人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)--導(dǎo)數(shù)3：隱函數(shù)求導(dǎo)、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法、參數(shù)方程求導(dǎo)法

一、隱函數(shù)概念

用y=f(x)這種方式定義的函數(shù)叫顯函數(shù)，而隱函數(shù)是指沒有使用這種方式定義，而是用類似F(x,y)=0這種方程方式來定義x和y關(guān)系的方式。

一般地，如果變量x和y滿足一個(gè)方程F(x,y)=0，在一定條件下，當(dāng)x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足這方程的唯一的y值存在，那么就說方程(x,y)=0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù)。

把一隱函數(shù)化成顯函數(shù)，叫做隱函數(shù)的顯化。例如從方程x+y-1=0解出y=1-x，就把隱函數(shù)化成了顯函數(shù)。隱函數(shù)的顯化有時(shí)是有困難的，甚至是不可能的，但在實(shí)際問題中，有時(shí)需要計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此我們希望有一種方法，不管隱函數(shù)能否顯化，都能直接由方程算出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來。

二、隱函數(shù)求導(dǎo)

隱函數(shù)實(shí)際上是一個(gè)方程，對(duì)于方程F(x,y)=0，可以對(duì)該方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，求導(dǎo)的結(jié)果還是一個(gè)方程。但求導(dǎo)中要注意，該方程隱含了y=f(x)，因此y不能看做常數(shù)處理。例如，針對(duì)方程：

xy=0

兩邊對(duì)x求導(dǎo)，可以得到的方程是：(xy）’=x’y+y’x=y+xy’=0

這樣就能得到一個(gè)關(guān)于x、y、y’的方程，如果能將y’用x和y的方式表達(dá)出來，就得到了隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)公式，當(dāng)點(diǎn)(x0,y0)的坐標(biāo)值確定時(shí)，在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值就能確定。

為了清楚說明，下面貼一個(gè)書中的例子：

三、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)

求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)在某些情況下，將函數(shù)兩邊先同時(shí)進(jìn)行取對(duì)數(shù)運(yùn)算再求導(dǎo)有助于化復(fù)雜為簡(jiǎn)單。老猿認(rèn)為這是因?yàn)閷?duì)數(shù)可以把指數(shù)或求根運(yùn)算轉(zhuǎn)換為乘積運(yùn)算，可以把乘積運(yùn)算轉(zhuǎn)換為加減運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了運(yùn)算的降維。

指數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)換為乘積運(yùn)算的案例請(qǐng)見《y=x^sinx（y=x的sinx次方）為什么不能用復(fù)合函數(shù)直接求導(dǎo)數(shù)？》。

乘積、方根運(yùn)算轉(zhuǎn)換請(qǐng)見書中如下案例：

四、參數(shù)方程求導(dǎo)法

前面第二部分介紹的隱函數(shù)是對(duì)F(x,y)=0的方程求導(dǎo)，但有時(shí)x和y不是建立直接關(guān)系，而是各自與第三個(gè)參數(shù)建立方程關(guān)系，此時(shí)的方程就是參數(shù)方程。

一般地，方程組：

x=g(t)

y=h(t)

確定了y與x之間的函數(shù)關(guān)系，上述方程組就是參數(shù)方程，由該參數(shù)方程確定的y與x的關(guān)系函數(shù)y=f（x）就稱為參數(shù)方程確定的函數(shù)。

針對(duì)參數(shù)方程確定的函數(shù)y=f(x)求導(dǎo)，由于二者之間都是通過t關(guān)聯(lián)，要將其表達(dá)為y=f(x)方式需要去除參數(shù)t，但有些情況t不容易去掉，這時(shí)可能可以通過參數(shù)方程計(jì)算出y=f(x)的導(dǎo)數(shù)。

上述參數(shù)方程所確定的y關(guān)于x的函數(shù)的求導(dǎo)公式如下：

如果h(t)、g(t)是二階可導(dǎo)的，那么從上述一階導(dǎo)數(shù)可以得到函數(shù)對(duì)應(yīng)的二階導(dǎo)求導(dǎo)公式如下：

參數(shù)方程求導(dǎo)的一個(gè)應(yīng)用案例

五、小結(jié)

本文介紹了利用隱函數(shù)、對(duì)數(shù)、以及參數(shù)方程求導(dǎo)的概念和方法。

說明：

本文內(nèi)容是老猿學(xué)習(xí)同濟(jì)版高數(shù)的總結(jié)，有需要原教材電子版的，請(qǐng)掃博客首頁左邊二維碼加微信公號(hào)，根據(jù)加微信公號(hào)后的自動(dòng)回復(fù)操作。

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