理解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵是理解 通用近似定理

你好，我是zhenguo

通用近似定理很好地解釋了為什么神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能工作以及為什么它們經(jīng)常不起作用。

此前，圖靈獎得主、深度學(xué)習(xí)先驅(qū) Yann LeCun 的一條推文引來眾多網(wǎng)友的討論。

在該推文中，LeCun 表示：「深度學(xué)習(xí)并不像你想象的那么令人印象深刻，因為它僅僅是通過曲線擬合產(chǎn)生的插值結(jié)果。但在高維空間中，不存在插值這樣的情況。在高維空間中，一切都是外推。」

而 LeCun 轉(zhuǎn)發(fā)的內(nèi)容來自哈佛認知科學(xué)家 Steven Pinker 的一條推文，Pinker 表示：「 通用近似定理很好地解釋了為什么神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能工作以及為什么它們經(jīng)常不起作用。只有理解了 Andre Ye 的通用近似定理，你才能理解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。」

Pinker 所提到的 Andre Ye，正是接下來要介紹《You Don’t Understand Neural Networks Until You Understand the Universal Approximation Theorem》文章的作者。雖然該文章是去年的，但在理解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方面起到非常重要的作用。

在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)理論中， 通用近似定理（或稱萬能近似定理）指出人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似任意函數(shù)的能力。通常此定理所指的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并且被近似的目標(biāo)函數(shù)通常為輸入輸出都在歐幾里得空間的連續(xù)函數(shù)。但亦有研究將此定理擴展至其他類型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，如卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、放射狀基底函數(shù)網(wǎng)絡(luò)、或其他特殊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

此定理意味著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以用來近似任意的復(fù)雜函數(shù)，并且可以達到任意近似精準度。但它并沒有告訴我們?nèi)绾芜x擇神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)（權(quán)重、神經(jīng)元數(shù)量、神經(jīng)層層數(shù)等等）來達到我們想近似的目標(biāo)函數(shù)。

1989 年，George Cybenko 最早提出并證明了單一隱藏層、任意寬度、并使用 S 函數(shù)作為激勵函數(shù)的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的通用近似定理。兩年后 1991 年，Kurt Hornik 研究發(fā)現(xiàn)，激活函數(shù)的選擇不是關(guān)鍵，前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的多層神經(jīng)層及多神經(jīng)元架構(gòu)才是使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有成為通用逼近器的關(guān)鍵。

最重要的是，該定理解釋了為什么神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)似乎表現(xiàn)得如此聰明。理解它是發(fā)展對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)深刻理解的關(guān)鍵一步。

更深層次的探索

緊湊（有限、封閉）集合上的任何連續(xù)函數(shù)都可以用分段函數(shù)逼近。以 - 3 和 3 之間的正弦波為例，它可以用三個函數(shù)來近似——兩個二次函數(shù)和一個線性函數(shù)，如下圖所示。

然而，Cybenko 對這個分段函數(shù)描述更為具體，因為它可以是恒定，本質(zhì)上通過 step 來擬合函數(shù)。有了足夠多的恒定域 (step)，我們就可以在給定的范圍內(nèi)合理地估計函數(shù)。

基于這種近似，我們可以將神經(jīng)元當(dāng)做 step 來構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)。利用權(quán)值和偏差作為「門」來確定哪個輸入下降，哪個神經(jīng)元應(yīng)該被激活，一個有足夠數(shù)量神經(jīng)元的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以簡單地將一個函數(shù)劃分為幾個恒定區(qū)域來估計。

對于落在神經(jīng)元下降部分的輸入信號，通過將權(quán)重放大到較大的值，最終的值將接近 1(當(dāng)使用 sigmoid 函數(shù)計算時)。如果它不屬于這個部分，將權(quán)重移向負無窮將產(chǎn)生接近于 0 的最終結(jié)果。使用 sigmoid 函數(shù)作為某種處理器來確定神經(jīng)元的存在程度，只要有大量的神經(jīng)元，任何函數(shù)都可以近乎完美地近似。在多維空間中，Cybenko 推廣了這一思想，每個神經(jīng)元在多維函數(shù)中控制空間的超立方體。

通用近似定理的關(guān)鍵在于，它不是在輸入和輸出之間建立復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系，而是使用簡單的線性操作將復(fù)雜的函數(shù)分割成許多小的、不那么復(fù)雜的部分，每個部分由一個神經(jīng)元處理。

自 Cybenko 的初始證明以后，學(xué)界已經(jīng)形成了許多新的改進，例如針對不同的激活函數(shù)（例如 ReLU），或者具有不同的架構(gòu)（循環(huán)網(wǎng)絡(luò)、卷積等）測試通用近似定理。

不管怎樣，所有這些探索都圍繞著一個想法——神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在神經(jīng)元數(shù)量中找到優(yōu)勢。每個神經(jīng)元監(jiān)視特征空間的一個模式或區(qū)域，其大小由網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元的數(shù)量決定。神經(jīng)元越少，每個神經(jīng)元需要監(jiān)視的空間就越多，因此近似能力就會下降。但是，隨著神經(jīng)元增多，無論激活函數(shù)是什么，任何函數(shù)都可以用許多小片段拼接在一起。

泛化和外推

有人可能指出，通用近似定理雖然簡單，但有點過于簡單（至少在概念上）。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以分辨數(shù)字、生成音樂等，并且通常表現(xiàn)得很智能，但實際上只是一個復(fù)雜的逼近器。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)旨在對給定的數(shù)據(jù)點，能夠建模出復(fù)雜的數(shù)學(xué)函數(shù)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是個很好的逼近器，但是，如果輸入超出了訓(xùn)練范圍，它們就失去了作用。這類似于有限泰勒級數(shù)近似，在一定范圍內(nèi)可以擬合正弦波，但超出范圍就失效了。

外推，或者說在給定的訓(xùn)練范圍之外做出合理預(yù)測的能力，這并不是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的目的。從通用近似定理，我們了解到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并不是真正的智能，而是隱藏在多維度偽裝下的估計器，在二維或三維中看起來很普通。

定理的實際意義

當(dāng)然，通用逼近定理假設(shè)可以繼續(xù)向無窮大添加神經(jīng)元，這在實踐中是不可行的。此外，使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近乎無限的參數(shù)組合來尋找性能最佳的組合也是不切實際的。然而，該定理還假設(shè)只有一個隱藏層，并且隨著添加更多隱藏層，復(fù)雜性和通用逼近的潛力呈指數(shù)增長。

取而代之的是，機器學(xué)習(xí)工程師依據(jù)直覺和經(jīng)驗決定了如何構(gòu)造適合給定問題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)，以便它能夠很好地逼近多維空間，知道這樣一個網(wǎng)絡(luò)的存在，但也要權(quán)衡計算性能。

掃碼關(guān)注我的視頻號：程序員zhenguo