關(guān)于卡爾曼及卡爾曼增益的理解【精】
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提到卡爾曼，不得不說一個(gè)故事：
片綠油油的草地上有一條曲折的小徑，通向一棵大樹。一個(gè)要求被提出：從起點(diǎn)沿著小徑走到樹下。
“很簡(jiǎn)單。” A說，于是他絲毫不差地沿著小徑走到了樹下。
現(xiàn)在，難度被增加了：蒙上眼。
“也不難，我當(dāng)過特種兵?！?B說，于是他歪歪扭扭地走到了樹旁?！鞍Γ镁貌痪?，生疏了?！?（只憑自己的預(yù)測(cè)能力）
“看我的，我有 DIY 的 GPS！” C說，于是他像個(gè)醉漢似地歪歪扭扭的走到了樹旁。“唉，這個(gè) GPS 沒做好，漂移太大?！保ㄖ灰揽客饨缬泻艽笤肼暤臏y(cè)量）
“我來試試。” 旁邊一也當(dāng)過特種兵的拿過 GPS, 蒙上眼，居然沿著小徑很順滑的走到了樹下。（自己能預(yù)測(cè)+測(cè)量結(jié)果的反饋）
“這么厲害！你是什么人?”
“卡爾曼 ! ”
“卡爾曼？！你就是卡爾曼？”
眾人大吃一驚。
“我是說這個(gè) GPS 卡而慢。
總結(jié)就是預(yù)測(cè)+測(cè)量更新。
卡爾曼濾波的測(cè)量更新部分是由最小二乘推導(dǎo)而來。
今天主要說明卡爾曼增益的Kt如何去理解？
卡爾曼主要來處理如下兩個(gè)來源的數(shù)據(jù)：
(1)根據(jù)模型來預(yù)測(cè)出的數(shù)據(jù)。（預(yù)測(cè)）
(2)傳感器觀測(cè)到的數(shù)據(jù)。（觀測(cè)）
核心：
K越小越相信你的預(yù)測(cè)（1）中的估計(jì)，
K越大越相信你的觀測(cè)（2）中的觀測(cè)。
K的值和傳感器的精度有關(guān)。依賴于按個(gè)傳感器更缺。
我們從另一個(gè)角度理解卡爾曼濾波算法，假設(shè)你的傳感器和預(yù)測(cè)模型的噪聲均滿足正高斯正態(tài)分布，看下面圖片：
顯然你可以看到兩個(gè)正態(tài)分布相乘，帶P下墜的代表預(yù)測(cè)滿足的噪聲正態(tài)分布，帶m下標(biāo)的表示是傳感器測(cè)量噪聲所滿足的正態(tài)分布。這兩個(gè)預(yù)測(cè)和測(cè)量是獨(dú)立事件。
整理后得到上述的式子。我們會(huì)得到如下分析：
(1)δp越大時(shí)，k越大，這樣對(duì)于預(yù)測(cè)來說它的噪音的不確定性變大，所以我們相信更傳感器的測(cè)量值
(2) δp越小的時(shí)候，k越小，這樣對(duì)于預(yù)測(cè)來說它的噪音不確定性變小，所以我們更相信預(yù)測(cè)的值。
現(xiàn)在，我們把一維推廣到高維，用矩陣表示：
比如高維情況下卡爾曼增益K=P*Ht*（R+HPHt）（圖中綠框地方），這個(gè)式子與正好對(duì)應(yīng)。
P是預(yù)測(cè)的方差，H是觀測(cè)矩陣，R是傳感器測(cè)量滿組方差。其余也是一一對(duì)應(yīng)的。
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