大學(xué)數(shù)學(xué)（高數(shù)線代）直觀理解（一）

數(shù)學(xué)算法俱樂部

日期?：?2020年12月25日?? ? ??

正文共?：2275字

作者?：?Genius

日前看到有個(gè)初中數(shù)學(xué)問題推到了我的Timeline上，問：系數(shù)為啥叫系數(shù)？

我腦洞炸裂靈感迭起，心情如電火花一般激靈四射，又為見到這么古老的問題痛哭流涕——想我有多久沒有問過這種問題了，從小到大，問出來也得不到滿意的解答吧。

那么現(xiàn)在我就從回答這個(gè)問題開始，談?wù)勚庇^理解《高等數(shù)學(xué)》《微積分》的相關(guān)知識(shí)。但必須提的是，直觀是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模f不要看了這篇文章后腦洞大開搞出什么數(shù)學(xué)民科來，那可就糟了。

系數(shù)，你可以認(rèn)為這里是“萬千變化系于一數(shù)”的用法。一個(gè)函數(shù)就是一個(gè)變化，這個(gè)變化系于此數(shù)，簡稱系數(shù)。又可以說，一個(gè)函數(shù)是一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，關(guān)系數(shù)，簡稱系數(shù)。

其實(shí)能問出“系數(shù)為什么叫系數(shù)”的人肯定也能問出“函數(shù)為什么叫函數(shù)”。后面這個(gè)問題其實(shí)更了不起，因?yàn)榭梢砸觥胺汉钡母拍顏恚苍S以后我會(huì)試著仔細(xì)寫寫這個(gè)。

1

y=2x，你告訴我，這個(gè)函數(shù)的變化快慢是由什么決定的？

沒錯(cuò)，2.

那呢？這里有兩個(gè)x，每個(gè)x的變化的快慢都是由對(duì)方?jīng)Q定的，第一個(gè)x的變化快慢是x倍，第二個(gè)x的變化快慢是x倍，一共是？

2x倍。

呢？這里有三個(gè)x，每個(gè)x的變化快慢都是，所以總變化快慢是？

嗯…….

于是我們推出來兩個(gè)規(guī)律：

的變化率就是它自己，要理解的話得花大篇幅解釋e這個(gè)東西，在這里就不提了，反正記下來也挺簡單的。

至于三角函數(shù)的變化率，你畫個(gè)單位圓看看就能明白為什么sin的變化率就是cos，cos的變化率是-sin。如果不記得單位圓定義的……跳過。

2

有的時(shí)候我們會(huì)需要這樣的情況：，現(xiàn)在我問你，這個(gè)函數(shù)里，x的變化快慢被什么決定？

你很快可以得到答案，第一項(xiàng)有3個(gè)x，每個(gè)x的變化都是，第二項(xiàng)里有兩個(gè)x，每個(gè)x的變化都是2xy，所以總變化是，同樣的，我們其實(shí)也可以問，在這個(gè)函數(shù)里，y的變化快慢被什么決定？顯然是。然后函數(shù)總的變化快慢是多少呢？

寫到這里莫名其妙就得出了偏導(dǎo)數(shù)和全微分公式。用表示x的偏導(dǎo)數(shù)（變化率），表示y的偏導(dǎo)數(shù)（變化率），在處的全微分公式寫做。就是說這個(gè)函數(shù)的增量等于x的增量加y的增量。好吧，一個(gè)知識(shí)點(diǎn)就這么完了，是不是有種感覺什么也沒說的感覺？沒錯(cuò)你相信我，真的就只是造出了幾個(gè)術(shù)語，搞出了幾個(gè)符號(hào)，內(nèi)容就是我們說的那樣，那么的……廢話。其實(shí)我一直不喜歡這種寫法，但我沒有發(fā)明符號(hào)的閑心了，就姑且這么用，反正聽他們那些前輩說用多了還覺得挺美。

3

有的時(shí)候我們常常做這么一件事。那就是，一個(gè)量根據(jù)一個(gè)法則在變化， 從某處到某處這個(gè)量變了多少。

比如f(x)從a到b一直在連續(xù)變化，問從a到b一共變化了多少？

你也許會(huì)說，這不是廢話么，用f(b)-f(a)不就求出來了嗎？

那么恭喜你，你以一人之力，發(fā)明了牛頓萊布尼茲公式。

牛頓萊布尼茲公式是怎么說的？它說從a到b每一處的變化累積起來，就是f(b)-f(a)。

那由此還可以想到什么“廢話”嗎？

當(dāng)然還可以，這種廢話簡直無窮無盡，比如。

u的變化使得v變化的量，加上v的變化使得u變化的量，不就是變化的u和v彼此使得對(duì)方變化的總量嗎？很自然的有

我推出這個(gè)公式后的第二天，老師教了我們分部積分法。

我：……

4

至于無窮小量，極限，微元這些，我是不太想在文章里提的。一來我沒有能力換一種完全不同的方式等價(jià)地表達(dá)出來，總覺得有這樣那樣的問題。二來我如果按書上的在這里寫一遍，那我這篇文章還不如不寫。那么問題來了，如果不談極限，我們怎么討論極限的相關(guān)知識(shí)？

伯努利說，對(duì)對(duì)對(duì)，你不講極限，怎么跟別人講我的法則？

這個(gè)法則現(xiàn)在我們叫洛必達(dá)法則，充分說明我們?nèi)绻銐蛑匾暶恳痪鋸U話，在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明后早早發(fā)表，很可能就能冠名一個(gè)東西。單單從直覺上來說，洛必達(dá)法則是在反著說這么一件事情，兩個(gè)量從0開始變化的那一瞬間，速度的比例是多大，那么變化的比例就是多大。如果他們變得無窮大，亦同。我們對(duì)照著看一下：

如果，在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且存在，那么有。

翻譯：如果兩個(gè)變化在某處都趨向于0了，而這個(gè)時(shí)候他們是光滑地變化著（不是突兀地變化），那么在最后到0的前一瞬間，它們的比例就是他們速度的比例。

這種描述其實(shí)很原始，有點(diǎn)像牛頓時(shí)代的描述。從這個(gè)例子其實(shí)可以看出，極限的提出還是很重要的。

5

說起變化，我不由得就想起了我們小時(shí)候經(jīng)常會(huì)思考的一個(gè)問題。

如果我們知道某一點(diǎn)的變化率，知道這一點(diǎn)變化率的變化率，又知道這一點(diǎn)變化率的變化率的變化率……那我們是否可以知道這個(gè)點(diǎn)經(jīng)過一段時(shí)間后變到了多少？

換個(gè)表達(dá)，假設(shè)我們要知道x時(shí)的情況，但我們只知道時(shí)候的，然后我們還知道時(shí)候的變化，變化的變化……直到任意階變化我們都知道，那么x的情況我們有理由不知道嗎？

試試看好了，首先，已經(jīng)有了，這一點(diǎn)的變化率是f'(x0)，到x一共是變化了，然而，f'(x)并不總是f'(x0)，它是在變的，在處變化率是f(x0)''，這個(gè)變化率使得f(x0)'一共變化了，同樣，f(x0)''也是變化的，f(x0)''一共變化了。總的來說會(huì)寫出這樣的式子：

算一下，，

……

這不就是泰勒公式么！

這個(gè)東西在寫這篇文章的時(shí)候?qū)懼鴮懼蛯懗鰜砹耍铱戳丝磻?yīng)該是沒錯(cuò)，有錯(cuò)請盡快告知……這種寫法你可以理解為泰勒公式的另一種形式。其實(shí)自己能推理出來的話，這個(gè)形式是很親切而自然。

最后，為了能寫出對(duì)大家更有幫助的文章，大家可以在評(píng)論區(qū)多留言給我提出意見和建議。

—?THE END —

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