你真的了解數(shù)學(xué)中的概率嗎？

概率和統(tǒng)計(jì)學(xué)的關(guān)系十分密切，大量統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)都起源于概率論，現(xiàn)在我們來把它濃縮成一篇文章，當(dāng)然如果想要更深入地學(xué)習(xí)，還是建議大家自己看書喲。

概率的本質(zhì)是什么？

我們都知道扔一枚硬幣，正面朝上的概率為0.5，那0.5是什么意思呢？

對(duì)概率的解釋有兩大學(xué)派，主觀概率派和客觀概率派，由兩種解釋建立起了貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)和傳統(tǒng)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)（頻率論學(xué)派）。

客觀概率派

客觀概率派中對(duì)概率的解釋是基于物理世界本身存在的隨機(jī)性，客觀概率派中的頻率派，即將頻率作為概率，也就是說要做大量重復(fù)的試驗(yàn)來得到結(jié)論。

還是扔硬幣的問題，正面朝上的概率為0.5，用頻率派的說法就是，如果我們?nèi)缘拇螖?shù)足夠多，那么有大概一半的情況會(huì)出現(xiàn)正面朝上。

我們后面要說的常見名詞中對(duì)于概率的解釋其實(shí)就是客觀概率的說法。

主觀概率派

又叫做貝葉斯派，強(qiáng)調(diào)信念的強(qiáng)度，是我們由于信息不足而對(duì)事件發(fā)生可能性的度量，因?yàn)橛行┦录o法做大量重復(fù)的試驗(yàn)，如明天是否會(huì)下雨，只能通過已有信息和邏輯進(jìn)行推斷。

如果我們相信這件事情一定會(huì)發(fā)生，那么它的概率就是1，如果我們不確定這件事情是否發(fā)生，那么它的概率就介于0到1之間。

概率中的幾個(gè)名詞

來說幾個(gè)名詞及相應(yīng)解釋：

• 試驗(yàn)：對(duì)某事物或現(xiàn)象進(jìn)行觀察或?qū)嶒?yàn)

• 事件：試驗(yàn)的結(jié)果，換句話說，事件可以是任何事情

比如擲骰子，這是一個(gè)試驗(yàn)，而擲骰子這個(gè)過程中出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1這個(gè)結(jié)果是一個(gè)事件。

• 隨機(jī)事件：可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件

• 必然事件：一定會(huì)出現(xiàn)的事件

• 不可能事件：一定不會(huì)出現(xiàn)的事件

擲骰子點(diǎn)數(shù)小于7這就是一個(gè)必然事件，點(diǎn)數(shù)大于6就是一個(gè)不可能事件，點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)則是一個(gè)隨機(jī)事件

• 概率：一個(gè)事件在試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性大小的度量，通常用P來表示，其范圍在0~1之間，如P(A)的意思就是發(fā)生事件A的概率。
  

  

• 對(duì)立事件：A事件的對(duì)立事件為A'，A'包含A所不包含的一切

• 互斥事件：如果兩個(gè)事件是互斥事件，意味著他們倆只有一個(gè)會(huì)發(fā)生

• 相交事件：如果兩個(gè)事件相交，說明它們倆可能同時(shí)發(fā)生
  概率除了用公式計(jì)算外，還可以用維恩圖的形式來表示。
  

  

要注意的是，概率只是對(duì)事件發(fā)生可能性的一種表達(dá)，絕非擔(dān)保。

• 條件概率：已知B事件發(fā)生的前提下A事件發(fā)生的概率，用P(A | B)表示，條件概率可用以下公式求解。
  

  

• 貝葉斯定理：提供了一種計(jì)算逆條件概率的方法，也就是需要求條件概率，但該條件概率與已知條件概率順序相反時(shí)要用到貝葉斯定理。

關(guān)于貝葉斯定理，里面還有全概率公式、先驗(yàn)概率、后驗(yàn)概率等概念的理解，這部分內(nèi)容在《深入淺出統(tǒng)計(jì)學(xué)》里講解的非常好，不單單是窮舉公式，大家可以看下。

• 相關(guān)事件：如果幾個(gè)事件互有影響，則為相關(guān)事件。

比如從抽屜里拿襪子，直到找出一雙，這是相關(guān)事件，因?yàn)樵谌〕鲆恢灰m子后，受這一動(dòng)作的影響，下一次再取襪子時(shí)，襪子的總數(shù)已經(jīng)減少了，會(huì)影響到每一次取襪子的概率，求相關(guān)事件的概率就是求條件概率。

• 獨(dú)立事件：如果幾個(gè)事件互不影響，就是獨(dú)立事件。還是取襪子，如果取了以后再放回，這就是獨(dú)立事件，因?yàn)榉呕匾院罂倲?shù)不變了，第二次取襪子不會(huì)因?yàn)榈谝淮稳∫m子而受到影響。

離散型隨機(jī)變量的概率分布

概率可以用來衡量一些事件發(fā)生可能性的大小，但它絕非擔(dān)保，如何利用概率預(yù)測(cè)長(zhǎng)期結(jié)果，答案是善用期望，說到期望，就要有概率分布，還是要先熟悉幾個(gè)名詞：

• 隨機(jī)變量：一個(gè)隨機(jī)事件的所有可能值X，且每個(gè)可能值X都有確定的概率P，X就是P(X)的隨機(jī)變量，P(X)就是X的概率函數(shù)。

• 離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量X都能被一一列舉出來，也就是只能取確定的數(shù)值，就是離散型隨機(jī)變量，如一批產(chǎn)品中次品的數(shù)量。

• 連續(xù)型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量X不能被一一列舉出來，如一批電子元器件的壽命。

• 概率分布：概率分布就是把一個(gè)事件可能發(fā)生的所有概率匯總起來。
  篇幅限制，這一節(jié)就先寫到離散型隨機(jī)變量的概率分布，下節(jié)再寫連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。

離散型隨機(jī)變量的期望和方差

• 期望：就是離散型隨機(jī)變量X的各個(gè)值與其概率乘積的和，通常表示為E(X)，期望指示了預(yù)測(cè)的結(jié)果。

• 方差：是每個(gè)隨機(jī)變量與其期望值的離差平方的期望值，用VAR(X)表示，方差表示了結(jié)果的分散性。
  概率分布的期望和方差也有一些比較重要的線性變換的性質(zhì)，比如：
  

  

  
  當(dāng)每個(gè)事件相互獨(dú)立時(shí)，期望和方差的計(jì)算則按以下公式：