Gabor變換到底是什么鬼？

欲講gabor，必須先看下傅里葉變換有什么缺點(diǎn)！

1.傅里葉變換

1) 簡(jiǎn)介

數(shù)字圖像處理的方法主要分成兩大部分：空域分析法和頻域分析法?？沼蚍治龇ň褪菍?duì)圖像矩陣進(jìn)行處理；頻域分析法是通過(guò)圖像變換將圖像從空域變換到頻域，從另外一個(gè)角度來(lái)分析圖像的特征并進(jìn)行處理。頻域分析法在圖像增強(qiáng)、圖像復(fù)原、圖像編碼壓縮及特征編碼壓縮方面有著廣泛應(yīng)用。

如果一個(gè)信號(hào)f(t)在上滿(mǎn)足：

① f(t)在任一有限區(qū)間上滿(mǎn)足狄氏條件；

② f(t)在上絕對(duì)可積即

就可以通過(guò)傅里葉變換把時(shí)域信號(hào)f(t)轉(zhuǎn)化到頻域進(jìn)行處理：

然后再通過(guò)傅里葉反變換把頻域信號(hào)轉(zhuǎn)化到時(shí)域：

傅里葉變換是線(xiàn)性系統(tǒng)分析的有力工具，提供了一種把時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻域進(jìn)行分析的途徑，時(shí)域和頻域之間是一對(duì)一的映射關(guān)系。圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值很低；而對(duì) 于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值較高。

傅立葉變換在實(shí)際中有非常明顯的物理意義，設(shè)f是一個(gè)能量有限的模擬信號(hào)，則其傅立葉變換就表示f的 譜。從純粹的數(shù)學(xué)意義上看，傅立葉變換是將一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來(lái)處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將 圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。換句話(huà)說(shuō)，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為 灰度分布函數(shù)。

2) 不足之處

經(jīng)典Fourier變換只能反映信號(hào)的整體特性（時(shí)域，頻域）。對(duì)傅里葉譜中的某一頻率，無(wú)法知道這個(gè)頻率是在什么時(shí)候產(chǎn)生的。從傅里葉變換的定義也可看出，傅里葉變換是信號(hào)在整個(gè)時(shí)域內(nèi)的積分，因此反映的是信號(hào)頻率的統(tǒng)計(jì)特性，沒(méi)有局部化分析信號(hào)的功能。另外，要求信號(hào)滿(mǎn)足平穩(wěn)條件。傅里葉變換時(shí)域和頻域是完全分割開(kāi)來(lái)的。

由式可知，要用Fourier變換研究時(shí)域信號(hào)頻譜特性，必須要獲得時(shí)域中的全部信息；

信號(hào)在某時(shí)刻的一個(gè)小的鄰域內(nèi)發(fā)生變化，那么信號(hào)的整個(gè)頻譜都要受到影響，而頻譜的變化從根本上來(lái)說(shuō)無(wú)法標(biāo)定發(fā)生變化的時(shí)間位置和發(fā)生變化的劇烈程度。也就是說(shuō)，F(xiàn)ourier變換對(duì)信號(hào)的齊性不敏感。不能給出在各個(gè)局部時(shí)間范圍內(nèi)部頻譜上的譜信息描述。然而在實(shí)際應(yīng)用中齊性正是我們所關(guān)心的信號(hào)局部范圍內(nèi)的特性。如，音樂(lè)，語(yǔ)言信號(hào)等。即：局部化時(shí)間分析，圖形邊緣檢，地震勘探反射波的位置等信息極重要。

為解決傅里葉變換的局限性，產(chǎn)生了Gabor變換和小波變換。

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2.Gabor變換

Gabor變換是D.Gabor 1946年提出的。為了由信號(hào)的Fourier變換提取局部信息，引入了時(shí)間局部化的窗函數(shù)，得到了窗口Fourier變換。由于窗口Fourier變換只依賴(lài)于部分時(shí)間的信號(hào)，所以，現(xiàn)在窗口Fourier變換又稱(chēng)為短時(shí)Fourier變換，這個(gè)變換又稱(chēng)為Gabor變換。

1) Gabor優(yōu)點(diǎn)

Gabor小波與人類(lèi)視覺(jué)系統(tǒng)中簡(jiǎn)單細(xì)胞的視覺(jué)刺激響應(yīng)非常相似。它在提取目標(biāo)的局部空間和頻率域信息方面具有良好的特性。雖然Gabor小波本身并不能構(gòu)成正交基，但在特定參數(shù)下可構(gòu)成緊框架。Gabor小波對(duì)于圖像的邊緣敏感，能夠提供良好的方向選擇和尺度選擇特性，而且對(duì)于光照變化不敏感,能夠提供對(duì)光照變化良好的適應(yīng)性。上述特點(diǎn)使Gabor小波被廣泛應(yīng)用于視覺(jué)信息理解。

Gabor濾波器和脊椎動(dòng)物視覺(jué)皮層感受野響應(yīng)的比較：第一行代表脊椎動(dòng)物的視覺(jué)皮層感受野，第二行是Gabor濾波器，第三行是兩者的殘差?？梢?jiàn)兩者相差極小。Gabor濾波器的這一性質(zhì)，使得其在視覺(jué)領(lǐng)域中經(jīng)常被用來(lái)作圖像的預(yù)處理。

2) Gabor定義

① 具體窗函數(shù)――Gaussaion的 Gabor變換定義式

Gabor變換的基本思想：把信號(hào)劃分成許多小的時(shí)間間隔，用傅里葉變換分析每一個(gè)時(shí)間間隔，以便確定信號(hào)在該時(shí)間間隔存在的頻率。其處理方法是對(duì)f(t)加一個(gè)滑動(dòng)窗，再作傅里葉變換。

設(shè)函數(shù)f為具體的函數(shù)，且，則Gabor變換定義為

其中，，是高斯函數(shù)，稱(chēng)為窗函數(shù)。其中a>0,b>0.

是一個(gè)時(shí)間局部化的“窗函數(shù)”。其中，參數(shù)b用于平行移動(dòng)窗口，以便于覆蓋整個(gè)時(shí)域。對(duì)參數(shù)b積分，則有

信號(hào)的重構(gòu)表達(dá)式為

Gabor取g(t)為一個(gè)高斯函數(shù)有兩個(gè)原因：一是高斯函數(shù)的Fourier變換仍為高斯函數(shù)，這使得Fourier逆變換也是用窗函數(shù)局部化，同時(shí)體現(xiàn)了頻域的局部化；二是Gabor變換是最優(yōu)的窗口Fourier變換。其意義在于Gabor變換出現(xiàn)之后，才有了真正意義上的時(shí)間－頻率分析。即Gabor變換可以達(dá)到時(shí)頻局部化的目的：它能夠在整體上提供信號(hào)的全部信息而又能提供在任一局部時(shí)間內(nèi)信號(hào)變化劇烈程度的信息。簡(jiǎn)言之，可以同時(shí)提供時(shí)域和頻域局部化的信息。

② 窗口的寬高關(guān)系

經(jīng)理論推導(dǎo)可以得出：高斯窗函數(shù)條件下的窗口寬度與高度，且積為一固定值。

矩形時(shí)間――頻率窗：寬為，高。

由此，可以看出Gabor變換的局限性：時(shí)間頻率的寬度對(duì)所有頻率是固定不變的。實(shí)際要求是：窗口的大小應(yīng)隨頻率而變化，頻率高窗口應(yīng)愈小，這才符合實(shí)際問(wèn)題中的高頻信號(hào)的分辨率應(yīng)比低頻信號(hào)的分辨率要低。

3) 離散Gabor變換的一般求法

① 首先選取核函數(shù)

可根據(jù)實(shí)際需要選取適當(dāng)?shù)暮撕瘮?shù)。如，如高斯窗函數(shù)；

則其對(duì)偶函數(shù)為

② 離散Gabor變換的表達(dá)式

其中，

是的對(duì)偶函數(shù)，二者之間有如下雙正交關(guān)系。

4) Gabor變換的解析理論

Gabor變換的解析理論就是由g(t)求對(duì)偶函數(shù)的方法。

定義g(t)的Zak變換為

可以證明對(duì)偶函數(shù)可由下式求出：

有了對(duì)偶函數(shù)可以使計(jì)算更為簡(jiǎn)潔方便。

5) 適用條件

① 臨界采樣Gabor展開(kāi)要求條件：TΩ=2π；

② 過(guò)采樣展開(kāi)要求條件：TΩ≤2π；

當(dāng)TΩ＞2π時(shí)，欠采樣Gabor展開(kāi)，已證明會(huì)導(dǎo)致數(shù)值上的不穩(wěn)定。

6) 應(yīng)用

① 暫態(tài)信號(hào)檢測(cè)

如果對(duì)信號(hào)波形有一定的先驗(yàn)知識(shí)且可以據(jù)此選取合適的基函數(shù)，可以用Gabor變換對(duì)信號(hào)作精確的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)計(jì)量。

② 圖象分析與壓縮

二維Gabor變換可以應(yīng)用到圖象分析與壓縮中。

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3. 二維Gabor濾波器

用Gabor 函數(shù)形成的二維Gabor 濾波器具有在空間域和頻率域同時(shí)取得最優(yōu)局部化的特性，因此能夠很好地描述對(duì)應(yīng)于空間頻率(尺度)、空間位置及方向選擇性的局部結(jié)構(gòu)信息。Gabor濾波器的頻率和方向表示接近人類(lèi)視覺(jué)系統(tǒng)對(duì)于頻率和方向的表示，并且它們常備用于紋理表示和描述。在圖像處理領(lǐng)域，Gabor濾波器是一個(gè)用于邊緣檢測(cè)的線(xiàn)性濾波器。，在空域，一個(gè)2維的Gabor濾波器是一個(gè)正弦平面波和高斯核函數(shù)的乘積。Gabor濾波器是自相似的，也就是說(shuō)，所有Gabor濾波器都可以從一個(gè)母小波經(jīng)過(guò)膨脹和旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生。實(shí)際應(yīng)用中，Gabor濾波器可以在頻域的不同尺度，不同方向上提取相關(guān)特征。

1)定義

空域來(lái)看：是高斯核函數(shù)調(diào)制正弦平面波

s(x,y)是復(fù)雜的正弦函數(shù)，相當(dāng)于載波；w(x,y)是2維高斯函數(shù)包跡。

（u0,v0）定義了正弦平面波的時(shí)域頻率，在極坐標(biāo)中可用f和Θ來(lái)表示。

a,b 為x和y方向的橢圓高斯的方差

K=1/ab 為高斯包跡的參數(shù)

r 為角度旋轉(zhuǎn)的下標(biāo)

Θ為旋轉(zhuǎn)角度

（x0,y0）為函數(shù)峰值，也是接受域的中心

f(x,y) f(x',y')

Gabor濾波器的傅里葉變換：峰值響應(yīng)在復(fù)正弦的空域頻率(u0,v0)

Gabor濾波器示意圖，3種角度5種方向：

2) 分析

生成2維Gabor濾波器的matlab 代碼：

http://blog.sina.com.cn/s/blog_80853788010103wx.html

http://blog.csdn.net/weixingstudio/article/details/7872764

Opencv實(shí)現(xiàn)：

http://www.cppblog.com/polly-yang/archive/2012/07/14/183327.aspx