用 Python 計算 Hurst 指數(shù)并預(yù)測市場趨勢

建造水庫是一個高風(fēng)險的問題。如果計算錯誤，成千上萬的人可能會失去他們的家園。在20世紀(jì)中期，英國水文學(xué)家埃德溫-哈羅德-赫斯特在解決這類問題方面取得了重大突破。他開發(fā)了后來被稱為Hurst指數(shù)的東西，這是一個衡量時間序列中自動相關(guān)的指標(biāo)。雖然它是為了估計河流中的水量而開發(fā)，但正如我們所期望的那樣，對于涉及時間序列的數(shù)學(xué)計算，Hurst指數(shù)在金融市場研究中得到了有趣的應(yīng)用。

下面將展示如何計算Hurst指數(shù)，并使用它來評估標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)、比特幣和美元/瑞士法郎交易對的特性，看看我們是否能理解這些金融序列的交易趨勢。

什么是Hurst指數(shù)？

Hurst指數(shù)可以用來確定一個時間序列是否傾向于向單一方向移動（H>0.5），振蕩（H<0.5），或隨機(jī)（H=0.5）。

雖然赫斯特發(fā)現(xiàn)這種關(guān)系在各種自然現(xiàn)象中很有用，如洪水、河流排放和樹木年輪，但我們也可以用它來將一個市場歸類為趨勢性或均值回歸性。如果我們知道一個市場傾向于以某種方式行事，我們可以嘗試用適當(dāng)?shù)木祷貧w或趨勢跟蹤策略來捕捉這一點，或者在你的算法交易系統(tǒng)中使用它作為一個過濾器。

如何計算Hurst指數(shù)？計算Hurst指數(shù)需要估計多個不同時間段的R/S統(tǒng)計量，然后將其與各時間段繪制成對數(shù)圖，并找出斜率。這條線的斜率就是Hurst指數(shù) —— H。

有多種方法來估計Hurst指數(shù)。就我所知，重新標(biāo)定的范圍分析方法是最古老的，但使用去趨勢波動分析（DFA）是最常見的。我們將使用后者，因為盡管它聽起來很復(fù)雜，但它只需要3-4行代碼就能運(yùn)行，而且比我的重標(biāo)范圍分析實現(xiàn)快一個數(shù)量級。這兩種方法都是可行的，但它們略有不同。

假設(shè)我們有一個價格序列，我們稱之為x。然后我們可以看一下x在不同時間t的差異，并取其差值。這個時間差將被稱為lag（滯后）。我們想得到這些滯后差值的標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系。

我們可以按以下步驟寫出我們的計算結(jié)果。

1、選擇一個滯后期的范圍（如2到100）。

2、計算x中所有點的滯后差值。

3、計算每個lag的標(biāo)準(zhǔn)差。

4、將標(biāo)準(zhǔn)差的對數(shù)與lag的對數(shù)作圖，以估計H。

數(shù)學(xué)上的公式為：

將所有的數(shù)據(jù)插入最后一個方程，我們可以找到最佳擬合線，我們就得到了H的值。讓我們來看看如何用Python來做這件事!

用Python中計算Hurst指數(shù)

首先導(dǎo)入幾個包：?

import numpy as np
import matplotib.pyplot as plt

然后定義我們的 hurst()函數(shù)。

def hurst(price, min_lag=2, max_lag=100):
  lags = np.arange(min_lag, max_lag + 1)
  tau = [np.std(np.subtract(price[lag:], price[:-lag])) 
    for lag in lags]
  m = np.polyfit(np.log10(lags), np.log10(tau), 1)
  return m, lags, tau

我們可以通過使用一個計算所有滯后差值的標(biāo)準(zhǔn)差的列表來理解，將所有的東西整合在幾行緊湊的線條中。

接下來，讓我們在一些我們知道答案的序列上測試這個函數(shù)。這將有助于確保我們的計算是正確的。

N = 10000
rand = np.cumsum(np.random.randn(N) + 0.01)
mr = np.cumsum(np.sin(np.linspace(0, N/3*np.pi, N))/2 + 1)
tr = np.cumsum(np.arange(N)/N)

m_rand, lag_rand, rs_rand = hurst(rand)
m_mr, lag_mr, rs_mr = hurst(mr)
m_tr, lag_tr, rs_tr = hurst(tr)

print(f"Hurst(Random):\t{m_rand[0]:.3f}")
print(f"Hurst(MR):\t{m_mr[0]:.3f}")
print(f"Hurst(TR):\t{m_tr[0]:.3f}")

Hurst(Random):    0.499
Hurst(MR):        0.075
Hurst(TR):        0.997

此外，我們可以將這些系列與我們的lag值和統(tǒng)計數(shù)據(jù)的對數(shù)圖一起繪制。

左欄中的圖是對數(shù)圖。你可以看到我們試圖在Y軸上擬合標(biāo)準(zhǔn)差統(tǒng)計數(shù)字。對于隨機(jī)和趨勢的時間序列，它們匹配得很好。均值回歸的是一個快速振蕩的正弦波——完全不一致，但斜率仍然是正的，并且小于0.5。在你的生活中，你永遠(yuǎn)不會看到這樣的金融時間序列，但它應(yīng)該給你信心，我們的函數(shù)是有效的!

金融時間序列的Hurst指數(shù)

將Hurst應(yīng)用于金融數(shù)據(jù)也同樣簡單明了。我們可以把它應(yīng)用于一些常見的時間序列，看看我們得到什么。

我們將使用美元/瑞士法郎交易對、BTC和SPY來感受一下這些數(shù)據(jù)。

用yfinance軟件包抓取數(shù)據(jù)。

import pandas as pd
import yfinance as yf

tickers = ['CHF=X', 'BTC-USD', 'SPY', 'GLD', 'USO']
start = '2010-01-01'
end = '2021-12-31'
yfObj = yf.Tickers(tickers)
df = yfObj.history(start=start, end=end)
df.drop(['Stock Splits', 'Dividends', 'Volume', 
         'Open', 'High', 'Low'], axis=1, inplace=True)
df.columns = df.columns.swaplevel()

我們在這里只對收盤價感興趣，所以我們可以放棄所有其他的列，并在這些列上運(yùn)行swaplevel()，這樣我們就可以按股票代碼進(jìn)行索引。

接下來，我們需要通過Hurst()函數(shù)運(yùn)行每個時間序列，以獲得指數(shù)和相關(guān)值。

vals = {c[0]: hurst(df[c].dropna().values) for c in df.columns}

一旦完成，我有一個輔助函數(shù)來繪制結(jié)果。

def plotHurst(m, x, y, series, name):
  fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(15, 6))
  ax[0].plot(np.log10(x), m[0] * np.log10(x) + m[1]) 
  ax[0].scatter(np.log10(x), np.log10(y), c=colors[1])
  ax[0].set_title(f"{name} (H = {m[0]:.3f})")
  ax[0].set_xlabel(r"log($\tau$)")
  ax[0].set_ylabel(r"log($\sigma_\tau$)")

  ax[1].plot(series)
  ax[1].set_title(f"{name}")
  ax[1].set_ylabel("Price ($)")
  ax[1].set_xlabel("Date")

  return fig, ax

這使得繪制我們的數(shù)值變得更加容易。如果我們想繪制所有的數(shù)值，我們可以循環(huán)瀏覽我們的vals字典，并調(diào)用plt.show()，如下面的代碼所示。

for k, v in vals.items():
  fig, ax = plotHurst(*v, df[k], k)
  plt.show()

讓我們依次看一下結(jié)果，看看我們是否能從Hurst指數(shù)告訴我們的東西中得到一些啟示。

美元/瑞士法郎交易對均值回歸

我們將從Hurst指標(biāo)中看到的最強(qiáng)烈的信號開始，即美元/瑞士法郎交叉。

大多數(shù)交易員都有一種直覺，即貨幣對總體上是均值回歸的，而對于強(qiáng)勢貨幣之間的貨幣對，如美元和瑞士法郎，它尤其明顯。

這正是我們在這里看到的情況。

不過，值得注意的是，較短的時間框架與我們在這里看到的較長的時間框架有一定的偏差。在最短的時間范圍內(nèi)，已實現(xiàn)波動率的期限結(jié)構(gòu)（即藍(lán)點所在的位置）低于紅線。

出于好奇，我繪制了各種最大lag值的Hurst指數(shù)，看看這個系列是否曾經(jīng)成為一個趨勢系列。

并非如此。

它確實越長越平均，表明美元和瑞士法郎之間有一個相當(dāng)穩(wěn)定的長期關(guān)系。這是每日數(shù)據(jù)，所以它可以提供一些指導(dǎo)，作為你應(yīng)該交易的時間框架。考慮到它在60天以上會變得更加均值化，也許在這個時間范圍內(nèi)（或更長）運(yùn)行的均值化策略將是最有效的。

比特幣是一種動量游戲

比特幣暴漲暴跌的勢頭恰恰相反。

Hurst指數(shù)給出了一個相當(dāng)明確的信號：這是一個動量交易，而已實現(xiàn)的波動率期限結(jié)構(gòu)顯示出令人驚訝的少數(shù)偏差。

但有趣的是，2021年的情況。

在比特幣2020年的巨大牛市之后，它在2021年度過了一個隨機(jī)/平均回歸階段。請注意，這不是那么多的數(shù)據(jù)，但有趣的是，不知道比特幣是否已經(jīng)進(jìn)入了一個趨勢變化。在2017年的大牛市之后，它在2018-2019年進(jìn)入了一個類似的趨勢，它有兩年時間在進(jìn)行均值回歸，直到2020年起飛。

到目前為止，2022年已經(jīng)顯示出類似的模式。它能在今年剩下的時間里持續(xù)下去嗎？

標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)的均值回歸

這個對我來說是最大的驚喜。Hurst指數(shù)顯示，標(biāo)普500指數(shù)是一個平均回歸的時間序列。

看看它右邊的價格圖，它看起來有一個強(qiáng)大的上升趨勢。

我們的算法揭示了我們眼睛看不到的東西。

我們可以對標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)進(jìn)行與美元/瑞士法郎匯率相同的分析，看看在不同的滯后期是否有任何拐點或赫斯特指數(shù)的變化。

當(dāng)我們這樣做時，我們會得到下面的圖表。

在這幅圖中，H值隨著滯后期的變化而明顯變化。在中短期內(nèi)，該系列是平均回歸的，但在較長的時間范圍內(nèi)，它變得有強(qiáng)烈的趨勢性。在非常長的時間內(nèi)（超過400天），它又回到了強(qiáng)烈的均值回歸。

讓我們看看這在不同的時間范圍內(nèi)是否成立。

我們將回到過去，從1993年開始到2021年，獲取SPY的數(shù)據(jù)。這將產(chǎn)生7,284個交易日。此外，我們將把它分為四個時間段，并在這四個時間段中的每一個時間段運(yùn)行相同的分析，以查看SPY的行為是否在較小的間隔內(nèi)發(fā)生變化。

這就產(chǎn)生了下面的圖表。

這表明，標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)在不同的lag（滯后）期會經(jīng)歷更多的趨勢和更多的均值回歸時期。例如，比較2000-2007年期間。在這里，我們從互聯(lián)網(wǎng)的繁榮和蕭條到全球金融危機(jī)的高峰，幾乎所有的滯后期都是趨勢的。從那時起，在200-300區(qū)間內(nèi)，趨勢的持續(xù)程度較低，但其他地方的均值回歸更為普遍。

值得注意的是，在我們看的每一個時間框架內(nèi)，該系列似乎都在200-300天范圍內(nèi)有趨勢。這似乎表明，標(biāo)普500指數(shù)在這些時間范圍內(nèi)表現(xiàn)出強(qiáng)烈的趨勢行為，可以通過趨勢跟蹤模型加以利用，而均值回歸模型在較短的時間范圍內(nèi)會更有價值。

這種對200-300天范圍內(nèi)趨勢的觀察似乎與著名的海龜交易員杰里-帕克的軼事觀察相吻合，即現(xiàn)代趨勢跟蹤在這些200天以上的時間范圍內(nèi)效果最好。

總結(jié)

一個市場是傾向于趨勢、均值回歸，還是隨機(jī)的，這對交易者來說是有價值的信息。雖然赫斯特指數(shù)本身并不是一個入場信號，但它可以作為一個系統(tǒng)的過濾器。考慮到市場制度可能會隨著時間的推移而發(fā)生變化，有利于一種或另一種方法，用Hurst過濾器覆蓋你的模型，可以幫助防止你的算法在均值回歸的市場中買入突破，或在市場走向新高時在回撤之前做空。

從本質(zhì)上講，它可以幫助你的算法與它所交易的市場相匹配。當(dāng)然，這需要大量的回測。