外針對(duì)雙曲函數(shù)（請(qǐng)參考《人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)11：集合、函數(shù)及相關(guān)概念補(bǔ)充》）有如下積分公式：

下面是在基本積分公式基礎(chǔ)上擴(kuò)展出來(lái)的幾個(gè)常用公式：

四、不定積分的性質(zhì)

性質(zhì)1：如果兩個(gè)函數(shù)的不定積分都存在，則兩個(gè)函數(shù)和的不定積分等于各自不定積分的和，即：

性質(zhì)2：函數(shù)與常數(shù)的乘積的不定積分等于常數(shù)與函數(shù)不定積分的乘積，即：

五、小結(jié)

本文介紹了不定積分的概念、性質(zhì)以及基本的不定積分表，需要注意不定積分的運(yùn)算公式只有加法和數(shù)乘的，沒(méi)有象導(dǎo)數(shù)和微分那樣還有乘除等運(yùn)算公式。

說(shuō)明：

本文內(nèi)容是老猿學(xué)習(xí)同濟(jì)版高數(shù)的總結(jié)，有需要原教材電子版以及OpenCV、Python基礎(chǔ)知識(shí)、、圖像處理原理介紹相關(guān)電子資料，或?qū)ξ恼聝?nèi)有有疑問(wèn)咨詢的，請(qǐng)掃博客首頁(yè)左邊二維碼加微信公號(hào)，根據(jù)加微信公號(hào)后的自動(dòng)回復(fù)操作。

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