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今天我們將學習邏輯回歸(logistics regression)，由于邏輯回歸是基于線性回歸的特殊變化，我將用最簡單通俗的語言來為大家介紹邏輯回歸模型及其應用。

邏輯回歸是解決二分類問題的監(jiān)督學習算法，用來估計某個類別的概率。其直接預測值是表示0-1區(qū)間概率的數(shù)據(jù)，基于概率再劃定閾值進行分類，而求解概率的過程就是回歸的過程。

邏輯回歸應用于數(shù)據(jù)分析的場景主要有三種：

驅(qū)動力分析：某個事件發(fā)生與否受多個因素所影響，分析不同因素對事件發(fā)生驅(qū)動力的強弱（驅(qū)動力指相關性，不是因果性）；
預測：預測事件發(fā)生的概率；
分類：適合做多種分類算法、因果分析等的基礎組件；

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邏輯回歸的原理

下圖是之前講到的線性回歸模型的數(shù)據(jù)分布，線性回歸是用一條線來擬合自變量和因變量之間的關系，我們可以看到其輸出結果y是連續(xù)的。例如我們想預測不同用戶特征對所使用產(chǎn)品的滿意分，可以采用線性回歸模型。但是如果我們想根據(jù)這些因素去判斷用戶的性別，或者是否推薦使用等，之前的線性回歸就不適用了，這時，我們就要用到邏輯回歸進行二分類了。但是分類模型輸出結果卻需要是離散的，如何把連續(xù)型的y轉(zhuǎn)化為取值范圍0-1的數(shù)值呢？

答案是，我們只需要將線性回歸模型的結果帶入到sigmoid函數(shù)（sigmoid函數(shù)就是Logistic函數(shù)，故本算法名為邏輯回歸），即可將線性回歸模型轉(zhuǎn)化為二分類問題，這就是邏輯回歸。我們可以這樣理解：邏輯回歸=線性回歸+sigmoid函數(shù)

那么，什么是sigmoid函數(shù)呢？如圖，當輸入值趨于無窮小時，函數(shù)值趨近于0；輸入值趨于無窮大時，函數(shù)值趨近于1。我們將線性回歸結果y帶入到sigmoid函數(shù)的x，即下圖橫坐標，就輕而易舉的將連續(xù)變量y轉(zhuǎn)換為了0-1區(qū)間的一個概率值。當這個概率值(函數(shù)值)小于0.5時，我們將最終結果預測為0，當概率值大于0.5時，我們將預測結果預測為1。

以上就是邏輯回歸的基本原理，簡述一下邏輯回歸的算法步驟，可以概括為四步：

將自變量特征輸入
定義自變量的線性組合y，即針對自變量線性回歸
將線性回歸結果y映射到sigmoid函數(shù)，生成一個0-1范圍取值的函數(shù)概率值
根據(jù)概率值，定義閾值(通常為0.5)，判定分類結果的正負

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邏輯回歸的目標函數(shù)

在明確了邏輯回歸的原理后，我們來看它的目標函數(shù)可以用什么來表示？在之前的線性回歸模型中，我們用誤差平方和來做其目標函數(shù)，意思就是每個數(shù)據(jù)點預測值與實際值誤差的平方和。在此，我們將單一數(shù)據(jù)點的誤差定義為cost函數(shù)，即可獲得目標函數(shù)的通用形式：

我希望每一個我預測出的數(shù)據(jù)點結果使得它的誤差所帶來的代價越小越好，然后求和所得到的目標函數(shù)也是越小越好。在具體模型訓練的時候，我們在假設可以調(diào)整模型的一些參數(shù)，通過這些參數(shù)我們求得每一點的預測值，最終我們調(diào)整模型參數(shù)使得目標函數(shù)可以取到它能取得的最小值。

但是邏輯回歸不可用最小誤差平方和作為其目標函數(shù)，原因主要是邏輯回歸的優(yōu)化方法需要使用梯度下降法?，而使用誤差平方和會導致非凸（non-convex）的目標函數(shù)，非凸函數(shù)會存在多個局部極小值，而多個局部極小值不利于用梯度下降法找到全局的最小損失值。