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來源：DeepHub IMBA
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本文為你解釋聯(lián)合概率和條件概率之間區(qū)別和聯(lián)系。

聯(lián)合概率P(A∩B)

兩個事件一起（或依次）發(fā)生的概率。

例如：擲硬幣的概率是 1?? = 50%，翻轉(zhuǎn) 2 個公平硬幣的概率是 1?? × 1?? = 1?? = 25%（這也可以理解為 50% 的 50%）

P(A ∩ B) = P(A) ? P(B)

對于 2 個硬幣，樣本空間將是 4 {HH,HT,TH,TT}，如果第一個硬幣是 H，那么剩余的結(jié)果是 2 {HT,HH}。這意味著第一個事件可能會影響第二個事件。

例如：從 10 個不同顏色的球中選出 1 個綠球的概率是 1???， 10個球中選2個綠球的概率（2個綠、2個藍、2個紅、4個黃）2??? × 1??（這個排列組合會更清楚）

簡而言之。當?shù)谝粋€事件的發(fā)生影響第二個事件的發(fā)生時，它們是相關(guān)事件。

P(A ∩ B) = P(A) ? P(B|A)

這里，P(B|A) 被讀作在 A 之后發(fā)生 B 的概率。這是當 A 事件已經(jīng)發(fā)生時發(fā)生 B 事件的概率。這稱為條件概率。

聯(lián)合概率和條件概率

例：城市中的一個三角形區(qū)域被化學工業(yè)污染。有2%的孩子住在這個三角區(qū)。其中 14% 的檢測過量有毒金屬呈陽性，而不在三角區(qū)居住的城市兒童的陽性檢測率僅為1%。

考慮：T 表示居住在三角形區(qū)域的人，并且P 表示檢測呈陽性的人。

當它說區(qū)域中 14% 的孩子測試為陽性時，這意味著：如果從三角形中隨機抽取一個孩子，它將有 14% 的機會測試為陽性。這是 P(P∣T)

P(P∩T) 的解釋是自整個人口中隨機選擇后即在三角形中并且測試為陽性的概率。

用維恩圖理解

P(A∩B) 是 A 和 B 都發(fā)生的概率（沒有任何附加信息。）

P(A|B) 是如果我們知道 B 已經(jīng)發(fā)生，A發(fā)生的概率。

讓我們通過一個例子來理解它。一個班有60名學生。33個喜歡藍色，23個喜歡紅色，20個學生喜歡這兩種顏色，4個學生喜歡橙色。

1. 選出一個同時喜歡紅和藍顏色的學生的概率是多少？

這非常簡單：P(B ∩ R) = 2????

2. 從喜歡紅色的學生中選出一個喜歡藍色的學生的概率是多少？

我們將檢查從特定學生集中選擇具有特定選擇的學生的概率。

? 喜歡紅色的學生有 23 人。其中有 20 個喜歡這兩種顏色。

P(B | R) =2????

通過維恩圖和上面的例子，我們可以說在這兩種情況下，事件的結(jié)果都沒有改變，但樣本空間正在減少。因此：

??(??∣??) ≥??(??∩??)

更多的例子

例子1：

假設(shè)擲兩個骰子，第一個得到6第二個得到4的概率是多少? 假設(shè)擲兩個骰子，如果兩個骰子的數(shù)字之和是10，第二個骰子顯示4的概率是多少?

在第一種情況下，沒有給出定義樣本空間的條件。所以我們從兩個骰子中取可能的結(jié)果，也就是36。

P(a∩b) = 2/36

在第二種情況下，對于樣本空間有一個條件，即骰子上的兩個數(shù)的樣本空間總和為10。樣本空間的總元素只有3 {4+6,5+5,6+4}

P(a | b) = 1/3

例子2：

一個人正在過馬路，我們想計算他被路過的汽車撞到的概率，這取決于交通燈的顏色。

設(shè)H代表這個人是否被撞，C代表紅綠燈的顏色。

H ={撞,不撞}

C ={紅、黃、綠}。

在這種情況下，你被撞到的條件概率是概率P(H=撞到|C=紅色)，即假設(shè)燈是紅色的，你被車撞到的概率有多大。

即使不是紅燈，也有可能有人被撞到，但這里我們只考慮紅燈時發(fā)生的車禍。

而聯(lián)合概率則是P(H=撞到，C=紅色)，即紅燈亮時你被車撞到的概率。

假設(shè)一個人橫穿馬路 3 次而沒有發(fā)生事故。但第7次被撞了。如果使用聯(lián)合概率，我們還想知道當他被撞時燈是紅色的概率是多少。

現(xiàn)在如果我們說，他在紅燈時過馬路10次，被車撞了7次。在這種情況下，樣本空間的條件是已經(jīng)給定的。

例子3：

研究人員調(diào)查了100名學生，詢問他們最想擁有哪種超能力。這個雙表格顯示了參與調(diào)查的學生樣本的數(shù)據(jù):

我們來找出不同的概率：

1. 找出學生選擇飛行作為他們超能力的概率。

沒有給出樣本空間的條件。我們?nèi)∷袑W生(100)來計算概率。

P(fly) = 38/100 = 0.38

2. 求出該學生是男性的概率。

同樣，沒有給出樣本空間的條件。我們?nèi)∷袑W生(100)來計算概率。

P(male)= 48/100 = 0.48

3. 求選擇飛行作為超能力時，這個學生是男性的概率。

這很有趣，這個問題的樣本空間是一群想要飛行的學生。n (S) = 38，38名學生中有26名是男性。所以:

P(male∣fly) = 26/38 = 0.68

或者用條件概率公式：

P(male∩fly) =選擇飛行男生/總?cè)藬?shù)= 26/100

P(male∣fly)= P(male∩fly)/ P(fly)= 26/38 = 0.68

4. 假設(shè)該學生是男性，求出該學生選擇飛行的概率。

這和上一題差不多。這個問題的樣本空間為n(S) = 48。在48名學生中，有26人選擇飛行。所以：

P(male∣fly) = 26/48 =0.68

5、I代表一個學生選擇隱身作為超能力的事件，F(xiàn)代表一個學生是女性的事件。

解釋P(I∣F)≈0.62的含義;

大約62%的女性選擇隱身作為她們的超能力。
在選擇隱身作為自己超能力的人中，大約有62%是女性。

解釋如下：

n(S) =所有女性，I∣F可以被解讀為在所有女性中選擇隱身的人。

總的來說，我們可以理解為大約62%的女性選擇隱身作為她們的超能力。所以表述a是正確的。

例子4：

下表是將各國按地區(qū)和平均創(chuàng)業(yè)成本(占某一年人均國民總收入(GNI)的百分比)進行了分類。

考慮到如果該國的創(chuàng)業(yè)成本歸類為高，那么找出該國位于南亞地區(qū)的概率。

這個問題屬于條件概率，因為給定了選擇樣本空間的條件：創(chuàng)業(yè)成本高的國家 n(S) = 87（樣本空間），以上樣本空間中的南亞地區(qū)國家，即創(chuàng)業(yè)成本高的國家：7

所以，從創(chuàng)業(yè)成本高的國家中選擇南亞地區(qū)國家的概率= 7/87

如果我們用條件概率的公式：

我們可以先計算 P(A ∩ B)，即從所有南亞地區(qū)且創(chuàng)業(yè)成本高的國家中選擇一個國家的概率。

這樣的國家有7個。由于沒有定義選擇樣本空間的條件，我們將采用全部空間，即 n(S) = 188。

P(A ∩ B) = 7/188

現(xiàn)在，我們需要計算一個國家創(chuàng)業(yè)成本高的概率。這很簡單：

P(A) = 87/188

使用公式得到P(B|A) = 7/87

總結(jié)

希望本文可以解釋聯(lián)合概率和條件概率之間區(qū)別和聯(lián)系，感謝閱讀。

編輯：黃繼彥

聯(lián)合概率和條件概率的區(qū)別和聯(lián)系

聯(lián)合概率P(A∩B)

聯(lián)合概率和條件概率

用維恩圖理解

更多的例子

總結(jié)