海龜繪圖案例分析之移動火柴變等式游戲

說在前面

移動一根火柴棒使等式成立，是一種簡單有趣的智力游戲，只需具備簡單的算術(shù)知識，就能參與游戲，老少皆宜，深受大家的喜愛。前幾天，微信群里有老師聊起了這個游戲，毛毛老師還編寫了創(chuàng)建題庫的程序，好評如潮。在毛毛老師創(chuàng)意的啟發(fā)下，我對代碼做了進(jìn)一步改進(jìn)，并利用海龜繪圖的鼠標(biāo)響應(yīng)功能，制作了可以移動火柴棒的小游戲。

由于該小游戲涉及功能較多，總計400多行代碼（含注釋），文章篇幅較大，我把它分成了三個部分，力求解析到位。今天和大家分享第一部分——創(chuàng)建題庫。

只允許移動一根火柴棒使等式成立。移動火柴棒的方法有三種：

一是在數(shù)字內(nèi)部移動火柴棒。例如原始等式為9-5=1，則可移動數(shù)字9的一根火柴棒，使其變成6，從而獲得正確等式6-5=1。

二是在數(shù)字之間移動火柴棒。例如原始等式為5-7=5，則可將數(shù)字7的一根火柴棒移到左邊數(shù)字5上，使得7變成1,5變成6，從而獲得正確等式6-1=5。

三是在數(shù)字和運算符之間移動火柴棒。例如原始等式為5+3=3，則可將運算符的一根火柴棒移到數(shù)字5上，使得+變成-，5變成6，從而獲得正確等式6-3=3。

根據(jù)上述移動火柴棒的方法，我們可以創(chuàng)建3個字典分別用來存儲移動、增加或減少火柴棒后，各數(shù)字可能變成的新數(shù)字。

例如，我們創(chuàng)建字典keep_dic用來存儲在數(shù)字內(nèi)部移動火柴棒后，各數(shù)字可能變成的新數(shù)字。如下圖所示，數(shù)字2可以變成數(shù)字3，我們記作keep_dic[2]=[3]；數(shù)字3可以變成數(shù)字2或5，我們記作keep_dic[3]=[2,5]；同理keep_dic[5]=[3]，keep_dic[6]=[0,9]。

因為數(shù)字1不能變成任何數(shù)字，故我們記作keep_dic[1]=[]。根據(jù)上述規(guī)則，我們定義keep_dic ={1:[],2:[3],3:[2,5],4:[],5:[3],6:[0,9],7:[],8:[],9:[0,6],0:[6,9]}。

同理，我們創(chuàng)建字典add_dic用來存儲為數(shù)字增加一根火柴棒后，各數(shù)字可能變成的新數(shù)字。如下圖所示，數(shù)字1增加一根火柴后可以變成數(shù)字2，數(shù)字5增加一根火柴后可以變成數(shù)字6或9。

由此我們定義add_dic ={1:[7],2:[],3:[9],4:[],5:[6,9],6:[8],7:[],8:[],9:[8],0:[8]}。

同理，我們定義dec_dic ={1:[],2:[],3:[],4:[],5:[],6:[5],7:[1],8:[0,6,9],9:[3,5],0:[]}，用來存儲為數(shù)字減少一根火柴棒后，各數(shù)字可能變成的新數(shù)字。

另外，我們還創(chuàng)建了兩個空列表ques和anss，分別用來存儲有效問題和對應(yīng)答案。

程序采用枚舉算法，采用四重循環(huán)，依次枚舉運算符和3個運算數(shù)的值。

自定義函數(shù)get_question_bank(ques,anss)用來創(chuàng)建題庫，它通過枚舉不同運算符和操作數(shù)尋找所有可能的原始算術(shù)和答案。程序巧妙使用f-string來生成緊湊的字符串，并利用eval()函數(shù)計算出字符串表達(dá)式的結(jié)果，生成通用的關(guān)系表達(dá)式，以便篩選出等號不成立的原始算式。參考代碼如下：

'''函數(shù)功能：通過枚舉不同運算符和操作數(shù)尋找所有可能的原始算式和答案函數(shù)名：get_question_bank(ques,anss)參數(shù)表：ques -- 用來存儲問題（原始算式）的列表；        sign -- 用來存儲答案（正確算式）的列表，每個問題可能有多個答案。返回值：沒有返回值。'''   def get_question_bank(ques,anss): #獲取題庫（包括問題和答案）    for sign in ['+','-']:        for a in range(10):            for b in range(10):                for c in range(10):                    if eval(f'{a}{sign}') !=c: #只考慮等號不成立的原始算式                        ans = fun(a, b, c,sign) #調(diào)用尋找答案的驅(qū)動函數(shù)，返回答案                        if ans != []: #若問題有解，則存儲問題和答案                           ques.append(f'{a}{sign}={c}') #存儲問題（原始算式）                            anss.append(ans) #存儲答案（正確算式）

知識小貼士

eval()函數(shù)用于返回傳入字符串的表達(dá)式的結(jié)果，還可以實現(xiàn)list、dict、tuple與str之間的轉(zhuǎn)化。

其語法格式為：eval(expression[,globals[, locals]])

參數(shù)說明：

expression ：表達(dá)式。

globals ：（可選參數(shù))變量作用域，全局命名空間，如果被提供，則必須是一個字典對象。

locals ：(可選參數(shù))變量作用域，局部命名空間，如果被提供，可以是任何映射對象。

當(dāng)后兩個參數(shù)都為空時，等價于eval(expression)，就是計算表達(dá)式的值。例如eval('pow(2,3)')的值為8，eval('2+3<5')的值為False；當(dāng)x=3時，eval(f'x+5*4')的值為23，但是eval(f'{x+5}*4')的值為32，因為把花括號內(nèi)部的表達(dá)式看作一個整體。

當(dāng)locals參數(shù)為空，globals參數(shù)不為空時，先查找globals參數(shù)中是否存在變量，并計算。例如eval("{'name':'Lucy','age':age}",{"age":18})的值為字典{'name': 'Lucy', 'age': 18}。

當(dāng)兩個參數(shù)都不為空時，先查找locals參數(shù)，再查找globals參數(shù)。

eval()與input()函數(shù)配合，可以方便地實現(xiàn)表達(dá)式的還原與計算，例如執(zhí)行語句>>>eval(input("輸入一個表達(dá)式："))，當(dāng)用戶輸入字符串"3+2*6"時，系統(tǒng)輸出15。

但要注意其帶來的安全問題，因為被執(zhí)行的字符串表達(dá)式可能是某個系統(tǒng)命令。例如執(zhí)行語句>>>eval(input("輸入一個表達(dá)式："))，當(dāng)用戶惡意輸入字符串"__import__('os').system('dir')"時，會顯示當(dāng)前目錄文件。

4.驅(qū)動函數(shù)

如上所述，有三種移動火柴棒的方法。對應(yīng)每一種方法，我們都可以設(shè)置一個自定義函數(shù)來枚舉可能的答案。為了體現(xiàn)模塊化編程思想，我們設(shè)置一個驅(qū)動函數(shù)fun()，依次調(diào)用這三個自定義函數(shù)，把所有可能的答案統(tǒng)一存儲到列表ans中。參考代碼如下：

'''函數(shù)功能：依次調(diào)用fun_1,fun_2,fun_3，為原始算術(shù)尋找可能的答案函數(shù)名：fun(a, b, c, sign)參數(shù)表：a,b,c -- 依次表示從左到右的3個操作數(shù)（單個數(shù)字）；        sign -- 運算符（加或減）。返回值：返回存儲了所有答案的列表ans，列表的每個元素都是一個表示答案的字符串。'''    def fun(a, b, c, sign): #驅(qū)動函數(shù)    ans = []    fun_1(ans, a, b, c, sign) #數(shù)字內(nèi)部移動火柴棒    fun_2(ans, a, b, c, sign) #數(shù)字之間移動火柴棒    fun_3(ans, a, b, c, sign) #數(shù)字和運算符之間移動火柴棒return ans

5.功能模塊

接下來依次給出三種方法對應(yīng)的自定義函數(shù)。

'''函數(shù)功能：利用字典keep_dic，通過在數(shù)字內(nèi)部移動火柴棒來改變該數(shù)字函數(shù)名：fun_1(ans, a, b, c,sign)參數(shù)表：ans -- 列表的值為一個字符串，表示一個答案（正確算式）；        a,b,c -- 依次表示從左到右的3個操作數(shù)（單個數(shù)字）；        sign -- 運算符（加或減）。返回值：沒有返回值。'''def fun_1(ans, a, b, c,sign): #數(shù)字內(nèi)部移動火柴棒    for i in keep_dic[a]: #在數(shù)字a內(nèi)部移動火柴棒        if eval(f'{i}{sign}') == c:            ans.append(f'{i}{sign}={c}')    for i in keep_dic[b]: #在數(shù)字b內(nèi)部移動火柴棒        if eval(f'{a}{sign}{i}') == c:            ans.append(f'{a}{sign}{i}={c}')    for i in keep_dic[c]: #在數(shù)字c內(nèi)部移動火柴棒        if eval(f'{a}{sign}') == i:            ans.append(f'{a}{sign}={i}') '''函數(shù)功能：利用字典dec_dic和add_dic，通過在數(shù)字之間移動火柴棒同時改變2個數(shù)字函數(shù)名：fun_2(ans, a, b, c,sign)參數(shù)表：ans -- 列表的值為一個字符串，表示一個答案（正確算式）；        a,b,c -- 依次表示從左到右的3個操作數(shù)（單個數(shù)字）；        sign -- 運算符（加或減）。返回值：沒有返回值。'''               def fun_2(ans, a, b, c,sign): #數(shù)字之間移動火柴棒    for i in dec_dic[a]: #從a中拿一根火柴到b中        for j in add_dic[b]:            if eval(f'{i}{sign}{j}') == c:                ans.append(f'{i}{sign}{j}={c}')    for i in dec_dic[a]: #從a中拿一根火柴到c中        for j in add_dic[c]:            if eval(f'{i}{sign}') == j:                ans.append(f'{i}{sign}={j}')    for i in dec_dic[b]: #從b中拿一根火柴到a中        for j in add_dic[a]:            if eval(f'{j}{sign}{i}') == c:                ans.append(f'{j}{sign}{i}={c}')                flag = True    for i in dec_dic[b]: #從b中拿一根火柴到c中        for j in add_dic[c]:            if eval(f'{a}{sign}{i}') == j:                ans.append(f'{a}{sign}{i}={j}')    for i in dec_dic[c]: #從c中拿一根火柴到a中        for j in add_dic[a]:            if eval(f'{j}{sign}') == i:                ans.append(f'{j}{sign}={i}')    for i in dec_dic[c]: #從c中拿一根火柴到b中        for j in add_dic[b]:            if eval(f'{a}{sign}{j}') == i:                ans.append(f'{a}{sign}{j}={i}') '''函數(shù)功能：利用字典dec_dic或add_dic，通過在數(shù)字和運算符之間移動火柴棒同時改變1個數(shù)字和運算符函數(shù)名：fun_3(ans, a, b, c,sign)參數(shù)表：ans -- 列表的值為一個字符串，表示一個答案（正確算式）；        a,b,c -- 依次表示從左到右的3個操作數(shù)（單個數(shù)字）；        sign -- 運算符（加或減）。返回值：沒有返回值。'''                        def fun_3(ans, a, b, c,sign): #數(shù)字和運算符之間移動火柴棒    if sign == '+': #從運算符中拿一根火柴到數(shù)字        sign, dic = '-', add_dic    else:        sign, dic = '+', dec_dic    for i in dic[a]: #在運算符與數(shù)字a間移動火柴        if eval(f'{i}{sign}') == c:            ans.append(f'{i}{sign}={c}')    for i in dic[b]: #在運算符與數(shù)字b間移動火柴        if eval(f'{a}{sign}{i}') == c:            ans.append(f'{a}{sign}{i}={c}')    for i in dic[c]: #在運算符與數(shù)字c間移動火柴        if eval(f'{a}{sign}') == i:????????????ans.append(f'{a}{sign}={i}')

代碼說明：

函數(shù)fun_1()利用字典keep_dic，通過在數(shù)字內(nèi)部移動火柴棒來改變該數(shù)字。函數(shù)依次枚舉了在數(shù)字a、b、c內(nèi)部移動火柴棒的情形，一旦找到滿足條件的等式，就將其作為答案插入到列表ans中。

函數(shù)fun_2()利用字典dec_dic和add_dic，通過在數(shù)字之間移動火柴棒同時改變2個數(shù)字。函數(shù)依次枚舉了從a拿一根火柴到b，從a拿一根火柴到c，從b拿一根火柴到a等6種情形。一旦找到滿足條件的等式，就將其作為答案插入到列表ans中。

函數(shù)fun_3()利用字典dec_dic或add_dic，通過在數(shù)字和運算符之間移動火柴棒同時改變1個數(shù)字和運算符。函數(shù)先判斷運算符是'+'還是'-'，若為'+'，則從運算符中拿一根火柴到數(shù)字，即把運算符改成'-'，同時設(shè)置字典dic 的值為add_dic，表示數(shù)字要增加一根火柴棒；反之則設(shè)置成從數(shù)字中拿一根火柴到運算符。接下來依次枚舉在運算符與數(shù)字a、b、c間移動火柴的情形，一旦找到滿足條件的等式，就將其作為答案插入到列表ans中。

6.程序改進(jìn)

前面3個自定義函數(shù)，功能都很明確，算法清晰明了，代碼實現(xiàn)也很直接，可讀性較強(qiáng)。但是它們都有一個缺陷，就是重復(fù)的代碼太多了，顯得有些拖沓和繁瑣。

我們經(jīng)常將重復(fù)出現(xiàn)的順序結(jié)構(gòu)程序轉(zhuǎn)換成循環(huán)結(jié)構(gòu)，那么該如何精簡代碼呢？

以fun_1()函數(shù)為例，它用了3個結(jié)構(gòu)相同的一重循環(huán)語句，我們完全可以把它精簡成一個二重循環(huán)語句。

我們先把a(bǔ)、b、c三個變量存儲到列表role中，定義role = [a, b, c]，這樣就可以用for循環(huán)遍歷它們了。因為a、b、c在算式中的位置不同，原fun_1()函數(shù)的3個for循環(huán)中的f字符串寫法也不一樣，但現(xiàn)在分別用role[0]、role[1]、role[2]來代替 a、b、c，就可以統(tǒng)一設(shè)置f字符串了。

根據(jù)這個思路，我編寫了如下代碼：

但實踐證明這段代碼是錯誤的。

問題出在哪里呢？

沒錯，問題就出在role[k] = i語句上。

當(dāng)k==0時，枚舉keep_dic[role[k]]就相當(dāng)于枚舉keep_dic[a]，此時修改role[k] = i，相當(dāng)于修改數(shù)字a的值，但同時也修改了列表role的元素值，導(dǎo)致后面枚舉另兩個數(shù)字時，role[0]不再等于變量a的值，而是其移動火柴棒后的新數(shù)字。

那該怎么辦呢？既要使用列表遍歷三個數(shù)字，枚舉在它們內(nèi)部移動火柴棒后的可能值，又不能修改列表元素。有兩全其美的方法嗎？

當(dāng)然有！辦法就是在內(nèi)層循環(huán)中復(fù)制一份列表role的拷貝，然后在枚舉過程中修改這份拷貝，而不是role本身。參考代碼如下：

再來看fun_2()函數(shù)，它用6個結(jié)構(gòu)相同的二重循環(huán)，依次枚舉了在數(shù)字間移動火柴棒的6種情形。因為數(shù)字a、b、c在算式中的位置不同，原fun_2()函數(shù)的6個for循環(huán)中的f字符串寫法也不一樣，所以每一個二重循環(huán)的語句都有微妙的差別，合并代碼的難度很大。

但它們的結(jié)構(gòu)如此一致，肯定能夠用一個循環(huán)語句來代替重復(fù)的順序結(jié)構(gòu)！

必須要有堅定的信念，才能找到堅持的動力！

在精簡fun_1()函數(shù)的實踐過程中，我們采用了2個重要的方法：創(chuàng)建列表role存儲變量a、b、c，和在循環(huán)體內(nèi)創(chuàng)建列表role的拷貝op。

我們可以把舊有的經(jīng)驗遷移到解決新問題中去。

但這里有一個新的問題：從一個數(shù)字中拿走的火柴棒可能放到另外任意一個數(shù)字中，假設(shè)被拿走火柴棒的數(shù)字在列表role中的下標(biāo)為i，則另外兩個數(shù)字的下標(biāo)分別是多少呢？

若i=0，則另外兩個可以用i+1和i+2來表示；若i=1，則另外兩個可以用i-1和i+1來表示；若i=2，則另外兩個可以用i-2和i-1來表示。也就是沒有統(tǒng)一的表達(dá)式，不方便用變量i來表示另外兩個數(shù)字的下標(biāo)。

真的沒有辦法嗎？

辦法肯定是有的！只是還沒有找到。

必須要有堅定的信念，才能找到堅持的動力！

a,b,c變量的地位是相等的，不要把它們看作站成一排，而是把它們看作圍成一圈——這不就是約瑟夫環(huán)嗎！循環(huán)報數(shù)？用模運算?。?/span>

思路出來了！

我們可以用(i+1)%3和(i+2)%3分別表示另外兩個元素的下標(biāo)，則當(dāng)i=0時，另外兩個下標(biāo)分別為1和2；當(dāng)i=1時，另外兩個下標(biāo)分別為2和0；當(dāng)i=2時，另外兩個下標(biāo)分別為0和1。

簡直是完美！

這樣我們就可以構(gòu)造一個for循環(huán)，用變量j來遍歷這兩個下標(biāo)，實現(xiàn)枚舉從數(shù)字role[i]中拿走一根火柴棒，增加到數(shù)字role[j]中的情形。加上遍歷列表role的最外層循環(huán)，總共4重循環(huán)。參考代碼如下：

好了，解說就進(jìn)行到這里，剩下fun_3()函數(shù)的精簡任務(wù)就作為課后作業(yè)交給大家完成吧。

1. ?參考fun_1()函數(shù)的改進(jìn)方法，將fun_2()函數(shù)精簡為二重循環(huán)結(jié)構(gòu)。

2. ?有一種特殊的等式，可以移動其中一根火柴棒，使其變成另一個正確的等式。如下圖所示：

等式3+6=9，通過從數(shù)字6移動一根火柴棒到數(shù)字9中，形成新的等式3+5=8；

等式0+4=4，通過從加號中移動一根火柴棒到數(shù)字0中，形成新的等式8-4=4。

你還可以找出類似的等式嗎？如何用程序?qū)崿F(xiàn)呢？

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