2021算法這么清奇：如何從數(shù)學(xué)視角優(yōu)化復(fù)雜度
復(fù)雜度
復(fù)雜度是程序時間損耗和數(shù)據(jù)總量之間的變化關(guān)系，通常用 O(f(n)) 來表示，其中 f(n) 就是復(fù)雜度函數(shù)。
如果程序的時間損耗和數(shù)據(jù)量的關(guān)系是 t=c+n×b，也就是說復(fù)雜度函數(shù)為 f(n)=c+n×b。
復(fù)雜度通常不關(guān)注常數(shù)，因為它是個固定的時間損耗，與輸入的數(shù)據(jù)總量沒有任何的關(guān)系。因此，復(fù)雜度函數(shù) c+n×b 可以忽略常數(shù) c 和 b，直接縮寫為 f(n) = n，即第一個例子的復(fù)雜度為 O(n)。
如果程序的時間損耗和數(shù)據(jù)量沒有關(guān)系，即 t=c，我們依然會忽略這個常數(shù)，直接用 O(1) 來表示。
復(fù)雜度的計算與程序的結(jié)構(gòu)有著密切關(guān)系。通常而言，一個順序結(jié)構(gòu)或選擇結(jié)構(gòu)的代碼的執(zhí)行時間與數(shù)據(jù)量無關(guān)，復(fù)雜度就是 O(1)；而對于循環(huán)結(jié)構(gòu)而言，如果循環(huán)的次數(shù)與輸入數(shù)據(jù)量的多少有關(guān)，就會產(chǎn)生復(fù)雜度了。
通常，一層循環(huán)的時間復(fù)雜度是 O(n)；如果是兩個循環(huán)的嵌套，時間復(fù)雜度是 O(n2)；如果是三個循環(huán)的嵌套，則是 O(n^3)……
用數(shù)學(xué)來優(yōu)化復(fù)雜度
設(shè)想一下，如果一段線上代碼在輸入變量很多的時候就會“卡死”，那么這一定是一款無法上線的系統(tǒng)。因此，時間復(fù)雜度的優(yōu)化，是每個開發(fā)者必須具備的技能。
其實，時間復(fù)雜度的優(yōu)化有很多辦法。除了優(yōu)化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、優(yōu)化代碼結(jié)構(gòu)、減少程序中不必要的計算等通用方法以外，還可以利用強大的數(shù)學(xué)知識來進(jìn)行時間復(fù)雜度的優(yōu)化。
我們來舉幾個例子。
在一個無序的數(shù)組中，只有一個數(shù)字
obj出現(xiàn)了一次，其他數(shù)字都出現(xiàn)了兩次，嘗試去查找出這個出現(xiàn)了一次的obj。
絕大多數(shù)程序員的代碼邏輯，應(yīng)該都是設(shè)計兩層 for 循環(huán)：一層遍歷每個數(shù)字，一層計算每個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)，直到找到 obj。
代碼如下：
a = [2,1,4,3,4,2,3]
for i in range(0,len(a)):
times = 0
for j in range(0,len(a)):
if a[i] == a[j]:
times += 1
if times == 1:
print a[i]
break
讀代碼：
第 2 行，開始 for 循環(huán)，并把計數(shù)的變量
times置為0；第 4 行，嵌套了一個 for 循環(huán)；
第 5 行開始，判斷里外兩層循環(huán)的值是否相等，如果相等，則
times加1；第 7 行，判斷
times是否為1，如果為1說明a[i]在數(shù)組中只出現(xiàn)了一次，則打印并break跳出循環(huán)結(jié)束。
根據(jù)我們前面的結(jié)論，這段代碼的復(fù)雜度是 O(n^2)，而且單獨借助數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)等思想已經(jīng)很難再進(jìn)行程序的優(yōu)化了。
然而，如果從數(shù)學(xué)視角來看，這段代碼就可以進(jìn)行如下優(yōu)化：
a = [2,1,4,3,4,2,3]
result = a[0]
for i in range(1,len(a)):
result = result ^ a[i]
print result
在這里，利用了異或運算的性質(zhì)：
滿足交換律和結(jié)合律；
可以把相同元素計算為
0；0異或任何數(shù)字都是其本身。
這樣，只要把數(shù)組 a 中所有元素都異或在一起，就得到了 obj。
此時，只需要一層 for 循環(huán)，復(fù)雜度是 O(n)。
我們再看下面一個例子。
輸入一個正整數(shù) n，求不大于 n 的所有偶數(shù)之和。例如輸入 6，則輸出 2、4、6 之和，為 12；輸入5，則輸出 2、4 之和，為 6。
這個題目的常規(guī)解法，是采用 for 循環(huán)，讓 i 從 1 遍歷到 n。如果 i 為奇數(shù)，則 continue；如果為偶數(shù)，則加到 result 變量中。
不難發(fā)現(xiàn)，復(fù)雜度是 O(n)，代碼如下：
import sys
n = int(sys.argv[1])
result = 0
for i in range(n+1):
if i % 2 == 0:
result += i
print result
我們再從數(shù)學(xué)的視角來看待這個問題，你就會發(fā)現(xiàn)這是個等差數(shù)列求和的問題，等差數(shù)列求和的公式為
其中 a1 為首項，n 為項數(shù)，d 為公差，前 n 項和為 Sn。
利用這個公式，我們可以直接寫出下面的代碼：
import sys
n = int(sys.argv[1])
a1 = 0
d = 2
nn = n/2 + 1
print nn * a1 + 2 * nn * (nn - 1) / d
獲得輸入變量
n。求和的第一項，直接賦值為
0。公差
d為2。第 6 行，求項數(shù)。例如，輸入 6，則項數(shù)為 6/3+1=4 項；輸入 5，則項數(shù)為 5/2+1=3 項。
調(diào)用等差數(shù)列求和公式，直接得到結(jié)果，運行截圖如下：
這段代碼的執(zhí)行與輸入數(shù)據(jù)量 n 毫無關(guān)系，因此復(fù)雜度是 O(1)。
同樣的道理，等比數(shù)列求和的代碼，如果用計算機程序開發(fā)的思想，是需要一個 for 循環(huán)在 O(n) 復(fù)雜度下完成計算的。但借助等比數(shù)列求和公式，你只需要 O(1) 的復(fù)雜度就能得到結(jié)果。
小結(jié)
復(fù)雜度是程序開發(fā)中老生常談的話題了。如果你的數(shù)學(xué)知識非常淵博，從數(shù)學(xué)的角度來降低代碼復(fù)雜度也是一個不錯的選擇。
最后，可以練習(xí)一下：
輸入一個正整數(shù) n，求不大于 n 的所有 2 的正整數(shù)次冪的數(shù)字之和。例如，輸入 17，則輸出 1+2+4+8+16=31；輸入 8，則輸出 1+2+4+8=15。
你可以嘗試兩種方法來開發(fā)，分別是 O(n) 復(fù)雜度的 for 循環(huán)，和 O(1) 復(fù)雜度的等比數(shù)列求和公式。
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