十大反直覺(jué)的數(shù)學(xué)結(jié)論

重磅干貨，第一時(shí)間送達(dá)

   生日悖論

假設(shè)房間里有23人，那么兩個(gè)人生日是同天的概率將大于50%。我們很容易得出，任何一個(gè)特定的日子里某人過(guò)生日的概率是1/365。所以這個(gè)理論看似是無(wú)法成立，但理論與現(xiàn)實(shí)差異正源自于：我們的唯一要求是兩個(gè)人彼此擁有同一天生日即可，不限定在特定的一天。否則，如果換做某人在某特定日期生日，例如2月19日，那么23個(gè)人中概率便僅為6.12%。

另一方面如果你在有23個(gè)人的房間挑選一人問(wèn)他：“有人和你同一天生日嗎？”答案很可能是否定的。但如果重復(fù)詢問(wèn)其余22人，每問(wèn)一次，你便會(huì)有更大機(jī)會(huì)得到肯定答復(fù)，最終這個(gè)概率是50.7%。

   巴拿赫-塔爾斯基悖論

這一定理指出在選擇公理成立的情況下可以將一個(gè)三維實(shí)心球分成有限（不勒貝格可測(cè)的）部分，然后僅僅通過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移到其他地方重新組合，就可以組成兩個(gè)半徑和原來(lái)相同的完整的球。巴拿赫和塔斯基提出這一定理原意是想拒絕選擇公理，但該證明很自然，因此數(shù)學(xué)家認(rèn)為這僅意味著選擇公理可以導(dǎo)致少數(shù)令人驚訝和反直覺(jué)的結(jié)果。并且它被許多數(shù)學(xué)家視作數(shù)學(xué)中最為反常的一個(gè)結(jié)果。在現(xiàn)實(shí)生活中我們沒(méi)有任何辦法能將一個(gè)物體憑空復(fù)制成兩個(gè)。但事實(shí)上他卻是成立的，這個(gè)結(jié)果似乎挑戰(zhàn)了物理中的質(zhì)量守恒定律，但似乎又是在說(shuō)一個(gè)物體的質(zhì)量可以憑空變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍？

但如若原質(zhì)量是無(wú)限的話，翻倍后還是無(wú)限大，那么從這一層面出發(fā)來(lái)看這一理論也并沒(méi)有打破物理法則。

   蒙提霍爾問(wèn)題

三門(mén)問(wèn)題亦稱(chēng)為蒙提霍爾問(wèn)題，大致出自美國(guó)的電視游戲節(jié)目Let's Make a Deal。問(wèn)題名字來(lái)自該節(jié)目的主持人蒙提·霍爾。參賽者會(huì)看見(jiàn)三扇關(guān)閉了的門(mén)，其中一扇的后面有一輛汽車(chē)，選中后面有車(chē)的那扇門(mén)可贏得該汽車(chē)，另外兩扇門(mén)后面則各藏有一只山羊。當(dāng)參賽者選定了一扇門(mén)，但未去開(kāi)啟它的時(shí)候，節(jié)目主持人開(kāi)啟剩下兩扇門(mén)的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后會(huì)問(wèn)參賽者要不要換另一扇仍然關(guān)上的門(mén)。問(wèn)題是：換另一扇門(mén)會(huì)否增加參賽者贏得汽車(chē)的機(jī)會(huì)率？如果嚴(yán)格按照上述的條件，即主持人清楚地知道，哪扇門(mén)后是羊，那么答案是會(huì)。不換門(mén)的話，贏得汽車(chē)的幾率是1/3。換門(mén)的話，贏得汽車(chē)的幾率是2/3。

這個(gè)問(wèn)題亦被叫做蒙提霍爾悖論：雖然該問(wèn)題的答案在邏輯上并不自相矛盾，但十分違反直覺(jué)。這問(wèn)題曾引起一陣熱烈的討論。

曾經(jīng)問(wèn)過(guò)很多人，幾乎所有人都沒(méi)有答對(duì)，換門(mén)的這一答案實(shí)在是太過(guò)反常識(shí)！

關(guān)于第一個(gè)解答這個(gè)問(wèn)題的女士的經(jīng)歷也十分耐人尋味：

關(guān)于蒙提霍爾問(wèn)題，瑪麗蓮·沃斯·莎凡特在她專(zhuān)欄的回答是改選會(huì)更有優(yōu)勢(shì)，這在美國(guó)引起了激烈的爭(zhēng)議：人們寄來(lái)了數(shù)千封抱怨信，很多寄信人是科學(xué)老師或?qū)W者。一位來(lái)自佛羅里達(dá)大學(xué)的讀者寫(xiě)道：“這個(gè)國(guó)家已經(jīng)有夠多的數(shù)學(xué)文盲了，我們不想再有個(gè)世界上智商最高的人來(lái)充數(shù)！真讓人羞愧！”另一個(gè)人寫(xiě)道：“我看你就是那只山羊！”美國(guó)陸軍研究所(US Army Research Institute)的埃弗雷特·哈曼(Everett Harman)寫(xiě)道，“如果連博士都要出錯(cuò)，我看這個(gè)國(guó)家馬上要陷入嚴(yán)重的麻煩了。”但是莎凡特并沒(méi)有錯(cuò)。最后她用整整4個(gè)專(zhuān)欄，數(shù)百個(gè)新聞故事及在小學(xué)生課堂模擬的測(cè)驗(yàn)來(lái)說(shuō)服她的讀者她是正確的。游戲秀的調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，那些改選的參賽選手贏的幾率是那些沒(méi)有改選的人的兩倍，這證實(shí)了莎凡特在其第三篇專(zhuān)欄中的解釋。

這一課告訴了我們，不要輕信自己的直覺(jué)。

   巴塞爾問(wèn)題

將自然數(shù)各自平方取倒數(shù)加在一起等于π2/6。

一般人都會(huì)覺(jué)得，左邊這一坨自然數(shù)似乎和π（圓的周長(zhǎng)與直徑的比值）不會(huì)存在任何聯(lián)系！然而它就這么發(fā)生了！

   阿貝爾不可解定理

我們?cè)谥袑W(xué)都學(xué)過(guò)二次方程，也學(xué)過(guò)應(yīng)該怎么解次數(shù)為2的多項(xiàng)式方程 ax2 + bx + c = 0。

但在16世紀(jì)，數(shù)學(xué)家解出了一元三次方程，即ax3 + bx2 + cx + d = 0。當(dāng)然它對(duì)應(yīng)的求根公式稍稍復(fù)雜：

看到這里你應(yīng)該慶幸中學(xué)課本并沒(méi)有要求你掌握這個(gè)，讓我們?cè)倏纯辞?strong style="max-width: 100%;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;">一元四次方程的求根公式，這可更是不得了了：

好吧，反正小編是直接下拉，一個(gè)字都讀不進(jìn)去了。放心，小編不會(huì)再繼續(xù)向你們展示之后的求根公式了。因?yàn)橐辉宕渭耙陨戏匠痰那蟾讲⒉淮嬖?！這里指的并不是至今還沒(méi)有找到它們的求根公式，而是數(shù)學(xué)家確確實(shí)實(shí)的證明了它們并不存在。

   有不同層次的無(wú)窮大

你可能從來(lái)想象不到，有一些無(wú)窮大比其他的無(wú)窮更大。無(wú)窮大應(yīng)該被稱(chēng)為基數(shù)，并且一個(gè)無(wú)窮大如果比另一個(gè)無(wú)窮大擁有更大的基數(shù)，則說(shuō)它比另一個(gè)無(wú)窮大要大。（無(wú)窮大的基數(shù)總是大于任何一個(gè)自然數(shù)的基數(shù)）

還有許多關(guān)于無(wú)窮大的基數(shù)大大出乎我們的意料。舉一個(gè)非常經(jīng)典的例子：整數(shù)比奇數(shù)多嗎？你可能會(huì)毫不猶豫的回答，那是當(dāng)然！因?yàn)檎麛?shù)多出了一系列的偶數(shù)。但答案是否定的，他們擁有相同的基數(shù)，因而整數(shù)并不比奇數(shù)多。知道了這個(gè)道理，就不難回答這個(gè)問(wèn)題了吧：有理數(shù)多于整數(shù)嗎？不，有理數(shù)與整數(shù)相同多。

然而康托發(fā)現(xiàn)事實(shí)上上實(shí)數(shù)比有理數(shù)還要多。實(shí)數(shù)通常被認(rèn)為是連續(xù)統(tǒng)，并且至今并能完全知道，是否有介于整數(shù)基數(shù)和連續(xù)統(tǒng)基數(shù)的無(wú)窮大？這個(gè)猜想被稱(chēng)為連續(xù)統(tǒng)猜想。

   哥德?tīng)柌煌陚涠ɡ?/span>

我們證明了有一些東西是不能被證明的。

它的邏輯是這樣的：

(1) 任何一個(gè)足夠強(qiáng)的系統(tǒng)都存在一個(gè)命題，既不能被證明也不能被證偽（例如連續(xù)統(tǒng)假設(shè)）

(2) 任何一個(gè)足夠強(qiáng)的系統(tǒng)都不能證明它自身是不推出矛盾，即便它不能被推出矛盾

以上兩條定義即著名的哥德?tīng)柌煌陚涠ɡ怼?strong style="max-width: 100%;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;">他的意義并不僅僅局限于數(shù)學(xué)，也給了我們深深地哲學(xué)啟迪。

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