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來源：DeepHub IMBA
本文約2300字，建議閱讀9分鐘
本文為你解釋聯(lián)合概率和條件概率之間區(qū)別和聯(lián)系。

聯(lián)合概率P(A∩B)

兩個(gè)事件一起（或依次）發(fā)生的概率。

例如：擲硬幣的概率是 1?? = 50%，翻轉(zhuǎn) 2 個(gè)公平硬幣的概率是 1?? × 1?? = 1?? = 25%（這也可以理解為 50% 的 50%）

P(A ∩ B) = P(A) ? P(B)

對于 2 個(gè)硬幣，樣本空間將是 4 {HH,HT,TH,TT}，如果第一個(gè)硬幣是 H，那么剩余的結(jié)果是 2 {HT,HH}。這意味著第一個(gè)事件可能會影響第二個(gè)事件。

例如：從 10 個(gè)不同顏色的球中選出 1 個(gè)綠球的概率是 1???， 10個(gè)球中選2個(gè)綠球的概率（2個(gè)綠、2個(gè)藍(lán)、2個(gè)紅、4個(gè)黃）2??? × 1??（這個(gè)排列組合會更清楚）

簡而言之。當(dāng)?shù)谝粋€(gè)事件的發(fā)生影響第二個(gè)事件的發(fā)生時(shí)，它們是相關(guān)事件。

P(A ∩ B) = P(A) ? P(B|A)

這里，P(B|A) 被讀作在 A 之后發(fā)生 B 的概率。這是當(dāng) A 事件已經(jīng)發(fā)生時(shí)發(fā)生 B 事件的概率。這稱為條件概率。

聯(lián)合概率和條件概率

例：城市中的一個(gè)三角形區(qū)域被化學(xué)工業(yè)污染。有2%的孩子住在這個(gè)三角區(qū)。其中 14% 的檢測過量有毒金屬呈陽性，而不在三角區(qū)居住的城市兒童的陽性檢測率僅為1%。

考慮：T 表示居住在三角形區(qū)域的人，并且P 表示檢測呈陽性的人。

當(dāng)它說區(qū)域中 14% 的孩子測試為陽性時(shí)，這意味著：如果從三角形中隨機(jī)抽取一個(gè)孩子，它將有 14% 的機(jī)會測試為陽性。這是 P(P∣T)

P(P∩T) 的解釋是自整個(gè)人口中隨機(jī)選擇后即在三角形中并且測試為陽性的概率。

用維恩圖理解

P(A∩B) 是 A 和 B 都發(fā)生的概率（沒有任何附加信息。）

P(A|B) 是如果我們知道 B 已經(jīng)發(fā)生，A發(fā)生的概率。

讓我們通過一個(gè)例子來理解它。一個(gè)班有60名學(xué)生。33個(gè)喜歡藍(lán)色，23個(gè)喜歡紅色，20個(gè)學(xué)生喜歡這兩種顏色，4個(gè)學(xué)生喜歡橙色。

1. 選出一個(gè)同時(shí)喜歡紅和藍(lán)顏色的學(xué)生的概率是多少？

這非常簡單：P(B ∩ R) = 2????

2. 從喜歡紅色的學(xué)生中選出一個(gè)喜歡藍(lán)色的學(xué)生的概率是多少？

我們將檢查從特定學(xué)生集中選擇具有特定選擇的學(xué)生的概率。

? 喜歡紅色的學(xué)生有 23 人。其中有 20 個(gè)喜歡這兩種顏色。

P(B | R) =2????

通過維恩圖和上面的例子，我們可以說在這兩種情況下，事件的結(jié)果都沒有改變，但樣本空間正在減少。因此：

??(??∣??) ≥??(??∩??)

更多的例子

例子1：

假設(shè)擲兩個(gè)骰子，第一個(gè)得到6第二個(gè)得到4的概率是多少? 假設(shè)擲兩個(gè)骰子，如果兩個(gè)骰子的數(shù)字之和是10，第二個(gè)骰子顯示4的概率是多少?

在第一種情況下，沒有給出定義樣本空間的條件。所以我們從兩個(gè)骰子中取可能的結(jié)果，也就是36。

P(a∩b) = 2/36

在第二種情況下，對于樣本空間有一個(gè)條件，即骰子上的兩個(gè)數(shù)的樣本空間總和為10。樣本空間的總元素只有3 {4+6,5+5,6+4}

P(a | b) = 1/3

例子2：

一個(gè)人正在過馬路，我們想計(jì)算他被路過的汽車撞到的概率，這取決于交通燈的顏色。

設(shè)H代表這個(gè)人是否被撞，C代表紅綠燈的顏色。

H ={撞,不撞}

C ={紅、黃、綠}。

在這種情況下，你被撞到的條件概率是概率P(H=撞到|C=紅色)，即假設(shè)燈是紅色的，你被車撞到的概率有多大。

即使不是紅燈，也有可能有人被撞到，但這里我們只考慮紅燈時(shí)發(fā)生的車禍。

而聯(lián)合概率則是P(H=撞到，C=紅色)，即紅燈亮?xí)r你被車撞到的概率。

假設(shè)一個(gè)人橫穿馬路 3 次而沒有發(fā)生事故。但第7次被撞了。如果使用聯(lián)合概率，我們還想知道當(dāng)他被撞時(shí)燈是紅色的概率是多少。

現(xiàn)在如果我們說，他在紅燈時(shí)過馬路10次，被車撞了7次。在這種情況下，樣本空間的條件是已經(jīng)給定的。

例子3：

研究人員調(diào)查了100名學(xué)生，詢問他們最想擁有哪種超能力。這個(gè)雙表格顯示了參與調(diào)查的學(xué)生樣本的數(shù)據(jù):

我們來找出不同的概率：

1. 找出學(xué)生選擇飛行作為他們超能力的概率。

沒有給出樣本空間的條件。我們?nèi)∷袑W(xué)生(100)來計(jì)算概率。

P(fly) = 38/100 = 0.38

2. 求出該學(xué)生是男性的概率。

同樣，沒有給出樣本空間的條件。我們?nèi)∷袑W(xué)生(100)來計(jì)算概率。

P(male)= 48/100 = 0.48

3. 求選擇飛行作為超能力時(shí)，這個(gè)學(xué)生是男性的概率。

這很有趣，這個(gè)問題的樣本空間是一群想要飛行的學(xué)生。n (S) = 38，38名學(xué)生中有26名是男性。所以:

P(male∣fly) = 26/38 = 0.68

或者用條件概率公式：

P(male∩fly) =選擇飛行男生/總?cè)藬?shù)= 26/100

P(male∣fly)= P(male∩fly)/ P(fly)= 26/38 = 0.68

4. 假設(shè)該學(xué)生是男性，求出該學(xué)生選擇飛行的概率。

這和上一題差不多。這個(gè)問題的樣本空間為n(S) = 48。在48名學(xué)生中，有26人選擇飛行。所以：

P(male∣fly) = 26/48 =0.68

5、I代表一個(gè)學(xué)生選擇隱身作為超能力的事件，F(xiàn)代表一個(gè)學(xué)生是女性的事件。

解釋P(I∣F)≈0.62的含義;

大約62%的女性選擇隱身作為她們的超能力。
在選擇隱身作為自己超能力的人中，大約有62%是女性。

解釋如下：

n(S) =所有女性，I∣F可以被解讀為在所有女性中選擇隱身的人。

總的來說，我們可以理解為大約62%的女性選擇隱身作為她們的超能力。所以表述a是正確的。

例子4：

下表是將各國按地區(qū)和平均創(chuàng)業(yè)成本(占某一年人均國民總收入(GNI)的百分比)進(jìn)行了分類。

考慮到如果該國的創(chuàng)業(yè)成本歸類為高，那么找出該國位于南亞地區(qū)的概率。

這個(gè)問題屬于條件概率，因?yàn)榻o定了選擇樣本空間的條件：創(chuàng)業(yè)成本高的國家 n(S) = 87（樣本空間），以上樣本空間中的南亞地區(qū)國家，即創(chuàng)業(yè)成本高的國家：7

所以，從創(chuàng)業(yè)成本高的國家中選擇南亞地區(qū)國家的概率= 7/87

如果我們用條件概率的公式：

我們可以先計(jì)算 P(A ∩ B)，即從所有南亞地區(qū)且創(chuàng)業(yè)成本高的國家中選擇一個(gè)國家的概率。

這樣的國家有7個(gè)。由于沒有定義選擇樣本空間的條件，我們將采用全部空間，即 n(S) = 188。

P(A ∩ B) = 7/188

現(xiàn)在，我們需要計(jì)算一個(gè)國家創(chuàng)業(yè)成本高的概率。這很簡單：

P(A) = 87/188

使用公式得到P(B|A) = 7/87

總結(jié)

希望本文可以解釋聯(lián)合概率和條件概率之間區(qū)別和聯(lián)系，感謝閱讀。


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聯(lián)合概率和條件概率的區(qū)別和聯(lián)系

聯(lián)合概率P(A∩B)

聯(lián)合概率和條件概率

用維恩圖理解

更多的例子

總結(jié)