人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：求導(dǎo)神器--羅必塔法則
一、引言
如果兩個函數(shù)f(x)、F(x)在x->a或x->∞時，其值都趨于0或無窮大，,那么這兩個函數(shù)的商為0/0或∞/∞，那么f(x)/F(x)在x->a或x->∞時的極限可能存在、也可能不存在，通常把這種極限叫做未定式，并分別簡記為：
羅必塔（L’Hospital）法則，也稱為洛必達法則，就是針對這種未定式極限中某些有極限值的部分未定式來推理其極限的簡單重要方法。
二、羅必塔法則
2.1、定理1
1、定理
設(shè)：
當x->a時，函數(shù)f(x)和F(x)都趨于0；
在點a的某去心鄰域內(nèi)，f’(x)和F’(x)都存在，且F’(x)不等于0；
x->a時，lim(f’(x)/F’(x))存在（或為無窮大）。
則：
2、證明思路
由于是求lim(f(x)/F(x))的極限，當x->a時，函數(shù)f(x)和F(x)都趨于0，且當x->a時，函數(shù)f(x)和F(x)都趨于0，因此不妨假設(shè)f(a)=F(a)=0。因此兩個函數(shù)在點a的鄰域內(nèi)是連續(xù)的，即：
函數(shù)f(x)和F(x)在[x,a]內(nèi)連續(xù)，由條件2指定二者在（x,a）內(nèi)可導(dǎo)，且F’(x)不等于0，因此滿足柯西中值定理的要求，則函數(shù)f(x)和F(x)在（x,a）內(nèi)，下列等式成立：
當x->a時，ε->a，對上式兩端求極限，即可得到證明。
3、意義
洛必達法則，對于未定式求極限時，如果在x->a時，當lim(f’(x)/F’(x))存在或趨于無窮大時，lim(f(x)/F(x))也存在或趨于無窮大，且其極限等于lim(f’(x)/F’(x))。
如果當lim(f’(x)/F’(x))也是未定式，且(f’(x)和F’(x)滿足定理的條件時，那么可以繼續(xù)使用洛必達法則，通過lim(f"(x)/F"(x))求得lim(f’(x)/F’(x))，再求得lim(f(x)/F(x))。
通過以上方式，可以實現(xiàn)極限運算求解的降維操作，從而化繁為簡實現(xiàn)快速求取極限。
2.2、定理2
定理1的x->a時改為x->∞，也有相應(yīng)的羅必塔法則：
設(shè)：
當x->∞時，函數(shù)f(x)和F(x)都趨于0；
當|x|>N時，f’(x)和F’(x)都存在，且F’(x)不等于0；
x->∞時，lim(f’(x)/F’(x))存在（或為無窮大）。
則：
三、案例
洛必達法則是求未定式的一種有效方法，但最好能與其他求極限的方法結(jié)合使用。例如能化簡時應(yīng)盡可能先化簡，可以應(yīng)用等價無窮小替代或重要極限時，應(yīng)盡可能應(yīng)用，這樣可以使運算簡捷。
四、小結(jié)
本文介紹了羅必塔法則的內(nèi)容，羅必塔法則給出的是求未定式的一方法，通過對滿足條件的兩個函數(shù)的商求導(dǎo)后的結(jié)果求極限，作為未定式的極限。
當定理條件滿足時，所求的極限當然存在(或為∞)，但當定理條件不滿足時，所求極限卻不一定不存在，這就是說當兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的商的極限不存在時(等于無窮大的情況除外)，未定式的極限也可能存在。
說明：
本文內(nèi)容是老猿學(xué)習(xí)同濟版高數(shù)的總結(jié)，有需要原教材電子版以及OpenCV、Python基礎(chǔ)知識、、圖像處理原理介紹相關(guān)電子資料，或?qū)ξ恼聝?nèi)有有疑問咨詢的，請掃博客首頁左邊二維碼加微信公號，根據(jù)加微信公號后的自動回復(fù)操作。
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