人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)---不定積分3：分部積分法求不定積分
一、引言
在《人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)–不定積分2：利用換元法求不定積分》介紹了三種換元法求不定積分的方法及案例，換元積分法是基于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的。而求導(dǎo)數(shù)時(shí)，除了復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)外，還有一些其他求導(dǎo)公式，本文將介紹基于函數(shù)乘積求導(dǎo)法則基礎(chǔ)上推出的分部積分法。
二、分部積分法介紹
我們知道，對(duì)于兩個(gè)具有導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)u、v，其乘積的導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式如下：
（uv）’ = u’v + uv’
對(duì)上述公式進(jìn)行變換，可得到：
uv’ = （uv）’ - u’v
對(duì)上式兩邊求不定積分，可得：
∫uv’dx = uv - ∫u’vdx (3-1)
上述公式3-1稱為分部積分公式，其核心思想是針對(duì)兩個(gè)單獨(dú)可以求不定積分的函數(shù)，二者的乘積求不定積分如果有困難，可以嘗試將其中一個(gè)函數(shù)看做其原函數(shù)v的導(dǎo)數(shù)，這樣兩個(gè)函數(shù)的乘積的不定積分就變成了一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)v的導(dǎo)數(shù)與另一個(gè)函數(shù)u的乘積的不定積分，從而可以嘗試?yán)霉?-1來轉(zhuǎn)換成函數(shù)u和函數(shù)v的乘積減去u的導(dǎo)數(shù)和v的乘積的不定積分的差。
為了簡(jiǎn)單表示，公式3-1也可以用如下公式表示：
∫udv = uv - ∫vdu (3-2)
分部積分法的一個(gè)關(guān)鍵是將一個(gè)不定積分的被積函數(shù)轉(zhuǎn)換成一個(gè)函數(shù)u和另一個(gè)函數(shù)v的導(dǎo)數(shù)的乘積，并且要使得u和v選取適當(dāng)，才能利用公式將其轉(zhuǎn)換成比較容易求不定積分的方式。
在u和v的選取上，一般要考慮兩點(diǎn)：
v要容易求得；
∫vdu要比∫udv 容易求。
三、示例
3.1、冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)或正弦余弦函數(shù)乘積的案例
案例總結(jié)：
如果被積函數(shù)是冪函和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)（假定冪指數(shù)是正整數(shù)）和指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設(shè)冪函數(shù)為u。這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪次降低一次。
3.2、冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)乘積的案例
案例總結(jié)：
如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為u（即運(yùn)算時(shí)需要先求導(dǎo)的函數(shù)）。
3.3、利用分布積分法獲得包含要求積分自身的表達(dá)式
3.4、換元法+分部積分法
四、小結(jié)
本節(jié)介紹了分布積分法以及對(duì)應(yīng)的分部積分公式，其核心思想是針對(duì)兩個(gè)單獨(dú)可以求不定積分的函數(shù)，二者的乘積求不定積分如果有困難，可以嘗試將其中一個(gè)函數(shù)看做其原函數(shù)v的導(dǎo)數(shù)，這樣兩個(gè)函數(shù)的乘積的不定積分就變成了一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)v的導(dǎo)數(shù)與另一個(gè)函數(shù)u的乘積的不定積分，從而可以嘗試?yán)霉?-1來轉(zhuǎn)換成函數(shù)u和函數(shù)v的乘積減去u的導(dǎo)數(shù)和v的乘積的不定積分的差。
說明：
本文內(nèi)容是老猿學(xué)習(xí)同濟(jì)版高數(shù)的總結(jié)，有需要原教材電子版以及OpenCV、Python基礎(chǔ)知識(shí)、、圖像處理原理介紹相關(guān)電子資料，或?qū)ξ恼聝?nèi)有有疑問咨詢的，請(qǐng)掃博客首頁(yè)左邊二維碼加微信公號(hào)，根據(jù)加微信公號(hào)后的自動(dòng)回復(fù)操作。
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