【機(jī)器學(xué)習(xí)基礎(chǔ)】為什么邏輯回歸的損失函數(shù)是交叉熵？
前言
當(dāng)前正在整理機(jī)器學(xué)習(xí)中邏輯回歸的基礎(chǔ)和面試內(nèi)容，這里有一個(gè)值得思考的問(wèn)題與大家分享與討論。
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概要
邏輯回歸（logistic regression）在機(jī)器學(xué)習(xí)中是非常經(jīng)典的分類(lèi)方法，周志華教授的《機(jī)器學(xué)習(xí)》書(shū)中稱(chēng)其為對(duì)數(shù)幾率回歸，因?yàn)槠鋵儆趯?duì)數(shù)線性模型。
在算法面試中，邏輯回歸也經(jīng)常被問(wèn)到，常見(jiàn)的面試題包括：
邏輯回歸推導(dǎo)； 邏輯回歸如何實(shí)現(xiàn)多分類(lèi)？ SVM與LR的聯(lián)系與區(qū)別？ 邏輯回歸反向傳播偽代碼；
大家可以思考下能不能回答/推導(dǎo)出，但這次討論的問(wèn)題是：
?為什么邏輯回歸損失函數(shù)是交叉熵？
?
初看這個(gè)問(wèn)題感覺(jué)很奇怪，但是其中的知識(shí)包含了LR的推導(dǎo)與理解。在我個(gè)人看來(lái)，可以從兩個(gè)角度看待這個(gè)問(wèn)題：
【1】從極大似然估計(jì)的角度可以推導(dǎo)出交叉熵；
【2】從KL散度（熵的角度）去理解；
極大似然估計(jì)
對(duì)于邏輯回歸，我們一般通過(guò)極大似然估計(jì)來(lái)求解參數(shù)。
首先假設(shè)兩個(gè)邏輯回歸的兩個(gè)條件概率：
學(xué)習(xí)時(shí)，采用極大似然估計(jì)來(lái)估計(jì)模型的參數(shù)，似然函數(shù)為：
對(duì)數(shù)似然函數(shù)（采用對(duì)數(shù)似然函數(shù)是因?yàn)樯鲜龉降倪B乘操作易造成下溢）為：
對(duì)其求最大值，估計(jì)參數(shù)：
再將其改為最小化負(fù)的對(duì)對(duì)數(shù)似然函數(shù)：
如此，就得到了Logistic回歸的損失函數(shù)，即機(jī)器學(xué)習(xí)中的「二元交叉熵」（Binary crossentropy）：
此時(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)橐载?fù)對(duì)數(shù)似然函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題，采用梯度下降法進(jìn)行優(yōu)化。
KL散度
KL散度這個(gè)概念知道的人可能相對(duì)極大似然估計(jì)更少一點(diǎn)，具體可以看機(jī)器學(xué)習(xí)筆記---信息熵。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，「KL散度是衡量?jī)蓚€(gè)概率分布的差異」。
邏輯回歸模型最后的計(jì)算結(jié)果（通過(guò)sigmoid或softmax函數(shù)）是各個(gè)分類(lèi)的概率（可以看做是各個(gè)分類(lèi)的概率分布）。那么假設(shè)真實(shí)的概率分布是，估計(jì)得到的概率分布是， 這兩個(gè)概率分布的距離如何去衡量？
在信息論中，「相對(duì)熵」，也就是KL散度可以衡量?jī)蓚€(gè)概率分布的差異性。具體公式為：
并且簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化，可以得到：
其中對(duì)于就是「交叉熵」，是真實(shí)分布的信息熵，所以
KL散度 = 交叉熵 - 真實(shí)概率分布的熵
因?yàn)榻徊骒卦酱螅琄L散度越大，也可以用交叉熵來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)概率分布之間的距離，所以邏輯回歸使用交叉熵作為邏輯回歸的損失函數(shù)。
總結(jié)
以上便是個(gè)人對(duì)這個(gè)問(wèn)題的理解，如果解釋有誤的話，歡迎加我好友進(jìn)行討論。由于個(gè)人考慮到在一篇文章中包含過(guò)多的內(nèi)容和公式可能會(huì)產(chǎn)生疲倦，所以只是集中于單個(gè)問(wèn)題，對(duì)于其他邏輯回歸相關(guān)的面試內(nèi)容，也可以一起交流。
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