Python 時間序列預(yù)測：Hot-winters
1. 什么是Holt-Winters
時間序列是非常常見的數(shù)據(jù)格式，以[時間，觀測值]形式表現(xiàn)，如下圖。
現(xiàn)實場景中如股票走勢圖，國家GDP歷年數(shù)據(jù)，機(jī)器cpu利用率，內(nèi)存數(shù)據(jù)等都是時間序列。對未來時間的觀測值進(jìn)行預(yù)測是有意義的工作，提前預(yù)知未來的數(shù)據(jù)的走勢，可以提前做出行動，如預(yù)測cpu使用率，如果cpu飆高，可以及早進(jìn)行調(diào)整，避免機(jī)器負(fù)載過高而宕機(jī)，這個在AIOPS是很常見的一個應(yīng)用場景。
今天要說到Holt-Winters是利用三次指數(shù)平滑來做時間序列預(yù)測的方法。Holt-Winters是綜合了1957年Holt和1960年Winters兩個人的思路的一種方法。
一次指數(shù)平滑
我們來看下，一次指數(shù)平滑如下圖：
可知，si表示第i時刻的平滑估計，si可以表示為當(dāng)前實際值xi和上一時刻平滑估計值得加權(quán)組合，權(quán)重由alpha來決定。那為什么稱為指數(shù)平滑呢？我們來把式子展開，如下：
有點類似泰勒展開式的味道
alpha 屬于[0, 1], 越大表示近期的數(shù)據(jù)影響更大
二次指數(shù)平滑：加上趨勢的因素
一次指數(shù)平滑，沒有考慮時間序列的趨勢和季節(jié)性，二次指數(shù)平滑加上趨勢因素。
從公式可知，一個時間序列的時刻值分解為baseline部分和趨勢部分，t表示趨勢，可以表示為連續(xù)兩個時刻的差值；可知，ti也是一次的指數(shù)平滑。
Holt-Winters三次指數(shù)平滑：加上季節(jié)性因素
在二次指數(shù)平滑基礎(chǔ)上，考慮季節(jié)性因素，就是三次指數(shù)平滑，也就是Holt-Winters。由此，一個時間序列的時刻值分解為baseline部分和趨勢部分以及季節(jié)部分。由于季節(jié)性，存在周期，比如按周，按月等。pi季節(jié)性為當(dāng)前季節(jié)性值和上一個周期季節(jié)性估計值的加權(quán)組合，周期在公式中以k來表示。如下：
2. Holt-Winters的實現(xiàn)
從第一部分可知，要實現(xiàn)Holt-Winters，只要知道：
?初始值：s0，t0和p0?合適的參數(shù)：alpha，beta， gamma?套入公式即可完成預(yù)測
三個重要參數(shù)：alpha，beta， gamma都屬于[0, 1]之間，要么人為的搜索，要么通過數(shù)據(jù)來估計，通常采用L-BFGS優(yōu)化算法來擬合數(shù)據(jù)。優(yōu)化算法來自包scipy.optimize的fmin_l_bfgs_b。
from __future__ import divisionfrom sys importexitfrom math import sqrtfrom numpy import arrayfrom scipy.optimize import fmin_l_bfgs_b# 優(yōu)化算法的loss function，即判斷擬合效果，由RMSE MAE等def RMSE(params, *args):Y = args[0]type = args[1]rmse = 0alpha, beta, gamma = paramsm = args[2]a = [sum(Y[0:m]) / float(m)]b = [(sum(Y[m:2* m]) - sum(Y[0:m])) / m ** 2]if type == 'additive':s = [Y[i] - a[0] for i in range(m)]y = [a[0] + b[0] + s[0]]for i in range(len(Y)):a.append(alpha * (Y[i] - s[i]) + (1- alpha) * (a[i] + b[i]))b.append(beta * (a[i + 1] - a[i]) + (1- beta) * b[i])s.append(gamma * (Y[i] - a[i] - b[i]) + (1- gamma) * s[i])y.append(a[i + 1] + b[i + 1] + s[i + 1])rmse = sqrt(sum([(m - n) ** 2for m, n in zip(Y, y[:-1])]) / len(Y))return rmse# 加性的時間序列def additive(x, m, fc, alpha = None, beta = None, gamma = None):Y = x[:]# 利用fmin_l_bfgs_b來估計參數(shù)alpha beta和gammaif(alpha == Noneor beta == Noneor gamma == None):initial_values = array([0.3, 0.1, 0.1])boundaries = [(0, 1), (0, 1), (0, 1)]type = 'additive'parameters = fmin_l_bfgs_b(RMSE, x0 = initial_values, args = (Y, type, m), bounds = boundaries, approx_grad = True)alpha, beta, gamma = parameters[0]# 初始值 a表示baseline， b表示趨勢，s表示季節(jié)性，y表示預(yù)測值， 分別取第一個周期的統(tǒng)計數(shù)據(jù)為初始值a = [sum(Y[0:m]) / float(m)]b = [(sum(Y[m:2* m]) - sum(Y[0:m])) / m ** 2]s = [Y[i] - a[0] for i in range(m)]y = [a[0] + b[0] + s[0]]rmse = 0# 套用上面公式，從0開始，fc表示預(yù)測的數(shù)量，如已知前7天，預(yù)測接下來的一個小時的數(shù)據(jù)，如果數(shù)據(jù)粒度是5分鐘，fc為12。for i in range(len(Y) + fc):if i == len(Y):# 預(yù)測值為Y.append(a[-1] + b[-1] + s[-m])a.append(alpha * (Y[i] - s[i]) + (1- alpha) * (a[i] + b[i]))b.append(beta * (a[i + 1] - a[i]) + (1- beta) * b[i])s.append(gamma * (Y[i] - a[i] - b[i]) + (1- gamma) * s[i])y.append(a[i + 1] + b[i + 1] + s[i + 1])# 計算rmse值rmse = sqrt(sum([(m - n) ** 2for m, n in zip(Y[:-fc], y[:-fc - 1])]) / len(Y[:-fc]))return y[-fc:], alpha, beta, gamma, rmse
另外，statsmodels包中也提供的實現(xiàn)的方法
from statsmodels.tsa.holtwinters importExponentialSmoothing3. Holt-Winters參數(shù)
從上面實現(xiàn)可知，holt-winters通過預(yù)估alpha，beta和gamma來預(yù)測。算法的關(guān)鍵就是這三個參數(shù)和初始化值。三個參數(shù)可以通過優(yōu)化算法來預(yù)估，但有可能并不是最優(yōu)的。初始值的設(shè)置除了上面統(tǒng)計值外，還可以通過時序的分解的趨勢和季節(jié)部分來初始。
import numpy as npfrom pandas import read_csvimport matplotlib.pyplot as pltfrom statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decomposedecomposition = seasonal_decompose(df_clean.bw, model='additive', period=288)decomposition.plot()
Holt-Winters針對波形比較穩(wěn)定，沒有突刺的情況下，效果會比較好。
對于存在突刺，統(tǒng)一的alpha，beta，gamma不能很好擬合，預(yù)測可能會滯后。
4. 總結(jié)
本文分享了時間序列預(yù)測算法Holt-Winters以及重要參數(shù)的選擇，希望對你有幫助?？偨Y(jié)如下：
?Holt-Winters是三次指數(shù)平滑，分別為baseline，趨勢和季節(jié)性；?alpha、beta和gamma分別為baseline，趨勢和季節(jié)性的指數(shù)加權(quán)參數(shù)，一般通過優(yōu)化算法L-BFGS估計?初始化可通過平均值，也可通過時間序列分解得到?周期m或者k的選擇要根據(jù)實際數(shù)據(jù)來選擇?Holt-Winters針對波形比較穩(wěn)定，沒有突刺的情況下，效果會比較好
作者簡介：wedo實驗君, 數(shù)據(jù)分析師；熱愛生活，熱愛寫作
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