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數(shù)學(xué)算法俱樂部

日期：2020年11月06日

正文共：6129字1圖

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來源：今日頭條

7 橋歐拉

有人覺得數(shù)學(xué)是信仰，In math we believe!

但是有人發(fā)覺數(shù)學(xué)是從提問開始，從猜想開始的，這個很有意思，與物理不太一樣。

1900年，偉大的數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特（DavidHilbert）在巴黎的國際數(shù)學(xué)家大會上提出了23個未解決的重要數(shù)學(xué)問題。這些問題中有些在隨后很短的時間內(nèi)就得到解決，但有的問題卻異常復(fù)雜，影響貫穿整個20世紀(jì)的數(shù)學(xué)研究，窮盡數(shù)學(xué)家一個世紀(jì)的努力都沒有被解決，黎曼猜想就在其中。

2000年，美國克雷數(shù)學(xué)研究所公布了一個包含7個尚未被解決的數(shù)學(xué)問題的“千禧年大獎難題”清單，成功解決其中任何一個問題的數(shù)學(xué)家都將獲得100萬美元的獎金。但是，迄今為止，7個問題中只有龐加萊猜想在2003年被俄羅斯數(shù)學(xué)家格里高利·佩雷爾曼（Grigori Perelman）解決，他也因此在2006年獲得了菲爾茲獎。其余6個問題目前仍懸而未決（注釋：英國著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞（Michael Atiyah）將在9月24日在海德堡獲獎?wù)哒搲难葜v中公布他對黎曼猜想的證明。阿蒂亞表示，他是基于馮·諾依曼、希策布魯赫和狄拉克等人的成果，使用一種簡單而全新的方法證明了黎曼猜想的。但是有人對此持有懷疑態(tài)度。姑且把黎曼猜想放到懸而未決的一類中。）

即使使用非常簡化的語言來描述，黎曼猜想對沒有一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的讀者來說仍然不易理解。但是從這個猜想兩次被列入“世紀(jì)難題”的范疇卻仍然是“猜想”的事實(shí)，就不難想到它對數(shù)學(xué)家提出的挑戰(zhàn)有多么嚴(yán)峻。

不過，雖然黎曼猜想并沒有被證明，卻不妨礙數(shù)學(xué)家使用黎曼的發(fā)現(xiàn)。目前已經(jīng)有超過1000個數(shù)學(xué)命題是以黎曼猜想或者它的推廣形式為基礎(chǔ)，也就是說數(shù)學(xué)家在提出這些命題的時候，已經(jīng)假定黎曼猜想成立。由此可見，黎曼猜想的證明也將最終夯實(shí)這些命題存在的根基。

數(shù)學(xué)是與神對話的語言，要讀懂一個猜想就很難，我花了一個上午瀏覽，目的是找一個基金的名字，希望用數(shù)學(xué)家來命名的token基金，看了一下，我最喜歡的是歐拉，Euler Leonhard，好吧，就叫歐拉基金，Euler fund，座右銘是，to compute ,to live

1783年9月18日，晚餐后，歐拉一邊喝著茶，一邊和小孫女玩耍，突然之間，煙斗從他手中掉了下來。他說了一聲：“我的煙斗”，并彎腰去撿，結(jié)果再也沒有站起來，他抱著頭說了一句：“我死了”。“歐拉停止了計(jì)算和生命”。最后一句話出自法國哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家孔多塞“...il cessa de calculer et de vivre（他停止了計(jì)算和生活）”（he ceased to calculate and to live）。

Clay公司的千年大獎問題：

　　美國麻州的克雷（Clay）數(shù)學(xué)研究所于2000年5月24日在巴黎法蘭西學(xué)院宣布了一件被媒體炒得火熱的大事：對七個“千年數(shù)學(xué)難題”的每一個懸賞一百萬美元。　　

其中有一個已被解決(龐加萊猜想),還剩六個（注:黎曼猜想仍有爭議）.（龐加萊猜想，已由俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼破解。我國中山大學(xué)朱熹平教授和旅美數(shù)學(xué)家、清華大學(xué)兼職教授曹懷東做了證明的封頂工作。）　　

“千年大獎問題”公布以來，在世界數(shù)學(xué)界產(chǎn)生了強(qiáng)烈反響。

這些問題都是關(guān)于數(shù)學(xué)基本理論的，但這些問題的解決將對數(shù)學(xué)理論的發(fā)展和應(yīng)用的深化產(chǎn)生巨大推動。

認(rèn)識和研究“千年大獎問題”已成為世界數(shù)學(xué)界的熱點(diǎn)。不少國家的數(shù)學(xué)家正在組織聯(lián)合攻關(guān)。可以預(yù)期， “千年大獎問題” 將會改變新世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史進(jìn)程。

一、P問題對NP問題（P versus NP）

　　在一個周六的晚上，你參加了一個盛大的晚會。由于感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經(jīng)認(rèn)識的人。

你的主人向你提議說，你一定認(rèn)識那位正在甜點(diǎn)盤附近角落的女士羅絲。不費(fèi)一秒鐘，你就能向那里掃視，并且發(fā)現(xiàn)你的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環(huán)顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認(rèn)識的人。

生成問題的一個解通常比驗(yàn)證一個給定的解時間花費(fèi)要多得多。這是這種一般現(xiàn)象的一個例子。

與此類似的是，如果某人告訴你，數(shù)１３，７１７，４２１可以寫成兩個較小的數(shù)的乘積，你可能不知道是否應(yīng)該相信他，但是如果他告訴你它可以因式分解為３６０７乘上３８０３，那么你就可以用一個袖珍計(jì)算器容易驗(yàn)證這是對的。

人們發(fā)現(xiàn)，所有的完全多項(xiàng)式非確定性問題，都可以轉(zhuǎn)換為一類叫做滿足性問題的邏輯運(yùn)算問題。

既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項(xiàng)式時間內(nèi)計(jì)算，人們于是就猜想，是否這類問題，存在一個確定性算法，可以在多項(xiàng)式時間內(nèi)，直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜想。

不管我們編寫程序是否靈巧，判定一個答案是可以很快利用內(nèi)部知識來驗(yàn)證，還是沒有這樣的提示而需要花費(fèi)大量時間來求解，被看作邏輯和計(jì)算機(jī)科學(xué)中最突出的問題之一。它是斯蒂文·考克于１９７１年陳述的。

我覺得，像以上這樣，介紹P與NP問題，比算法導(dǎo)論上的闡述更易于初學(xué)者理解。

單憑這點(diǎn)，此文就有意義了。

二、霍奇(Hodge)猜想（The Hodge Conjecture）

　　二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了研究復(fù)雜對象的形狀的強(qiáng)有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數(shù)不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導(dǎo)致一些強(qiáng)有力的工具，使數(shù)學(xué)家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進(jìn)行分類時取得巨大的進(jìn)展。

不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發(fā)點(diǎn)變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。

霍奇猜想斷言，對于所謂射影代數(shù)簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實(shí)際上是稱作代數(shù)閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。

三、龐加萊(Poincare)猜想（The Poincaré Conjecture）

　　如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點(diǎn)。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點(diǎn)的。

我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。

大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點(diǎn)有單位距離的點(diǎn)的全體)的對應(yīng)問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數(shù)學(xué)家們就在為此奮斗。　　

在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼在發(fā)表了三篇論文預(yù)印本，并聲稱證明了幾何化猜想。　　

在佩雷爾曼之后，先后有3組研究者發(fā)表論文補(bǔ)全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細(xì)節(jié)。這包括密西根大學(xué)的布魯斯·克萊納和約翰·洛特；哥倫比亞大學(xué)的約翰·摩根和麻省理工學(xué)院的田剛；以及理海大學(xué)的曹懷東和中山大學(xué)的朱熹平。　　

2006年8月，第25屆國際數(shù)學(xué)家大會授予佩雷爾曼菲爾茲獎。

數(shù)學(xué)界最終確認(rèn)佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。

四、黎曼(Riemann)假設(shè)（The Riemann Hypothesis）

　　有些數(shù)具有不能表示為兩個更小的數(shù)的乘積的特殊性質(zhì)，例如，2、3、5、7……等等。這樣的數(shù)稱為素?cái)?shù)；它們在純數(shù)學(xué)及其應(yīng)用中都起著重要作用。

在所有自然數(shù)中，這種素?cái)?shù)的分布并不遵循任何有規(guī)則的模式；然而，德國數(shù)學(xué)家黎曼(1826~1866)觀察到，素?cái)?shù)的頻率緊密相關(guān)于一個精心構(gòu)造的所謂黎曼蔡塔函數(shù)z(s)的性態(tài)。

著名的黎曼假設(shè)斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點(diǎn)已經(jīng)對于開始的1,500,000,000個解驗(yàn)證過。證明它對于每一個有意義的解都成立將為圍繞素?cái)?shù)分布的許多奧秘帶來光明。

五、楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質(zhì)量缺口（Yang-MillsExistence and Mass Gap）

　　量子物理的定律是以經(jīng)典力學(xué)的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀(jì)以前，楊振寧和米爾斯發(fā)現(xiàn)，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數(shù)學(xué)之間的令人注目的關(guān)系。

基于楊－米爾斯方程的預(yù)言已經(jīng)在如下的全世界范圍內(nèi)的實(shí)驗(yàn)室中所履行的高能實(shí)驗(yàn)中得到證實(shí)：

布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。

盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的方程沒有已知的解。特別是，被大多數(shù)物理學(xué)家所確認(rèn)、并且在他們的對于“夸克”的不可見性的解釋中應(yīng)用的“質(zhì)量缺口”假設(shè)，從來沒有得到一個數(shù)學(xué)上令人滿意的證實(shí)。在這一問題上的進(jìn)展需要在物理上和數(shù)學(xué)上兩方面引進(jìn)根本上的新觀念。

六、納維葉－斯托克斯方程的存在性與光滑性（Navier-Stokesexistence and smoothness）

　　起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現(xiàn)代噴氣式飛機(jī)的飛行。數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家深信，無論是微風(fēng)還是湍流，都可以通過理解納維葉－斯托克斯方程的解，來對它們進(jìn)行解釋和預(yù)言。雖然這些方程是19世紀(jì)寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰(zhàn)在于對數(shù)學(xué)理論作出實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，使我們能解開隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。

七、貝赫和斯維訥通－戴爾猜想（TheBirch and Swinnerton-Dyer Conjecture）

　　數(shù)學(xué)家總是被諸如x^2+y^2=z^2那樣的代數(shù)方程的所有整數(shù)解的刻畫問題著迷。歐幾里德曾經(jīng)對這一方程給出完全的解答，但是對于更為復(fù)雜的方程，這就變得極為困難。

事實(shí)上，正如馬蒂雅謝維奇指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方法是否有一個整數(shù)解。

當(dāng)解是一個阿貝爾簇的點(diǎn)時，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認(rèn)為，有理點(diǎn)的群的大小與一個有關(guān)的蔡塔函數(shù)z(s)在點(diǎn)s=1附近的性態(tài)。

特別是，這個有趣的猜想認(rèn)為，如果z(1)等于0,那么存在無限多個有理點(diǎn)(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多個這樣的點(diǎn)。

Hilbert 問題

希爾伯特的23個問題分屬四大塊：第1到第6問題是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題；第7到第12問題是數(shù)論問題；第13到第18問題屬于代數(shù)和幾何問題；第19到第23問題屬于數(shù)學(xué)分析。

（1）康托的連續(xù)統(tǒng)基數(shù)問題。

1874年，康托猜測在可數(shù)集基數(shù)和實(shí)數(shù)集基數(shù)之間沒有別的基數(shù)，即著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。1938年，僑居美國的奧地利數(shù)理邏輯學(xué)家哥德爾證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF集合論公理系統(tǒng)的無矛盾性。1963年，美國數(shù)學(xué)家科思（P.Choen）證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF公理彼此獨(dú)立。因而，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能用ZF公理加以證明。在這個意義下，問題已獲解決。

（2）算術(shù)公理系統(tǒng)的無矛盾性。

歐氏幾何的無矛盾性可以歸結(jié)為算術(shù)公理的無矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義計(jì)劃的證明論方法加以證明，哥德爾1931年發(fā)表不完備性定理作出否定。根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限歸納法證明了算術(shù)公理系統(tǒng)的無矛盾性。

（3）只根據(jù)合同公理證明等底等高的兩個四面體有相等之體積是不可能的。

問題的意思是：存在兩個等高等底的四面體，它們不可能分解為有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等。德思（M.Dehn）在1900年已解決。

（4）兩點(diǎn)間以直線為距離最短線問題。

此問題提的一般。滿足此性質(zhì)的幾何很多，因而需要加以某些限制條件。1973年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在對稱距離情況下，問題獲解決。

（5）拓?fù)鋵W(xué)成為李群的條件（拓?fù)淙海?/span>

這一個問題簡稱連續(xù)群的解析性，即是否每一個局部歐氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥馬利（Montgomery）、齊平（Zippin）共同解決 [2] 。1953年，日本的山邁英彥已得到完全肯定的結(jié)果。

（6）對數(shù)學(xué)起重要作用的物理學(xué)的公理化。

1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫?qū)⒏怕收摴砘：髞恚诹孔恿W(xué)、量子場論方面取得成功。但對物理學(xué)各個分支能否全盤公理化，很多人有懷疑。

（7）某些數(shù)的超越性的證明。

需證：如果α是代數(shù)數(shù)，β是無理數(shù)的代數(shù)數(shù)，那么α^β一定是超越數(shù)或至少是無理數(shù)（例如，2^√2和exp(π)）。蘇聯(lián)的蓋爾封特（Gelfond）1929年、德國的施奈德（Schneider）及西格爾（Siegel）1935年分別獨(dú)立地證明了其正確性。但超越數(shù)理論還遠(yuǎn)未完成。目前，確定所給的數(shù)是否超越數(shù)，尚無統(tǒng)一的方法。

（8）素?cái)?shù)分布問題，尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素?cái)?shù)問題。

素?cái)?shù)是一個很古老的研究領(lǐng)域。希爾伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孿生素?cái)?shù)問題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素?cái)?shù)問題目前也未獲最終解決，其最佳結(jié)果分別屬于中國數(shù)學(xué)家陳景潤和張益唐。

（9）一般互反律在任意數(shù)域中的證明。

1921年由日本的高木貞治，1927年由德國的阿廷（E.Artin）各自給以基本解決。而類域理論至今還在發(fā)展之中。

（10）能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數(shù)解？

求出一個整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖（約210-290，古希臘數(shù)學(xué)家）方程可解。1950年前后，美國數(shù)學(xué)家戴維斯（Davis）、普特南（Putnan）、羅賓遜（Robinson）等取得關(guān)鍵性突破。1970年，巴克爾（Baker）、費(fèi)羅斯（Philos）對含兩個未知數(shù)的方程取得肯定結(jié)論。1970年。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬蒂塞維奇最終證明：在一般情況下，答案是否定的。雖然得出了否定的結(jié)果，卻產(chǎn)生了一系列很有價(jià)值的副產(chǎn)品，其中不少和計(jì)算機(jī)科學(xué)有密切聯(lián)系。

（11）一般代數(shù)數(shù)域內(nèi)的二次型論。

德國數(shù)學(xué)家哈塞（Hasse）和西格爾（Siegel）在20年代獲重要結(jié)果。60年代，法國數(shù)學(xué)家魏依（A.Weil）取得了新進(jìn)展。

（12）類域的構(gòu)成問題。

即將阿貝爾域上的克羅內(nèi)克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去。此問題僅有一些零星結(jié)果，離徹底解決還很遠(yuǎn)。

（13）一般七次代數(shù)方程以二變量連續(xù)函數(shù)之組合求解的不可能性。

（14）建立代數(shù)幾何學(xué)的基礎(chǔ)。

荷蘭數(shù)學(xué)家范德瓦爾登1938年至1940年，魏依1950年已解決。

注一舒伯特（Schubert）計(jì)數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ)。

一個典型的問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個直觀的解法。希爾伯特要求將問題一般化，并給以嚴(yán)格基礎(chǔ)。現(xiàn)在已有了一些可計(jì)算的方法，它和代數(shù)幾何學(xué)有密切的關(guān)系。但嚴(yán)格的基礎(chǔ)至今仍未建立。

（15）代數(shù)曲線和曲面的拓?fù)溲芯俊?/span>

此問題前半部涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目。后半部要求討論備dx/dy=Y/X的極限環(huán)的最多個數(shù)N（n）和相對位置，其中X、Y是x、y的n次多項(xiàng)式。對n=2（即二次系統(tǒng)）的情況，1934年福羅獻(xiàn)爾得到N（2）≥1；1952年鮑廷得到N（2）≥3；1955年蘇聯(lián)的波德洛夫斯基宣布N（2）≤3，這個曾震動一時的結(jié)果，由于其中的若干引理被否定而成疑問。關(guān)于相對位置，中國數(shù)學(xué)家董金柱、葉彥謙1957年證明了（E2）不超過兩串。1957年，中國數(shù)學(xué)家秦元勛和蒲富金具體給出了n=2的方程具有至少3個成串極限環(huán)的實(shí)例。1978年，中國的史松齡在秦元勛、華羅庚的指導(dǎo)下，與王明淑分別舉出至少有4個極限環(huán)的具體例子。1983年，秦元勛進(jìn)一步證明了二次系統(tǒng)最多有4個極限環(huán)，并且是（1，3）結(jié)構(gòu)，從而最終地解決了二次微分方程的解的結(jié)構(gòu)問題，并為研究希爾伯特第（16）問題提供了新的途徑。

（16）用全等多面體構(gòu)造空間。

德國數(shù)學(xué)家比貝爾巴赫（Bieberbach）1910年，萊因哈特（Reinhart）1928年作出部分解決。

（17）正則變分問題的解是否總是解析函數(shù)？

德國數(shù)學(xué)家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家彼德羅夫斯基（1939）已解決。

（18）研究一般邊值問題。

此問題進(jìn)展迅速，已成為一個很大的數(shù)學(xué)分支，目前還在繼讀發(fā)展。

（19）具有給定奇點(diǎn)和單值群的Fuchs類的線性微分方程解的存在性證明。

此問題屬線性常微分方程的大范圍理論。希爾伯特本人于1905年、勒爾（H.Rohrl）于1957年分別得出重要結(jié)果。1970年法國數(shù)學(xué)家德利涅（Deligne）作出了出色貢獻(xiàn)。

（20）用自守函數(shù)將解析函數(shù)單值化。

此問題涉及艱深的黎曼曲面理論，1907年克伯（P.Koebe）對一個變量情形已解決而使問題的研究獲重要突破。其它方面尚未解決。

（21）發(fā)展變分學(xué)方法的研究。

這不是一個明確的數(shù)學(xué)問題。20世紀(jì)變分法有了很大發(fā)展。